2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R
2. RAPPEL DES TECHNIQUES. DE CALCUL DANS R. Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus.
Rappel de formules V = R.? ? = (2.?. N) / 60 Wp = m.g.h P = C . ?
Rappel de formules. V = R.?. V = Vitesse linéaire en m/s. R = Rayon en m. ? = Vitesse angulaire en rad/s. ? = (2.?. N) / 60. ? = Vitesse angulaire en rad/s.
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1. Rappels de calculs algébriques
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Enfin en cas d'égalité (discriminant nul)
Les fonctions usuelles —
25 oct. 2017 Techniques de calcul : fonctions usuelles ... Proposition 2 : Rappel des propriétés principales ... 1. exp est dérivable sur J = R et.
Les fonctions usuelles
MPSI-Cauchy Prytan´ee National Militaire
Pascal DELAHAYE
25 octobre 2017
Le flocon de Von Koch est un objet de dimensionln4ln3≈1.261 Rappels
1.1 Fonctions polynomiales et rationnelles
Proposition 1 :?Les fonctions polynomialesLes fonctions rationnellessont?continuesd´erivablessur leurs ensembles de d´efinition.
Preuve 1 :R´esultats connus!
1.2 Logarithme n´ep´erien
D´efinition 1 :La fonction logarithme
La fonction
f: ]0,+∞[-→]0,+∞[ x?→1/xest continue sur l"intervalle ]0,+∞[.Elle admet donc des primitives.
On appelle "fonction logarithme n´ep´erien" l"unique primitive defqui s"annule enx= 1.Cette fonction est not´ee :
ln : ]0,+∞[-→R x?→lnx 1 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Proposition 2 :Rappel des propri´et´es principales1. ln est d´erivable sur ]0 ; +∞[ et?x?]0 ; +∞[,
(ln)?(x) =1x.2. La fonction ln v´erifie :?x, y >0,
ln(xy) = lnx+ lnyet???ln(1/x) =-lnx ln(x/y) = lnx-lny lnxn=nlnx?n?Z3. On a :
limx→0+lnx=-∞etlimx→+∞lnx= +∞4. On a l"in´egalit´e classique :?x >0,
5. On a la limite connue :
ln(x+1) x---→x→01Preuve 2 :
1. Par d´efinition de la fonction logarithme
2. (a) On d´erive la fonctionfy(x) = ln(xy)-lnx-lnyo`uyest un param`etre strictement positif.
(b) Les deux autres formules s"en d´eduisent.3. (a) La d´emonstration de la limite en +∞fait appel `a des th´eor`emes vus dans le cours sur la d´erivabilit´e.
(b) La limite en 0 +s"en d´eduit.4. On ´etudie le signe de la fonctionf(x) = lnx-(x-1).
5. C"est la traduction de la d´erivabilit´e du logarithme en 0.
Remarque1.Les r´esultats pr´ec´edents permettent d"obtenir le graphe de lafonction ln.Graphe de la fonction logarithme
Exercice : 1
Prouver que pour tout entiern >3, la d´eriv´eeniemede la fonctionf(x) =x2.lnxest donn´ee par :
f (n)(x) = 2.(-1)n-1(n-3)! xn-2Remarque2.En physique ou SI, on utilise sous la fonction logarithme d´ecimal d´efinie par l"expression : logx=lnx
ln10.1.3 Exponentielle
D´efinition 2 :La fonction exponentielle
La fonction logarithme n´ep´erien est continue et strictement croissante surI=R+?. Elle r´ealise donc une bijection deI=R+?vers ln(I) =R. On d´efinit la fonction exponentielle comme sa bijection r´eciproque : exp:R-→]0,+∞[ x?→exp(x). En raison des propri´et´es particuli`eres de la fonction exponentielle, on notera plutˆot : exp(x) =ex 2 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/Remarque3.Vous verrez en deuxi`eme ann´ee que l"on peut d´efinir la fonction exponentielle par :
x?→ex=+∞? n=0x n n! Proposition 3 :Rappel des propri´et´es principales1. exp est d´erivable surJ=Ret?x?R,
exp?(x) =exp(x)2. exp est un morphisme de groupes :?(x, y)?R2,
ex+y=exeyet?enx= (ex)n?n?Z e -x= 1/ex3. On a l"in´egalit´e classique :?x?R,
ex≥1 +x4. Limites :
limx→-∞ex= 0+etlimx→+∞ex= +∞.5. Autre limite importante :
limx→0e x-1x= 1 .Preuve 3 :
