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La modélisation dans l"enseignement des

mathématiques au collège

StéphaneVinatier

L"argumentation qui suit est basée essentiellement sur ma lecture des programmes du Cycle 4 et ma vision de ce que peut être l"apprentissage de la modélisation et de la démarche scientifique; elle est aussi influencée par mon expérience d"enseignement en licence de mathématiques et master MEEF parcours mathématiques (en particulier la préparation de leçons d"oral de CAPES portant sur le programme du collège).

La modélisation dans les programmes

Modéliser est une des six compétences majeures dont le développement est visé dans l"enseignement des mathématiques, à tous les cycles du primaire et du secondaire (les autres sont chercher, représenter, calculer, raisonner et communiquer). Au cycle 3, son importance reste limitée : " utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne; reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité; recon-

naître des situations réelles pouvant être modélisées par des relations géométriques (ali-

gnement, parallélisme, perpendicularité, symétrie); utiliser des propriétés géométriques

pour reconnaître des objets ». En particulier il ne semble pas indiqué de mettre en avant

l"étape de modélisation, qui reste donc transparente pour les élèves, le but assigné, donné

dès le premier paragraphe du programme, étant de " montrer comment des notions ma- thématiques peuvent être des outils pertinents pour résoudre certaines situations. » 1 Le programme du cycle 4 incite à entrer beaucoup plus dans l"étude de la modélisation,

il s"agit en effet désormais de " reconnaître des situations de proportionnalité et résoudre

les problèmes correspondants;traduire en langage mathématique une situation

réelle(par exemple, à l"aide d"équations, de fonctions, de configurations géométriques,

d"outils statistiques);comprendre et utiliser une simulationnumérique ou géomé- trique;valider ou invalider un modèle,comparer une situation à un modèle connu(par exemple un modèle aléatoire) ». Ces item montrent que les principales phases de la modélisation sont explicitement au programme : -partant d"une question en dehors du monde mathématique, la traduire en un problème mathématique

2;1. " Si la modélisation algébrique relève avant tout du cycle 4 et du lycée, la résolution de problèmes

permet déjà de montrer comment des notions mathématiques peuvent être des outils pertinents pour

résoudre certaines situations. »

2. " Le programme fournit des outils permettant de modéliser des situations variées sous forme de

1 -résoudre ce problème avec les outils mathématiques appropriés3, éventuellement en procédant à des simulations (par exemple calcul sur tableur, utilisation de GeoGe- bra) 4; -retraduire la solution mathématique en termes de la situation dont le problème est

issu, estimer alors la pertinence de la réponse, c"est-à-dire la validité du modèle choisi

pour représenter et résoudre la question.

La démarche scientifique

Un des enjeux essentiels de la formation citoyenne des élèves est de leur faire prendre conscience de la différence fondamentale entre la construction scientifique de la connais- sance et les croyances véhiculées par les religions, traditions ou encore par des rumeurs. Les heures de sciences permettent une première approche de l"expérimentation et de son usage pour construire la connaissance : si une nouvelle expérience aboutit, dans des conditions reproductibles et controlées, à des résultats remarquables, on tentera d"expliquer ceux-ci

à l"aide d"une théorie existante, dont la validité se trouvera alors renforcée par cette nou-

velle capacité d"explication, ou sinon en imaginant les nouvelles lois nécessaires à cette explication, qui deviendront alors des hypothèses à tester par exemple en imaginant des

expériencesad-hoc. Il est à noter que ces " expériences » peuvent être, au stade ultime,

l"application des lois ainsi construites à la réalisation d"objets technologiques, dont le fonctionnement lui-même atteste de leur validité. Un point important et délicat à faire comprendre est que, bien que la validité des théories scientifiques qui expliquent le monde soit toujours relative (chaque développement de la connaissance remet partiellement en cause certaines connaissances antérieures), ces théories n"en restent pas moins beaucoup plus solides que toutes les autres manières de construire des explications du monde. De fait les remises en cause produites par les

nouvelles découvertes consistent généralement à mieux circonscrire le domaine de validité

des anciennes connaissances, sans rien leur ôter de leur pertinence à l"intérieur de ce

domaine. L"exemple immédiat qui vient à l"esprit est celui de la théorie de la relativité

d"Einstein : elle consiste en une modification des lois établies auparavant par Newton pour les rendre plus universelles (afin d"expliquer les résultats d"expériences jusque là " paradoxales »), modification qui n"en est vraiment une que pour des objets dont la vitesse se rapproche de celle de la lumière, autant dire que les lois de Newton restent complètement valables dans de très nombreuses situations, en particulier les plus courantes

