Chapitre 2.3 – Le produit vectoriel
Le produit vectoriel est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat est un vecteur. On utilise l'opérateur « × » pour désigner le
Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel I Produit scalaire (de
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit du module de l'un par la mesure algébrique de la projection de l'autre sur lui. • Forme analytique.
PRODUIT SCALAIRE
La norme du vecteur u ! notée u !
Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel
I.2 Scalaire et vecteur. I.3 Opérations sur les vecteurs. I.3.1 Somme et multiplication par un scalaire. I.3.2 Produit scalaire. I.3.3 Produit vectoriel.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG) il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan. Vidéo https://youtu.
Le produit scalaire
2 y. 2 pour un vecteur u xy . 3. Formule du cosinus. Soient u et v deux vecteurs non nuls. On a u
GELE3222 - Chapitre 1
Il y a deux produits de vecteurs : le produit scalaire et le produit vectoriel. Le produit vectoriel de deux vecteurs A et B est un autre vecteur ...
1. Produit vectoriel de vecteurs géométriques Dans la figure ci
Les trois vecteurs sont unitaires et perpendiculaires deux à deux leur produit est donc un vecteur unitaire dont la direction est perpendicu-.
Matrices Les vecteurs Vecteurs et transposé Addition de vecteurs
Le produit scalaire est l'intensité (signée) de la projection d'un vecteur sur un autre. Vincent Nozick. Matrices. 6 / 47. Les vecteurs. Les matrices.
Produit scalaire dans le plan Fiche
Il faut connaître trois produits scalaires particuliers : – si l'un des deux vecteurs est nul leur produit scalaire est nul ;. – deux vecteurs sont orthogonaux
Matrices
Vincent Nozick
Vincent NozickMatrices1 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Les vecteurs
Un vecteur
(colonne) : x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 CCCAVincent NozickMatrices2 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Vecteurs et transpose
x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 CCCAx>=x1x2xn
Autrement dit:
0 B BB@x 1 x 2... x n1 CCCA=x1x2xn>Vincent NozickMatrices3 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Addition de vecteurs
x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 CCCAy=0
B BB@y 1 y 2... y n1 CCCAx+y=0
B BB@x 1+y1 x2+y2...
x n+yn1 C CCA Conditions :xetysont de m^eme dimension.Vincent NozickMatrices4 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietesProduit scalaire
x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 CCCAy=0
B BB@y 1 y 2... y n1 C CCA produit scalaire: x >y=x1y1+x2y2++xnyn =Pn i=1xiyiConditions :xetysont de m^eme dimension.Vincent NozickMatrices5 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Produit scalaire
Propriete geometrique :Le produit scalaire est l'intensite (signee) de la projection d'un vecteur sur un autre.Vincent NozickMatrices6 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Produit scalaire
Propriete geometrique :
uv=kukkvkcos ouest l'angle entreuetv(valable pour toutes dimensions).Applications geometriques :
!trouver l'angle entre 2 vecteurs :=cos1 uvkukkvk!!trouver la projection deusurv: projv(u) =uvkvkvkvkVincent NozickMatrices7 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Produit vectoriel
x=0 @x 1 x 2 x 31A y=0 @y 1 y 2 y 31
A z=xy=0 @x
2y3x3y2
x3y1x1y3
x1y2x2y11
A Conditions :deni uniquement en dimension 3.Vincent NozickMatrices8 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietesNorme de vecteurs
Proprietes :
kxk>0ssix6=0etkxk= 0ssix=0 kkxk=jkj:kxk kx+yk kxk+kykNormeL1:kxk1=Pn i=1jxij(norme de Manhattan)NormeL2:kxk2=px
21+:::+x2n(norme euclidienne)
NormeLp:kxkp=Pn
i=1jxijp 1pNormeL1:kxk1= maxjx1j;:::;jxnj
Vincent NozickMatrices9 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Les matrices
Une matrice :M=2
4m11m12m13
m21m22m23
m31m32m333
5Vincent NozickMatrices10 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Les matrices
Element d'une matrice :Mij
M=2 4m11m12m13
m21m22m23
m31m32m333
5 |{z} j9 i i: lignesj: colonnesVincent NozickMatrices11 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Addition matricielle
M=2 4m11m12m13
m21m22m23
m31m32m333
5 N=2 4n11n12n13
n21n22n23
n31n32n333
5A=M+N=2
4m11+n11m12+n12m13+n13
m21+n21m22+n22m23+n23
m31+n31m32+n32m33+n333
5 A ij=Mij+Nij! O(n2)Vincent NozickMatrices12 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietesMultiplication matrice-vecteur
y=Mx=2 4m11m12m13
m21m22m23
m31m32m333
50@x 1 x 2 x 31
A 0 @m
11x1+m12x2+m13x3
m21x1+m22x2+m23x3
m31x1+m32x2+m33x31
A Mx=0 @m>1x m >2x m >3x1A!produit scalaire
!produit scalaire !produit scalaireoum>icorrespond a laiemeligne deMVincent NozickMatrices13 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Multiplication vecteur-matrice
y >=x>M=x1x2x32 4m11m12m13
m21m22m23
m31m32m333
5 0 @m11x1+m21x2+m31x3
m12x1+m22x2+m32x3
m13x1+m23x2+m33x31
A> x >M=0 @x>m1 x>m2 x>m31 A> !produit scalaire !produit scalaire !produit scalaireoumjcorrespond a lajemecolonne deMVincent NozickMatrices14 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Produit exterieur
Produit scalaire :x>y=u
Produit externe :xy>=A
0 B BB@x 1 x 2... x n1 C CCA y1;y2;;ym
=2 6 664x1y1x1y2x1ym
x2y1x2y2x2ym............