1. On applique le th´eor`eme de d´erivation d"une fonction r´eciproque
2. C"est une cons´equence de la relation fonctionnelle ln(xy) = lnx+ lny.
Les deux autres formules se d´eduisent facilement de la premi`ere.3. On ´etudie la fonctionf(x) =ex-(1 +x).
4. Ces deux limites se d´eduisent imm´ediatement des limites en 0
+et en +∞de la fonction logarithme.5. C"est la traduction de la d´erivabilit´e de l"exponentielle en 0.
Remarque4.On obtient le graphe de la fonction exp par sym´etrie du graphe de ln par rapport `a la premi`ere bissectrice.
Dessin
Graphe de la fonction exponentielle
1.4 Fonctions puissancexα=eαlnx(o`uα?R!!)
D´efinition 3 :D´efinition dexnpourn?Z
Pourx?Retn?N?On a par d´efinitionxn=x×x× ··· ×x(nfois)Pourx?R?netn?Z\NOn a par d´efinitionxn=1
x-nPourx?ROn a par conventionx0= 1
3 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ D´efinition 4 :D´efinition dexαpourα??Z Pourα??Z, on d´efinit :fα: ]0,+∞[-→R x?→xα=eαlnxRemarque5.V´erifier la coh´erence de cette d´efinition avec les d´efinitions connues dexnlorsquen?ZsurR+?.
Proposition 4 :Les fonctions puissances v´erifient les propri´et´es usuelles despuissances enti`eres.
Ainsi,
??(α, β)?R2 ?x?R+?:1.xα.xβ=xα+β2. (xα)β=xα.β
3. xα xβ=xα-βPreuve 4 :La v´erification est imm´ediate!
Exemple 1.D´emontrer les formules ln(xα) =α.lnxet (ex)α=eαxpour toutα?R.Remarque6.Les fonctions puissances montre que le flocon de Von Koch est un objet fractal de dimentionln4
ln3.D´efinition 5 :Les fonctions "racine ni`eme"
Soitn?N?.
La fonctionf:x?→xnest?continuestrictement croissantesurR+. Elles sont donc bijectives deR+dansR+.
Leur bijection r´eciproque est appel´ee "racine ni`eme" et est not´ee :f-1:R+-→R+ x?→n⎷ x. Remarque7.On v´erifie facilement que pour toutx?R+?, on a :n⎷ x=x1nProposition 5 :
1.fαest d´erivable surR+?(fonction compos´ee) et
?x?R+?, f?a(x) =αxα-1.2. En notantI=]0,+∞[,
- Siα= 0,fαest constante et vaut 1. - Siα >0,fαest strictement croissante surI. - Siα <0,fαest strictement d´ecroissante surI.Preuve 5 :V´erifications imm´ediates!
α= 1
0< α <1
α <0
α >1
α= 0
Figure1 - Fonctions puissancexα
4 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Proposition 6 :Continuit´e et d´erivabilit´e en 01. Lorsqueα >0, on peut prolonger par continuit´efαet 0 en posantfα(0) = 0.
2. D´erivabilit´e en 0 :
- Siα >1,fαest d´erivable en 0 avecf?α(0) = 0. - Siα= 1,fαest d´erivable en 0 avecf?α(0) = 1. - Si 0< α <1,fαn"est pas d´erivable en 0 (demi-tangente verticale).Preuve 6 :Simples calculs de limites!