à notre échelle

5. Cette très brève présentation de la démarche scientifique montre que la modélisation mathématique telle que décrite dans le programme du Cycle 4 en est un cas particulier, en

ce sens qu"elle pourra consister à valider ou invalider un modèle : je fais l"hypothèse que laproblèmes mathématisés. »

3. " Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions (équations, inéquations). »

4. Cette phase peut également avoir lieu pour des problèmes qui ne sont pas issus d"une situation

réelle, c"est-à-dire posés dès le départ en termes mathématiques, lors d"une phase de recherche.

5. Notons cependant qu"il faut tenir compte des modifications d"Einstien pour permettre à la locali-

sation GPS de fonctionner, du fait qu"elle associe des données provenant de plusieurs satellites. 2

situation réelle que j"étudie se traduit d"une certaine façon en langage mathématique; les

outils mathématiques dont je dispose permettent alors d"en déduire certaines conséquences que je peux comparer, une fois retraduites dans le langage de la situation d"origine, aux observations faites dans celle-ci; selon que les conséquences et les observations coïncident ou non, on est amené à valider le modèle mathématique utilisé (au moins pour cette

situation précise) ou à l"invalider et à en chercher un autre. La comparaison de la situation

à un modèle connu est du même acabit : celui-ci donne des lois de comportement que l"on compare aux observations réelles, une fois traduites dans le langage mathématique de ce modèle.

La modélisation dans l"enseignement

Montrer l"utilité des mathématiques pour résoudre des questions de la vie courante,

pour décrire des phénomènes physiques, pour représenter des données géographiques,...

tous les liens qu"on peut faire entre les notions mathématiques qu"on enseigne et leurs applications à l"extérieur des mathématiques sont pertinents, en ce sens qu"ils donnent

aux élèves de multiples façons d"appréhender et de s"approprier ces notions, ce qui permet

au plus grand nombre d"entre eux de trouver celle qui lui convient le mieux. Bien sûr ceci n"est pas exclusif du travail purement mathématique sur la notion (exercices, problèmes,...) qui reste tout à fait indispensable pour construire et consolider le sens mathématique. Il me semble donc que les seules limites à l"utilisation de cette pratique dans l"enseignement sont les contraintes de temps et, de ce fait, l"équilibre à trouver avec tous les autres types d"activité. Cela étant, pour qu"elles soient bien comprises et qu"elles prennent tout leur sens pour

les élèves, il me paraît essentiel que les activités de modélisation soient bien identifiées

comme telles : ils doivent être conscients qu"ils sont en train d"effectuer une démarche scientifique et qu"ils doivent en respecter les règles. Celles-ci sont simples et on peut donc leur demander de la rigueur dans l"exécution de la tâche, qui doit bien séparer : (1)la phase de " traduction » de la situation réelle en langage mathématique, dans le modèle qui semble le plus approprié; (2)la phase mathématique : une fois dans le monde mathématique, appliquer les outils mathématiques adaptés pour faire les calculs ou résoudre le problème qui se pose; (3)la phase de re-traduction des résultats dans la situation réelle et la comparaison avec ce que peut y observer : les résultats et les observations sont-ils compatibles? Autrement dit le modèle est-il valable dans les conditions où on l"a utilisé? Cette courte liste de tâches appelle quelques commentaires pour être bien comprise. Le mot " traduction » qui apparaît dans le programme est un peu trompeur : il pour-

rait faire croire que l"intégralité des informations dont on dispose dans la situation réelle

vont se retrouver dans le modèle mathématique. Cela peut parfois sembler être le cas

