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  • Pourquoi la théorie des graphes ?

    On peut voir un graphe comme un ensemble de points, reliés par les arêtes. Entre deux sommets donnés, il peut y avoir plusieurs arêtes, ce que l'on appelle aussi une arête multiple. Une arête avec une seule extrémité est appelée une boucle. Un graphe simple est un graphe sans boucle ni arête multiple.

  • Quelle est la nature du graphe ?

    ? Graphe simple
    Un graphe est simple s'il ne comporte aucune boucle et que deux arêtes ne relient jamais la même paire de sommets.
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Programmation Lin´eaire

Cours 1 : programmes lin´eaires, mod´elisation et r´esolution graphique

F. Clautiaux

francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr

Universit´e Bordeaux 1

Bˆat A33

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Motivation et objectif du cours

Introduction `a la programmation lin´eaire

Un outil qui permet de :

•mod´eliser •r´esoudre toute une classe de probl`emes d"optimisation.

Existence de solveurs efficace pour la PL

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Ouvrages de r´ef´erence

V. Chv´atal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983. •R. J. Vanderbei - Linear Programming, Foundations and Extensions,

Springer-Verlag, 2008.

•C. Gu´eret, C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire :65 probl`emes d"optimisation mod´elis´es et r´esolus avec Visual Xpress,

Eyrolles, 2000.

•C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire avec Excel : 55 probl`emes d"optimisation mod´elis´es pas `a pas et r´esolus avec Excel,

Eyrolles, 2011.

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Sommaire

Introduction par l"exemple

Exemple 1 : Production

Exemple 2 : Transport

Exemple 3 : Planification

Programme lin´eaire

R´esolution graphique

Points extrˆemes

Forme standard, bases

Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Probl`eme de production

Un fabricant produit 2 types de yaourts `a la fraise A et B `a partir de Fraise, de Lait et de Sucre. Chaque yaourt doit respecter les proportions suivantes de mati`eres premi`eres. AB

Fraise21

Lait12

Sucre01

On dispose de 800 Kg de Fraises, 700 Kg de Lait et 300 Kg de sucre. La vente de 1 Kg de yaourts A et B rapporte respectivement 4eet 5e.

Le fabricant cherche `a maximiser son profit.

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Seules valeurs non constantes : les quantit´es de yaourtsAetB produites •On parle devariables •On les noteraxAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Le profitz •Calcul´e `a partir dexAetxB •On parle defonction objectif •z= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? •Premi`ere contrainte : 800 Kg de fraises disponibles •la quantit´e utilis´ee d´epend de la production : 2xA+xB ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x x

A,xB≥0

positivit´e! ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mon premier programme lin´eaire

max4xA+ 5xB x x x

A,xB≥0

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Probl`eme de transport

Approvisionner au moindre coˆut les clients `a partir des usines.

Usines (i?I)BordeauxBiarritzToulouse

Productions (pi)251520

Clients (j?J)PauBayonneBordeauxLibourne

Demandes (dj)2012914

Prix/unit´e (ci,j)PauBayonneBordeauxLibourne

Bordeaux261904

Biarritz1222024

Toulouse19302428

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Variables :

x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Variables :

x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :

Minimiser?

i?I? j?Jci,jxi,j ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Variables :

x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :

Minimiser?

i?I? j?Jci,jxi,j •Contraintes :? i?Ixi,j=dj,?j?J(Demandes `a satisfaire) x i,j≥0,?i?I,j?J ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Probl`eme de planification

Planifier la production d"articles `a moindre coˆut pour les 4 prochains mois. Production maximale normale : 1200 articles / mois Production maximale en heure sup : 400 articles / mois

Surcoˆut heures sup : 7 euros / article

Stockage : 3 euros / article / mois

mois 1mois 2mois 3mois 4

Demandes900110017001300

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Variables :

x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Variables :

x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 •Objectif :

Minimiser 7?t=4

t=1yt+ 3?t=3 t=1st •Contraintes : x

1+y1= 900+s1

s

1+x2+y2= 1100+s2

s

2+x3+y3= 1700+s3

s

3+x4+y4= 1300

s t≥0,t= 1, ...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Sommaire

Introduction par l"exemple

Programme lin´eaire

R´esolution graphique

Points extrˆemes

Forme standard, bases

Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

R`egles de r´e´ecriture (1)

Toute contrainte d"´egalit´e peut s"´ecrire comme deux in´egalit´es : n i=1a ixi=b≡? n i=1a ixi≥b≡n? Tout probl`eme de minimisation peut s"´ecrire comme un probl`eme de maximisation : max n? i=1c ixi≡minn? i=1-cixi ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Ecriture g´en´erale d"un programmation lin´eaire On peut ´ecrire ainsi un programme lin´eaire avecnvariables x

1,...,xnetmcontraintes.

max ?ni=1cixi x i?R,(i= 1,...,n) •Lin´earit´e :Objectif et contraintes sont des fonctions lin´eaires des variables de d´ecision (les coefficientscietaijdes variables sont constants) •Continuit´e :Les variables peuvent prendre n"importe quelle valeur r´eelle respectant les contraintes linaires ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (1) min?ni=1xixi x i?R,(i= 1,...,n) min ?ni=1xi x i?

N,(i= 1,...,n)

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (2) min?ni=1cixi x i?

R∩[l1,u1]∩[l2,u2],(i= 1,...,n)

min ?ni=1cixi x 1=x2 oux1=x3 x i?R,(i= 1,...,n) ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Forme normale d"un programme lin´eaire

Tout programme lin´eaire peut s"´ecrire sousforme normale. max ?ni=1cixi x i≥0,xi?R,(i= 1,...,n)

Si on a une variablexi?R, on introduitx+

i≥0 etx- i≥0 et on posexi=x+ i+x- i. ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Sommaire

Introduction par l"exemple

Programme lin´eaire

R´esolution graphique

Repr´esentation graphique d"un PL

R´esolution graphique

Points extrˆemes

Forme standard, bases

Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

R´esolution graphique

On dispose d"un outil (la PL) pour mod´eliser des probl`emes •Comment r´esoudre les probl`emes `a l"aide de la PL? •Plusieurs algorithmes existent, dont le simplexe (prochain cours)quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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