Proposition 7 :Inverse d"une fonction puissance
La fonctionfαest bijective deR+?dansR+?et :
f -1α=f1 Preuve 7 :On d´emontre facilement en v´erifiant que?x?R+?fαof1α(x) =f1αofα(x) =xExercice : 2
Justifiez la d´erivabilit´e de la fonctionfd´efinie sur ]0;π2[ parf(x) = (cos2x)lnx.Calculez sa d´eriv´ee.
Proposition 8 :Une nouvelle Forme Ind´etermin´eeLors du calcul de limite, la forme
1∞est une forme ind´etermin´ee!
Preuve 8 :Il suffit de calculer les limites en 0 des fonctions d´efinies parf1(x) = (1+x)1xetf2(x) = (1-x)1x.
Remarque8.Rappel des diff´erentes formes ind´etermin´ees :00,∞∞, 0× ∞et +∞ - ∞.
Remarque9.
Ne jamais prendre la limite d"une puissance qui d´epend de la variable!!On ´evite ce probl`eme en exprimant l"expression `a l"aide de la forme exponentielle qui d´efinit la fonction puissance.
1.5 Comparaison des fonctionsln,expet puissances
D´efinition 6 :Notation de Landau
Soitaune notation qui repr´esente, soit un r´eel, soit±∞(a?¯R).Soientfetgdeux fonctions d´efinies au voisinage dea, avecgne s"annulant pas au voisinage deapriv´e dea.
On dira quefestn´egligeabledevantgau voisinage dealorsque : lim x?→af(x) g(x)= 0 et on ´ecrira :f(x) =o(g(x)) Th´eor`eme 9 :Comparaison des fonctions usuelles en+∞ Soientα, β, γtrois r´eels strictement positifs.1) Comparaison puissance et exponentielle : en +∞:xα=o(eβx)
2) Comparaison ln et puissance : en +∞: lnγx=o(xα) d"o`uxαlnβx----→x→0+0
3) Comparaison ln et exponentielle : en +∞: lnγx=o(eβx)
Preuve 9 :
1. On se ram`ene `a l"´etude de la limite de
ex xθen +∞. Puis on ´etudie la fonctionf(x) =ex/2xθ.2. On se ram`ene `a la situation pr´ec´edente en posanty= lnx.
3. On utilise les deux r´esultats pr´ec´edents.
Exemple 2.Calculez les limites suivantes :
5 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/1.f(x) =⎷x.ln(3x) en 0+.2.g(x) =34xx3en +∞. 3.h(x) = lnx.x3exen +∞.
2 Les fonctions circulaires et leurs r´eciproques
2.1 Rappels sur les fonctions circulaires
Proposition 10 :
Les fonctions?x?→cosx
x?→sinxsontC∞surRet : ?x?R:?(cosx)?=-sinx (sinx)?= cosx.La fonctionx?→tanxestC∞surR\{π
2[π]}et :?x?R\{π2[π]}: (tanx)?= 1 + tan2x=1cos2x
Preuve 10 :R´esultats connus et admis!
Remarque10.Dans la proposition pr´ec´edente, les notations (cosx)?, (sinx)?et (tanx)?sont pratiques mais incorrectes!
On acceptera cependant cetabus de notation.
0-π2π2π1
-1 y= sin(x) -π2π2π1 -1y= cos(x) Je vous rappelle les formules de trigonom´etrie `a connaˆıtre imp´erativement :1. cos(a+b) = cosa.cosb-sina.sinb
2. sin(a+b) = sina.cosb+ cosa.sinb
3. tan(a+b) =tana+tanb
1-tana.tanb4. cos2a= cos2a-sin2a= 2.cos2a-1 = 1-2.sin2a
5. sin2a= 2sina.cosa
6. tan2a=2.tana1-tan2a
-π2π2π3π2 y= tan(x)On obtient en posantt= tanθ2:
1. cosθ=1-t2
1+t22. sinθ=2t1+t23. tanθ=2t1-t2
6 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/Remarque11.
Les formules pr´ec´edentes sont en particulier utiles dans le calculd"int´egrales ou de primitives de fonctions circulaires.