x ny1xny2xnym3 7 775A
ij=xiyjVincent NozickMatrices15 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Multiplication matricielle
A=MN=2
4m11m12m13
m21m22m23
m31m32m333
524n
11n12n13
n21n22n23
n31n32n333
5 24m>1n1m>1n2m>1n3
m>2n1m>2n2m>2n3 m>3n1m>3n2m>3n33 5 oum>icorrespond a laiemeligne deM etnjcorrespond a lajemecolonne deNVincent NozickMatrices16 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietesMultiplication matricielle
Pour chacune desmncase deA:
1 produit scalaire delelements.
complexite :O(lmn) O(n3)Vincent NozickMatrices17 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Strassen
Introduction :
multiplication matricielle standard :O(n3) avec la methode de Strassen :O(nlog27) =O(n2:81) methode recursive.ecace seulement sur les grosses matrices.Vincent NozickMatrices18 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Strassen
Methode :rs
tu=ab cdef ghVincent NozickMatrices19 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Strassen
ae+bgaf+bh ce+dgcf+dh=ab cdef gh8 produits de sous matrices
4 additions de sous matrices
Vincent NozickMatrices20 / 47
Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietesStrassen
rs ae+bgaf+bh tu ce+dgcf+dh=ab cdef gh on denit : P1=afah
P2=ah+bh
P3=ce+de
P4=dgde
P5=ae+ah+de+dh
P6=bg+bhdgdh
P7=ae+afcecftel que :
r=P5+P4P2+P6 s=P1+P2 t=P3+P4u=P1+P5P3P7Vincent NozickMatrices21 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Strassen
P1=afah
P2=ah+bh
P3=ce+de
P4=dgde
P5=ae+ah+de+dh
P6=bg+bhdgdh
P7=ae+afcecfP
1=a(fh)
P2= (a+b)h
P3= (c+d)e
P4=d(ge)
P5= (a+d)(e+h)
P6= (bd)(g+h)
P7= (ac)(e+f)Vincent NozickMatrices22 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Strassen
P1=a(fh)
P2= (a+b)h
P3= (c+d)e
P4=d(ge)
P5= (a+d)(e+h)
P6= (bd)(g+h)
P7= (ac)(e+f)
r=P5+P4P2+P6 s=P1+P2 t=P3+P4 u=P1+P5P3P7!7 produits de sous matrices !18 additions de sous matrices ce qui comporte moins d'operations que 8 produits de sous matrices 4 additions de sous matricesVincent NozickMatrices23 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Strassen
Remarques :
ecace sur les grosses matrices, mais pas sur les petites. pas tres stable numeriquement. gestion specique de la memoire.Vincent NozickMatrices24 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietesVerication du produit matriciel
Methode :
SoitC=AB
Le produit de la matriceAavec le vecteur somme-des-lignesbde la matriceBdoit ^etre egal au vecteur somme-des-lignescde la matrice C. Ab=cSiAb6=c, alors il y a une erreur de calcul.
La reciproque n'est pas forcement vraie.
Vincent NozickMatrices25 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Verication du produit matriciel
Exemple :
C=AB2 15
4 22 =1 3 2 4 2 30 4c=2 + 15
4 + 22
=1726b=2 + 3
0 + 4 =5 4Vincent NozickMatrices26 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Verication du produit matriciel
Exemple :c=17
26b=54Ab=1 3
2 4 5 4 =17 2617 26
=17 26
)Le calcul est probablement exactVincent NozickMatrices27 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes
Dierents types de matrices
matrices carrees matrices triangulaires matrices diagonales matrices creuses ...Vincent NozickMatrices28 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietesMatrices diagonales
2 666664m
110 00
0m2200
0 0m330
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