Première ES - Suites arithmétiques
De plus le coefficient directeur de la droite sur laquelle les points sont alignés est la raison de la suite arithmétique. Démonstration :
Calcul matriciel
Classe de Première ES option Maths (603 – 605) b. Vocabulaire. •. Les nombres dans les matrices se nomment : les coefficients de la matrice.
Systèmes linéaires1
Première phase de la résolution. Le coefficient en haut à gauche du système s'appelle le pivot du système. On commence par le transformer en un 1 en multipliant
APRÈS LA SECONDE La nouvelle classe de première BIEN
1ère S. Bac français. TSV. Bac français. 1ère ES. Bac français première. Coefficient au Bac. Note de passage en TES. Epreuves d'anticipation.
Devoir Surveillé n°1A Correction Première ES/L
Correction DS n°1A - Première ES/L - Septembre 2018. Le coefficient multiplicateur associé à ces évolutions est k = (1+10%).
Les différentes filières au lycée Antoine Roussin
en première. A) La première S. 1) Présentation de la filière S. 2) Les horaires et les coefficients. B) La première ES. 1) Présentation de la filière ES.
les matrices sur Exo7
le premier coefficient de la colonne (ai1 × b1j) que l'on ajoute au produit du deuxième La matrice carrée suivante s'appelle la matrice identité :.
Diapositive 1
Matières horaires et coefficients au baccalauréat. Enseignements communs. Séries ES
Les différentes filières au lycée Antoine Roussin
en première. A) La première S. 1) Présentation de la filière S. 2) Les horaires et les coefficients. B) La première ES. 1) Présentation de la filière ES.
Devoir Surveillé n°1 Correction Première ES/L
Calculer le prix hors taxes (H.T.). Augmenter de 20% c'est multiplier par 12 donc pour obtenir le prix HT on divise par ce coefficient multiplicateur soit :.
Suites arithmétiques
I) Définition:
Soit ݊
un nombre un entier naturel une suite. On dit qu'elle est arithmétique si, partant duTERME INITIAL ࢛
, pour passer d'un terme au suivant, on AJOUTE toujours le même nombre appelé RAISON Exemple : Pour un abonnement internet illimité, un opérateur propose les prix suivants :40 € de frais d'établissement de ligne et 30 € par mois d'abonnement.
• Le budget total pour un mois d'abonnement est : 40 + 30 = 70 Le budget total pour un mois d'abonnement est de 70 € • Le budget total pour deux mois d'abonnement est: 70 + 30 = 100 Le budget total pour deux mois d'abonnement est 100 € • Le budget total pour trois mois d'abonnement est: 100 + 30 = 130 Le budget total pour un trois d'abonnement est de 130 € Et ainsi de suite ........On additionne 30 au prix du budget total du mois précédent pour obtenir celui du mois suivantSoit ݑଵ
le budget total pour un mois d'abonnement: ݑ = 70 est le budget total pour deux mois d'abonnement: ݑ + 30 = 70 + 30 = 100 est le budget total pour trois mois d'abonnement: ݑ + 30 = 100 + 30 = 130 Soit le budget total pour ݊ mois d'abonnement:ݑ + 30 Cette suite est arithmétique : On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours par le même nombre (dans notre cas 30)Algorithme: dans cet algorithme
Cet algorithme permet d'obtenir les premiers termes d'une suite arithmétique.Déclaration des variables :
i , n entiers ; u , r réels ;Instructions d'entrée :
Entrer la valeur de l'entier n ; n est le rang du dernier terme que l'on veut obtenir Entrer la valeur du réel u et celle du réel r; u est le terme initial, r la raisonTraitement des données :
Pour i variant de 0 à n
Afficher u ;
Affecter à u la valeur de u+r ;
Fin de la boucle Pour ;
Fin de l'algorithme.