Proposition 11 :Comparaison au voisinage de 0
1. sinx x---→x→01 2.tanxx---→x→01 3.1-cosxx2/2---→x→01Preuve 11 :
1. Les deux premi`eres limites se prouve g´eom´etriquement en appliquant le th´eor`eme des gendarmes et en
comparant des aires dans le cercle trigonom´etrique.Les d´emonstrations utilisant la d´eriv´ee des fonctions sin et tan en 0 n"est pas acceptable car on utilise
les valeurs de ces limites pour prouver leur d´erivabilit´e.2. On l`eve la forme ind´etermin´ee en multipliant num´erateur et d´enominateur par 1 + cosx.
2.2 La fonctionarcsin
Sur l"intervalle [-π
2,π2], la fonction sinus est continue strictement croissante vers [-1,1].
Elle admet donc une bijection r´eciproque not´ee arcsin : [-1,1]?→[-π2,π2] .La fonction arcsin :
Quelques valeurs particuli`eres `a connaˆıtre : arcsin(0) = 0 arcsin(1/2) =π6arcsin?1⎷2?=π4arcsin?⎷
32?=π3arcsin(1) =π2
"arcsinxest l"arcde [-π2,π2] dont lesinusestx" Remarque12.Comme la fonction sin, la fonction arcsin est impaire et croissante Exemple 3.D´emontrer que?x?]-1,1[,tan(arcsinx) =x ⎷1-x2Attention : Pi`ege!!!
La d´efinition de la fonction arcsin nous donne deux relations :?1.?x?[-1,1] on a : sin(arcsinx) =x
2.?x?[-π
2,π2] on a : arcsin(sinx) =x
Mais que dire de arcsin(sinx) pourxr´eel quelconque?...Exercice : 3
Etudier l"applicationfd´efinie surRpar :f(x) = arcsin(sinx). 7 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/Proposition 12 :
La fonction arcsin est d´erivable sur l"intervalle ]-1,1[ (demi-tangentes verticales en-1 et 1) et
?x?]-1,1[,(arcsin)?(x) =1⎷1-x2 Preuve 12 :Application du th´eor`eme de d´erivation de la r´eciproque d"une fonction.Remarque13.
La fonction arcsin n"est pas d´erivable aux bornes de son ensemble de d´efinition.Proposition 13 :Limite
On a la limite suivante : limx→0arcsinx
x= 1 Preuve 13 :Cons´equence de la d´erivabilit´e de la fonction arcsinus en 0.2.3 La fonctionarccos
Sur l"intervalle [0,π], la fonction cosinus est continue strictement d´ecroissante vers[-1,1]. Elle admet donc une bijection r´eciproque not´ee arccos : [-1,1]?→[0,π] .La fonction arccos :
Quelques valeurs particuli`eres `a connaˆıtre : arccos(0) =2arccos(1/2) =π3arccos?1⎷2?=π4arccos?⎷
32?=π6arccos(1) = 0
"arccosxest l"arcde [0, π] dont lecosinusestx" Remarque14.Comme la fonction cos, la fonction arccos est d´ecroissante. Exemple 4.D´emontrer que?x?[-1,1], x?= 0,tan(arccosx) =⎷ 1-x2 xAttention : Pi`ege!!!
La d´efinition de la fonction arccos nous donne deux relations :?1.?x?[-1,1] on a : cos(arccosx) =x
2.?x?[0, π] on a : arccos(cosx) =x
Mais que dire de arccos(cosx) pourxr´eel quelconque?...Proposition 14 :
La fonction arccos est d´erivable sur l"intervalle ]-1,1[ (demi-tangente verticale en-1 et 1), et ?x?]-1,1[,(arccos)?(x) =-1⎷1-x2 8 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Preuve 14 :Application du th´eor`eme de d´erivation de la r´eciproque d"une fonction. Remarque15.La fonction arccos n"est pas d´erivable aux bornes de son ensemblede d´efinition.Proposition 15 :
?x?[-1,1], arcsinx+ arccosx=π2(1) etarccosx+ arccos(-x) =π(2)Preuve 15 :On peut par exemple ´etudier les d´eriv´ees des fonctions?f(x) = arcsinx+ arccosx
g(x) = arccosx+ arccos(-x).Formule 1Formule 2
Remarque16.
