[PDF] Rappels et compléments sur lintégrale de Riemann

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Chapitre1

Rappelsetcompl´ements sur

l'int´egraledeRiemann

Commen¸consparunrappel.

Th´eor`eme1.0.1

(Th´eor`emefondamentalducalculint ´egral) Soitf:[a,b]!Runefonction continue.Pourtoutx2[a,b],pos ons F(x)= Z x a f(t)dt. Lafon ctionFestd´ efiniesur[a,b],el leestd´erivab leetF 0 (x)=f(x). End'aut restermes,siFestunepri mitived'u nefonctioncontinuefalors R f(x)dx=F()F(↵).

Preuve

Onaparl ar elationd eChasle s,F(x+h)F(x)=

R x+h a f(t)dt R x a f(t)dt= R x+h x f(t)dt.

Parlafor mulede lamoyenne(cfTD1),i lexist et

h

2[x,x+h]telque

R x+h x f(t)dt=hf(t h ).Faison s tendrehvers0.Alorst h !xetparcon tinuit ´edef,f(t h )!f(x).Doncl im h!0 (F(x+h)F(x))/h= f(x).Lafonc tion Festd´eriv ableenx,etF 0 Nous´enon ¸consmaintenantdespropri´et ´estr`esutilespourlamajor ationetlecal cule ectif d'int´egrales(etdeprimitivesenremp la¸cantlebenhautd el'int´egr aleparu nevariable).

1.1In´ega lit´edeCauchy-Schwarz

Th´eor`eme1.1.1

Sifetgsontcontinu essur[a,b]alors

Z b a f⇥g 2 Z b a f 2 Z b a g 2 avec´egalit´es ifetgsontproporti onnelles.

Preuve

Lapr euveesttoujourslamˆe me.8t2R,x7!(f(x)+tg(x)) 2 estcontinu e,positiveetparlin´earit´e et croissancedel'int´egraledeR iemann, Z b a (f+tg)(x)) 2 dx= Z f 2 +2tfg+t 2 g 2 dx= Z f 2 +2t Z fg+t 2 Z g 2 0

Sig=0l er´ esultat annonc´eest´evident.

2 AnalyseMath41 - Univer sit´edeBourgogn e - 2014 -20153

Sig6=0al ors, commegestcontinu e,

R g 2 >0.Parcons´ equent,lepolynˆomededegr´e2ent, P(t)= Z f 2 +2t Z fg+t 2 Z g 2 v´erifieparconstructionP(t)0pou rtouttetsondi scrimi nant0avec =4 ✓Z fg 2 4 Z f 2 Z g 2 0 d'o`uler´esultat .Enfin, encasd'´egalit´e(discriminant nul),onapouruncer taint 0

2R(racinedouble)

f(x)+t 0

Exempled'utilisation

Soitfunefoncti oncontinueetpositives ur[0,1].

✓Z 1 0 p f(x)dx ◆2 Z 1 0 f(x)dx.

Remarque1

Onpeut observerquec ettein´egalit´eestassoc i´eeauprod uitscalaire(dansl 'espacedesfonctions

int´egrables)hf,gi= R fg.

1.2Int´eg rationparparties

Cettetechnique estutilelorsqu'onpeut´ecrire lafonction` aint´egrercommel eproduitde2fonc- tions,dontonconnaitu neprimit ive pourl'unedes2.

Th´eor`eme1.2.1

Sifetgsont2foncti onsc ontinˆumentd´erivables surunintervalle[a,b]alors Z b a fg 0 =[fg] b a Z b a gf 0

Preuve

Posonsh:=fg.Laf onct ionhestd´eriv ableetded´eriv´eecontinue,h 0 =f 0 g+fg 0 ,ona donc d'ap r`es leth´e or`emefondamental(arappeler)etl alin´earit´edel'int´egrale [h] b a Z b a h 0 Z b a fg 0 Z b a f 0 g Voiciquelques exemplesd'utilisationdel' int´egrationparparties.

Calculde

R 2 1 ln(x)dx

Posonsf(x)=ln(x)etg

0 (x)=1.Onaalors Z 2 1 ln(x)dx=[xln(x)] 2 1 Z 2 1 1dx =2ln (2)1 AnalyseMath41 - Univer sit´edeBourgogn e - 2014 -20154

Calculde

R 1 0 xe x dx

Posonsf(x)=xetg

0 (x)=e x .Onconnai tuneprimitived eg 0 ,g(x)=e x etonadon c Z 1 0 xe x dx=[xe x 1 0 Z 1 0 e x dx =e(e1)=1 Cettem´ethodes eg´en´eralisedirectement auxcalcu lsd'int´egralesdelaforme Z b a P(x)e x dx

o`uP(x)es tunpolynˆom eenx.Il faute↵ectuerdesint´egrati onsparpartie ssuccessivesdefa¸con`a

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