Les affichages successifs donnent les valeurs des termes de la suiteII) Les deux formules de calculs de termes.
est une suite arithmétique de premier terme ݑ et de raison r et , un entier naturel. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur appelée raison :On peut obtenir directement la valeur de ࢛
en appliquant la formule suivante :Cas particulier où le 1
er rang est 0 : ࢛Remarques.
La première formule s'appelle formule de récurrence. Elle traduit exactement la définition de suite arithmétique. En revanche, elle est incommode dans le cas où il s'agit de calculer un terme de rangélevé.
Par exemple, pour calculer ݑ
à partir de ݑ
, il faut effectuer ʹͺ additions du nombre ݎ.C'est inefficace !
Il convient dans ce cas d'employer la seconde formule, appelée formule directe.Les deux formules sont équivalentes : toute suite qui, pour tout entier ݊, vérifie l'une des
formules vérifie l'autre.Exemples :
Exemple 1 : Soit (
) la suite définie sur Գ, par : + 3 et ݑ = 11) Justifier que cette suite est arithmétique
2) Calculer
puis ݑ3) Calculer ݑ
en fonction de n4) A partir de quel rang la suite
ݑ est-elle supérieure ou égale à 100 ?Réponse :
1) Pour tout n appartenant à Գ,
= 3. La suite est donc arithmétique de raison 3 et de 1 er terme 1 (Pour passer d'un terme au suivant on ajoute à chaque fois 3). 2) + 3 = 1 + 3 = 4 ࢛ 4 + 3 = 4 + 3 = 7 ࢛ 7 + 3 = 7 + 3 = 10 ࢛ 10On applique la 2
ème
formule : + 23× 3
1 + 23
× 3 = 70 ࢛
= 70 3) = U 0× 3 ݑ
= 1 + 3 4)100 en utilisant la question précédente on obtient 1 + 3݊ 100
3݊ 99 d'où ݊ 33. A partir du terme d'indice 33 ,
est supérieure ou égaleà 100
Exemple 2 : Soit (
) la suite définie sur Գ , par : - 2 et ࢛ = 51) Justifier que cette suite est arithmétique
2) Calculer
puis ݑ3) Calculer ݑ
en fonction de nRéponse :
1) Pour tout n appartenant à Գ,
= -2. La suite est donc arithmétique de raison -2 et de 1 er terme 5 (Pour passer d'un terme au suivant on ajoute à chaque fois -2). 2) - 2 = 5 - 2 = 3 ࢛ 3 - 2 = 3 - 2 = 1 ࢛ 1 - 2 = 1 - 2 = -1 ࢛ -1On applique la 2
ème
formule : + (30 - 1)× (-2) le 1
er terme de la suite est U 1 au lieu de U 0La suite a donc un terme de moins donc
la formule est5 + 29
× (-2) = -53 ࢛
= -53 3) +( n - 1)× (-2)
= 5 +( n - 1× (-2) ݑ
= 7 - 2Exemple 3 : Soit (ݑ
) la suite arithmétique définie sur Գ par ݑ = 4 et = 12.Déterminer la raison et le 1
er terme ݑ de ݑRéponse :
ݑ est une suite arithmétique de raison r. Pour tous entiers ݉et ݊ : + (݊െ݉) r + (5 - 3 ) r12 = 4 + 2 r donc r = 4.
Son 1 er terme est ݑ U 3 + 3× 4 on obtient : 12 = ݑ
+ 12 donc = 0 La suite arithmétique ࢛ a pour raison 4 et a pour 1 er terme ࢛ = 0Exemple 4 : Soit (
) la suite définie sur Գ par ݑ = 3݊ + 8 Montrer que ࢛ est une suite arithmétique. Préciser sa raison et son 1 er terme ݑRéponse :
Pour tout n appartenant à Գ,
= 3(݊+1) + 8 = 3݊ + 3+ 8 = 3݊+ 11Pour tout n appartenant à Գ,
= 3݊ + 11 - 3݊ - 8 = 3La suite est donc arithmétique de raison 3.