1. La relation (1) permet d"exprimer la fonction arccos en fonction de la fonction arcsin.
On pourra ainsi l"utiliser pour remplacer arccos(x) par arcsin(x) dans les ´etudes de fonctions.2. On peut utiliser la relation (2) pour prouver que le graphe de la f
◦arccos est sym´etrique par rapport `aA(0,π 2). Exemple 5.Etudier l"applicationfd´efinie surRpar :f(x) = arccos(cosx).Exercice : 4
Etudier la fonctionfd´efinie parf(x) = arcsin(sinx) +12.arccos(cos2x) dans le but de la repr´esenter.
2.4 La fonctionarctan
Sur l"intervalle ]-π
2,π2[, la fonction tangente est continue strictement croissante versR.
Elle admet donc une bijection r´eciproque not´ee arctan :R?→]-π2,π2[ . Restriction de tan `a ]-π2,π2[ et fonction arctan : 9 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ Quelques valeurs particuli`eres `a connaˆıtre :arctan(0) = 0arctan?1
⎷3?=π6arctan(1) =π4arctan(⎷3) =π3 "arctanxest l"arcde ]-π2,π2[ dont latangenteestx"Exercice : 5
(??) Soita1, ...,a13des r´eels.Attention : Pi`ege!!!
La d´efinition de la fonction arctan nous donne deux relations :?1.?x?Ron a : tan(arctanx) =x2.?x?]-π
2,π2[ on a : arctan(tanx) =x
Mais que dire de arctan(tanx) pourxr´eel quelconque?...Exemple 6.CalculerX= arctan1
2+ arctan15+ arctan18
Exercice : 6
D´emontrer que?x?R,sin(arctanx) =x⎷1+x2
Proposition 16 :La fonction arctan est d´erivable surRet?x?R,(arctan)?(x) =11+x2 Preuve 16 :Par application du th´eor`eme de d´erivation de la fonction r´eciproque.Proposition 17 :Comparaison en 0
On a la limite suivante : limx→0arctanx
x= 1 Preuve 17 :Cons´equence de la d´erivabilit´e de la fonction arctan en 0. Proposition 18 :?x?R?arctanx+ arctan1x=επ2(ε=signe(x)) Preuve 18 :Il suffit de d´eriver la fonctionf(x) = arctanx+ arctan1x.Exercice : 7
Soient (a, x)?R2tels queax?= 1.
Montrer que : arctana+ arctanx= arctana+x
1-ax+επ(ε? {-1,0,1})
Pour simplifier une expression ou d´emontrer une formule comportant des fonctions trigonom´etriques circulaires,
il existe en g´en´eral trois m´ethodes possibles :1. On peut effectuer un changement de variable judicieux
2. On peut s"int´eresser `a la tangente, au cosinus ou au sinus d"un des deux membres.
3. On peut effectuer une d´erivation et reconnaˆıtre une d´eriv´ee connue.
Attention dans ce cas `a appliquer correctement le th´eor`eme deprimitivation.Exercice : 8
Simplifier pourx?]-1,1[, arctan?
x⎷1-x2? 10 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/3 Les fonction hyperboliques
On d´efinit les fonctions hyperboliques ch, sh et th surRde la fa¸con suivante : Remarquer la correspondance avec les expressions complexes desfonctions circulaires ... chx=ex+e-x2cosx=eix+e-ix2 shx=ex-e-x2sinx=eix-e-ix2i
thx=shx chxtanx=sinxcosx Proposition 19 :Les fonctions hyperboliques sont d´erivables surRet?x?R: ch ?x= shxcos?x=-sinx sh ?x= chx`a comparer `a sin?x= cosx th ?x= 1-th2x=1 ch2xtan?x= 1 + tan2x=1cos2xPreuve 19 :Pas de difficult´e.
