[PDF] Calculus II - Examen Calculus II. Examen. (1er septembre

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Calculus II

Examen(1erseptembre 2021)Nom :

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Lisez ces quelques consignes avant de commencer l"examen. Veuillez commencer par écrirelisiblementen lettresMAJUSCULESvotrenom,prénomet

section(MATH,PHYS,INFO,PINFO) surtoutesles feuilles.Aucun appareil électronique (calculatrice, GSM,...) n"est autorisé. Votre GSM doit être en

mode silencieux.Assurez-vous que vous comprenez la question qui vous est posée et faites attention à ce que

le texte que vous écrivez y réponde explicitement (par exemple : le correcteur ne doit pas

avoir à conclure lui-même).Sauf mention contraire, il est nécessaire dejustifiervos calculs et vos affirmations. Votre

argumentation doit convaincre le lecteur. En l"absence de justification, le résultat final, même

correct, n"a pas de valeur.Veillez à faire unerédaction soignéede vos réponses. Celle-ci sera prise en compte. Notez

que nous ne lirons pas vos brouillons (à faire aux dos des feuilles).Si une question est étalée sur plusieurs feuilles, veuillez grouper celles-ci lors de la remise de

votre copie. Faites également attention à nepasfinir votre réponse sur la feuille d"uneautre

question! Le non respect de ces consignes sera pénalisé.4

Question 1.Calculez l"intégraleZ

1

0sinh(2x)sin(px)dxoù, pour rappel, sinh(x) = (exex)=2

désigne le sinus hyperbolique.Indication :intégrez par parties. 1/7

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Question 2.Calculez l"intégrale impropre suivante (en utilisant la définition de limite au sens

strict) :Z+¥ 2x

210x2x

4+x26dx:

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Question 2 (suite).Si nécessaire, poursuivez votre réponse sur cette page. 3/7

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4 Question 3.Déterminez la solution réelleu:I!R:t7!u(t)du problème de Cauchy tu(t) =1u(t)+u(t);u(0) =u0; oùu02RetIest aussi grand que possible. Donnezusous la forme d"une seule formule (qui peut dépendre deu0) : u(t) =I=Ci-dessous, détaillez et justifiez les calculs qui donnent lieu à cette solution. 4/7

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6 Question 4.Déterminez l"ensemble des solutions réelles de l"EDO suivante : 5/7

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Question 4 (suite).Si nécessaire, poursuivez votre réponse sur cette page. 6/7

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3 Question 5.Soitaun nombre réel. Nous savons que le problème de Cauchy possède une unique solution. Nous noterons celle-ciu(;a):R!R:t7!u(t;a)pour insister sur sa dépendance vis à vis du paramètrea. Montrez que l"application

R!R:a7!u(1;a)

est linéaire. 7/7quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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