= 3×0 + 8 = 8. Son 1 er terme est ࢛ = 8 Démonstration de l'équivalence des deux formules: • Cas particulier où le premier rang est 0 : - Tout d'abord montrons que si ࢘ alors ࢛ une suite telle qu'il existe un réel ݎ tel que pour tout entier naturel ݊, ݊ݎ alors ݑ donc ݑ donc ݑ ce qui prouve que pour tout entier naturel n, ݑ - Montrons maintenant la réciproque qui est : si ࢛ ࢘ alors ࢛ une suite telle qu'il existe un réel ݎ tel que pour tout entier naturel ݊, Ecrivons cette égalité pour tous les entiers entre 0 et n - 1 avec ܷ n lignes • Cas général où le premier rang est par : dans ce cas ݒ ainsi on se ramène au cas précédent. III) Sens de variation d'une suite arithmétiquePropriété:
une suite arithmétique de raison r • Si r > 0, alors (࢛ ) est strictement croissante. • Si r < 0, alors (࢛ ) est strictement décroissante. • Si r = 0, alors (࢛ ) est constante.Démonstration:
une suite arithmétique de raison r donc pour tout entier naturel n, + ݎ c'est-à-dire : ݑ ݊ݎ en additionnant membre à membre ces n égalités ci-contre on obtient : On constate que les termes s'annulent deux à deux sauf deux et ݑ ) et on obtient pour tout entier naturel ݊: • si r > 0 alors pour tout entier naturel n, ࢛ strictement croissante. • si r < 0 alors pour tout entier naturel n, ࢛ strictement décroissante. • si r = 0 alors pour tout entier naturel n, ࢛ = 0 ce qui veut dire que pour tout entier naturel n, ࢛Exemples:
Exemple 1 :
Etudier le sens de variation de la suite (
) définie sur Գ, par : + 3 et ݑ = 1Réponse :
Pour tout ݊ א
+ 3 Donc = 3Pour tout ݊ א
> 0La suite
est donc strictement croissante.Exemple 2 :
Etudier le sens de variation de la suite (
) définie sur Գ, par : - 2 et ࢛ = 5Réponse :
Pour tout ݊ א
- 2 Donc = -2Pour tout ݊ א
< 0La suite
est donc strictement décroissanteIV) Graphique.
La représentation graphique d'une suite arithmétique est constituée de points alignés, et cela la caractérise. Si les points de la représentation graphique d'une suite sont alignés, alors c'est une suite arithmétique. De plus, le coefficient directeur de la droite sur laquelle les points sont alignés est la raison de la suite arithmétique.Démonstration :
est une suite arithmétique de premier terme ݑ et de raison ݎ on peut donc écrire : C'est une fonction affine, sa représentation graphique est donc une droite.Les nombres ݑ
sont les images des entiers ݊. Les points ܣ ) sont sur la droite : ils sont donc alignés.Exemples:
Exemple 1 :
Ce dessin montre les douze premiers points du graphique d'une suite qui peut êtrearithmétique. En effet, prenons deux abscisses consécutives ݊et ݊ͳ, où ݊ est un
entier compris entre Ͳ et ͳͲ, la différence des ordonnées de ܣ et de ܣ vaut Ͳǡͷ.On peut traduire cela par la formule ݑ
ൌͲǡͷ. La suite peut donc être arithmétique de raison Ͳǡͷ.Exemple 2 :
Ce dessin montre les douze premiers points du graphique d'une suite qui ne peut pasêtre arithmétique. En effet, prenons deux abscisses consécutives ݊et ݊ͳ, où ݊ est
un entier compris entre Ͳ et ͳͲ, la différence des ordonnées de ܣ et de ܣ vaut Ͳǡͷ,On a donc ݑ
ൌെͲǡͷ et ݑ arithmétique. Attention ! Sur ces graphiques, relier les points isolés n'a pas de sens !quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] coefficient projet si bac s
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