Proposition 20 :Limites
On a les limites suivantes : limx→0shx
x= 1 et limx→0thxx= 1 Preuve 20 :Cons´equence de la d´erivabilit´e des fonctions sh et th en 0.Formules `a connaˆıtre :
chx+ shx=excosx+isinx=eix chx-shx=e-xcosx-isinx=e-ix ch2x-sh2x= 1cos2x+ sin2x= 1Remarque17.
1. les formules pr´ec´edentes se d´emontrent par un simple calcul...
2. Comme en trigonom´etrie circulaire, il existe des formules de trigonom´etrie hyperbolique.
On pourra retrouver ces fomules en rempla¸cant : ?sin parish cos par ch tan parithdans les formules de trigonom´etrie circu- laire. Retrouver ainsi les formules permettant d"exprimer ch2xet sh2xen fonction de chxet shx.Proposition 21 :Branches infinies.
La courbe d"´equationy=ex
2est asymptote aux deux courbes d"´equationy= shxety= chx
qui se positionnent de part et d"autre de cette asymptote. Preuve 21 :On v´erifie facilement que shx-ex2?→0 et chx-ex2?→0.Une ´etude classique du sens de variation des fonctions hyperboliques permet d"obtenir les graphes suivants.
11 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/ y= shx y= chx y=ex2 y= thx +1 -1Figure2 - Fonctions sh, ch et th
Remarque18.La courbe de la fonction ch est appel´ee unechaˆınette. Il s"agit de la courbe obtenue en tenant une
chaˆıne entre deux doigts. (Voir votre professeur de physique pour la d´emonstration)Proposition 22 :Retenir que?x?R,
Preuve 22 :Cons´equences des ´etudes de fonctions.Exercice : 9
(?) Etudier la fonction d´efinie parf(x) = 2arctan?th(x)?-arctan?sh(2x)?.Exercice : 10
(?) Montrer que?x?= 0 thx=2th2x-1thxpuis calculerSn=n-1?k=02 kth(2kx).4 Connaissez-vous votre cours?
Vous devez imp´erativement savoir r´epondre aux diff´erentes questions suivantes :QuestionsR´eponses attendues
2.Que faut-il v´erifier pour pouvoir appliquer le th´eor`eme de la bijection?cf cours
3.Que faut-il v´erifier pour prouver que la bijection r´eciproque estd´erivable?cf cours
5.Donner l"expression de (f◦g)??R´eponse :f??◦g×g?2+f?◦g×g??
12 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/6.Savez-vous d´efinir les fonctions ln, exp etx?→xαavecα?R?cf cours
Pouvez-vous justifier leur d´erivabilit´e?
7.Savez-vous d´emontrer que :ln(x+1)x---→x→01,ex-1x---→x→01,arcsinxx---→x→01?cf cours
8.Pourquoi peut-on affirmer quexαxβ=xα+βpour toutx >0 et toutα, β?R?cf cours
9.Que dit le th´eor`eme de comparaison des fonctions exp., log. et puissances en +∞?cf cours
Sauriez-vous red´emontrer queex/x-----→x→+∞+∞?10.Pouvez-vous tracer pr´ecis´ement les graphes des diff´erentesfonctions exp., log. et puissances?cf cours
11.Pouvez-vous red´efinir les fonctions arcsin, arccos, arctan et tracer pr´ecis´ement leur graphe?cf cours
12.Que repr´esentent les valeurs arcsin(x), arccos(x), arctan(x)?cf cours
13.Dans quels cas peut-on affirmer que :???arcsin(sinx) =x
arccos(cosx) =x arctan(tanx) =x?cf cours14.Savez-vous tracer les fonctions d´efinies parf(x) = arcsin(sinx) etg(x) = arccos(cosx)?cf cours
15.Connaissez-vous et savez-vous retrouver les d´eriv´ees des fonctions arcsin, arccos, arctan?cf cours
16.Existe-t-il un lien entre arcsinxet arccosx? arccosxet arccos(-x)? arctanxet arctan1x?cf cours
17.Sauriez-vous calculer la valeurX= arctan2 + arctan5 + arctan8?5π
418.Pouvez-vous red´efinir les 3 fonctions hyperboliques?cf cours
Connaissez-vous pr´ecis´ement leur d´eriv´ee? Pouvez-vous lestracer sur un mˆeme graphique?