lorsque l"énoncé a été artificiellement expurgé de toutes les données qu"on ne souhaite

pas préserver dans le modèle; il faut cependant être conscient qu"on simplifie toujours le réel lorsqu"on le modélise (et donc on perd de l"information) : le terrain de football de forme apparemment rectangulaire ne le devient vraiment que lorsqu"on en a fait l"objet 3

mathématique "rectangle", autrement dit les très petites différences de longueur des côtés

opposés, qui sont inévitables dans le monde physique, ne seront pas conservées par la mo-

délisation. Plus généralement, pour une grandeur physique qui n"est par définition connue

qu"avec une certaine précision, la modélisation consiste à abandonner l"incertitude de la

mesure physique en fixant la valeur avec la précision qui semble préférable, à déterminer

avec précaution : la validité du modèle peut en dépendre! 6 Ce qui vient d"être écrit conforte le découpage de la modélisation en trois phases comme ci-dessus : on doit bien séparer ce qui se produit dans le monde réel et ce qu"on en fait dans le modèle mathématique, pour comprendre que les conclusions tirées de l"analyse mathématique ne peuvent être valablement appliquées qu"à un certain niveau d"approxi-

mation : le caractère absolu des vérités mathématiques ne se transfère pas au monde réel,

le terrain de football physique n"est un rectangle qu"à un certain niveau d"approximation. De même un objet physique ayant une forme triangulaire, avec des côtés mesurant 3cm,

4cm et 5cm, n"est évidemment pas rectangle si on le scrute avec suffisamment de préci-

sion (à l"échelle atomique par exemple), tandis que le triangle mathématique de côtés de

longueurs3,4et5par lequel on peut le modéliser est parfaitement, absolument rectangle. Cette réflexion nous ramène naturellement au lien entre la modélisation et l"appren- tissage de la démarche scientifique, qui demande de faire sentir aux élèves que chaque théorie scientifique a un domaine de validité (ou d"application) qui lui est propre (et qui peut parfois être remis en question lorsque de nouveaux phénomènes sont observés). Les mathématiques elles-mêmes ne prennent sens que si on les applique aux objets pour

lesquels elles sont valables, à savoir les objets mathématiques : nombres et objets géomé-

triques pour l"essentiel au niveau du collège. Utiliser le théorème de Pythagore demande d"avoir une notion de distance entre les points de l"espace ou du plan, au sens mathéma- tique du terme, en particulier à valeurs dans un ensemble bien choisi (les nombres réels

positifs, même si on ne les appelle pas forcément ainsi, au niveau du collège). C"est avec ces

nombres qu"on teste la propriété " carré de la longueur de l"hypoténuse égal à la somme

des carrés des longueurs des deux autres côtés », et cette égalité n"a de sens qu"avec des

nombres " mathématiques », c"est-à-dire connus avec une précision absolue; en d"autres

termes, l"égalité ne peut pas être vérifiée pour les longueurs physiques des objets, qui ne

peuvent être connues qu"à un niveau d"approximation plus ou moins grand. C"est pour cette double raison (domaine de validité d"une théorie; distinction entre la

réalité physique et son modèle) que je défends l"idée que les unités physiques des gran-

deurs n"apparaissent que dans les phases(1)et(3)de la modélisation, en rapport avec la situation réelle; dans la phase(2), ne doivent plus apparaître que les objets mathé- matiques auxquels la théorie s"applique, nombres ou objets géométriques. Autrement dit, au Cycle 4 et dans la perspective de maîtriser le sens de la modélisation tout en allant vers l"apprentissage de la démarche scientifique, on ne devrait pas faire de calculs avec des grandeurs physiques (avec unités) ou raisonner à l"aide d"outils mathématiques sur

une situation (terrain de football...) qui n"a pas au préalable été modélisée par une fi-

gure géométrique (connue avec exactitude donc). Alors que beaucoup s"accordent à dire

qu"on devrait demander plus de rigueur aux élèves à ce stade de leur scolarité (en accord6. Une approximation de données météorologiques à la 5

edécimale plutôt qu"à la 6ea permis à unquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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