20.Comment retrouver rapidement les formules de trigonom´etrie hyperbolique?cf cours
Exprimer thxen fonction det= thx2?thx=2t1+t2
21.Pouvez-vous prouver que arcsin(thx) = arctan(shx) pour toutx?R?Par d´erivation
13 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/5 Exercices
Codage
1. Les exercices avec des coeurs♥sont `a traiter en priorit´e.
2. Le nombre d"´etoiles?ou de coeurs♥correspond `a la difficult´e des exercices.
Pour toutes les fonctions usuelles vues en cours, il est essentiel de bien connaˆıtre :1. Les d´efinitions de ces fonctions
2. Leur ensemble de d´efinition et l"ensemble des valeurs prises
3. Leur graphe (points particuliers, tangentes, asymptotes...) etleurs propri´et´es (parit´e, p´eriodicit´e...)
4. Leur ensemble de d´erivabilit´e et l"expression de leur d´eriv´ee
5. Les diff´erentes formules faisant intervenir ces fonctions
1) Les fonctions puissances, exponentielles et logarithmes
1. Lorsque dans une expression, la puissance est un r´eel quelconque ou bien d´epend de la variable, on
commence par mettre l"expression sous forme exponentielle avant de commencer toute ´etude.2. Bien connaˆıtre les formules avec les puissances ainsi que les relations caract´eristiques de l"exponentielle
et du logarithme.3. Bien connaˆıtre les limites particuli`eres, utiles pour lever les formes ind´etermin´ees.
Exercice de TD : 1
(?) Soit la fonctionfdeR?dansRd´efinie parf(x) = (x+⎷x2+ 1)1x.1. Montrer quefse prolonge par continuit´e surRen une fonctiong.
2. D´eterminer la limite defen +∞.
3. Etudier la parit´e deg.
4. Justifier la d´erivabilit´e degsurR?.
5. On admet que lim
x→0g?(x) = 0. Que peut-on en d´eduire sur la d´erivabilit´e degen 0?Exercice de TD : 2
(♥♥) Soientaetb, 2 r´eels de ]1,+∞[. Etudier la limite en +∞de la fonctionf(x) =?ax+bx 2? 1 x.Exercice de TD : 3
(??) Etudier la limite en 0 de la fonctionf(x) =ecosx-echxcosx-chx.Aide : une mise en facteur devrait aider...
Exercice de TD : 4
(??) D´eterminer le nombre de solutions de l"´equation 2x-3x=ko`uk?Z.Exercice de TD : 5
(??) Prouver que pour toutxappartenant `a un intervalle `a d´eterminer, nous avons :xx(1-x)1-x≥12.
14 Cours MPSI-2017/2018 Techniques de calcul : fonctions usuelles http://pascal.delahaye1.free.fr/2) Les fonctions trigonom´etriques r´eciproques
1. Outre les ensembles de d´efinition, de d´erivabilit´e, les graphes et les expressions des d´eriv´ees, il faut
´egalement
(a) connaˆıtre quelques formules... (b) savoir que arccos(cosx), arcsin(sinx) et arctan(tanx) donnentxque sur certains intervalles.2. Bien distinguer les deux types de questions suivantes :
(a) D´eterminer les valeurs dexv´erifiant...Il s"agit ici de r´esoudre une ´equation et la m´ethode par analyse/synth`ese sera en g´en´eral utilis´ee
(b) Prouver que pour toutx?I, on a la relation suivante ...On choisira ici
i. une m´ethode de type "Soitx?I, calculons" (avec ´eventuellement un changement de variable) ou
ii. un raisonnement par ´equivalences successives ou enfiniii. une m´ethode utilisant une ´etude de fonction (qui aboutit `a une d´eriv´ee nulle sur un intervalle)
Exercice de TD : 6
1. (♥♥) R´esoudre l"´equation : arcsin(2x) = arccos(x).
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