Première ES - Suites arithmétiques
De plus le coefficient directeur de la droite sur laquelle les points sont alignés est la raison de la suite arithmétique. Démonstration :
Calcul matriciel
Classe de Première ES option Maths (603 – 605) b. Vocabulaire. •. Les nombres dans les matrices se nomment : les coefficients de la matrice.
Systèmes linéaires1
Première phase de la résolution. Le coefficient en haut à gauche du système s'appelle le pivot du système. On commence par le transformer en un 1 en multipliant
APRÈS LA SECONDE La nouvelle classe de première BIEN
1ère S. Bac français. TSV. Bac français. 1ère ES. Bac français première. Coefficient au Bac. Note de passage en TES. Epreuves d'anticipation.
Devoir Surveillé n°1A Correction Première ES/L
Correction DS n°1A - Première ES/L - Septembre 2018. Le coefficient multiplicateur associé à ces évolutions est k = (1+10%).
Les différentes filières au lycée Antoine Roussin
en première. A) La première S. 1) Présentation de la filière S. 2) Les horaires et les coefficients. B) La première ES. 1) Présentation de la filière ES.
les matrices sur Exo7
le premier coefficient de la colonne (ai1 × b1j) que l'on ajoute au produit du deuxième La matrice carrée suivante s'appelle la matrice identité :.
Diapositive 1
Matières horaires et coefficients au baccalauréat. Enseignements communs. Séries ES
Les différentes filières au lycée Antoine Roussin
en première. A) La première S. 1) Présentation de la filière S. 2) Les horaires et les coefficients. B) La première ES. 1) Présentation de la filière ES.
Devoir Surveillé n°1 Correction Première ES/L
Calculer le prix hors taxes (H.T.). Augmenter de 20% c'est multiplier par 12 donc pour obtenir le prix HT on divise par ce coefficient multiplicateur soit :.
1. Définitions et Vocabulairea. Définitions d'une matriceDéfinitionUne matrice de dimension n×p est un tableau de nombres comportant n lignes et p
colonnesExemples [3787 214556102]Cette matrice a pour dimension 3×4Elle comporte 3 lignes et 4 colonnesC'est une matrice quelconque
[36-57 4781082-5
00-16]Cette matrice a pour dimension 4×4Elle comporte 4 lignes et 4 colonnesC'est une matrice carrée
[7131153]Cette matrice a pour dimension 1×5Elle comporte 1 lignes et 5 colonnesC'est un vecteur ligne
[1 4 2 5-3]Cette matrice a pour dimension 5×1Elle comporte 5 lignes et 1 colonnesC'est un vecteur colonne1 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)b. Vocabulaire•Les nombres dans les matrices se nomment : les coefficients de la matrice•On noteaijle coefficient à l'intersection de la ligne i et la colonne j.•Toute matrice est de la forme :
[a11a12a13...........a1p a21a22a23..........a2p a31a32a33...........a3p an1an2an3...........anp]•Une matrice carrée est une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnesOn a alors n = p.•Un vecteur colonne est une matrice avec une seule colonne•Un vecteur ligne est une matrice à une seule ligne•Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et les coefficients situés à
la même place sont égaux.c. Transposée d'une matriceDéfinitionLa transposée d'une matrice est obtenu en échangant les lignes et les colonnesSi A est une matrice alors sa transposée se note : tA
Les lignes de A sont les colonnes de tA
Si A= [a11a12a13...........a1p a21a22a23..........a2p a31a32a33...........a3p an1an2an3...........anp ]alors tA= [a11a21a31...........an1 a12a22a32..........an2 a13a23a33...........an3 a1pa2pa3p...........anp ]2 / 10 Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Exemples A= [3787 214556102]
tA= [325 7168410
752]B=
[36-57 4781082-5
00-16]tB=
[3400 6780-582-1
71-56]
C=[41034]tC=
[4 10 3 4] D= [5 2 16]tD=[5216]2. Additions et Soustractionsa. Les additions et soustractions de matricesRègle de calculLa somme ( ou la différence ) de deux matrices A et B de même dimension est la
matrice obtenue en ajoutant ( ou soustrayant ) les coefficients de A et B situés à la même place.Exemple Si A= [3787 214556102]et
B= [0347 13610019]alors
AB=
[3101214 34106561111]3 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Remarque :A+B a la même dimension que A et B. b. Multiplication par un réelRègle de calculLe produit d'une matrice par un réel , est la matrice ×A obtenue en multipliant
chaque coefficient de A par .Exemples Si A= [3787 214556102]alors
10A= [3070807020104050
506010020] Si
A= [1 3 7 3 8 3 7 3 2 3 1 3 4 3 5 3 5 3 6 3 10 3 2 3 ]alors 3A= [1787 214556102]Si
A= [1787 214556102]alors
1 2 A= [1 2 7 2 8 2 7 2 2 2 1 2 4 3 5 2 5 2 6 2 10 2 2 24 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)3. Multiplications a. Produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonneRègle de calcul[a1a2....an-1an]×
[b1 b2 bn-1 bn a1 ×b1a2 ×b2....an-1×bn-1an×bnExemple [14201]× [3 1 5 4 01 ×34 ×12 ×50 ×41 ×0= 17b. Produit d'une matrice par un vecteur colonneRègle de calculPour multiplier une matrice A ( n×p ) par un vecteur colonne B( p×1 ), on multpilie
chacune des n lignes de la matrice A par le vecteur colonne BOn obtient alors un vecteur colonneExemples Si
A=[2432]et B=[5
7]alorsA×B=[24
32]×[5
7]=[2 ×44 ×7
3 ×52 ×7]=[36
29] Si
A=[241
322]et B=
[1 00]alors
A×B=[241
322]×
[1 00]=[2 ×14 ×01 ×0
3 ×12 ×02 ×0]=[2
3]5 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605) Si A=[241322]et B=
[0 10]alors
A×B=[241
322]×
[0 10]=[2 ×04 ×11 ×0
3 ×02 ×12 ×0]=[4
2] Si
A=[241
322]et B=
[0 01]alors
A×B=[241
322]×
[0 01]=[2 ×04 ×01 ×1
3 ×02 ×02 ×1]=[1
2]SiA=[241
322]et B=
[x y z]alorsA×B=[241
322]×
[x y z]=[2x4y1z3x2y2z]d. Produit de deux matricesRègle de calculSi A
aijest une matrice de dimension n×p et B bijest une matrice de dimension p×m alors C=A×B cijest une matrice de dimension n×m et Cij est le produit de la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B.Exemple SiA=[241
322]et B=
[014 017156]alors
A×B=[241
322]×
[014 017 156]A×B=[2 ×04 ×01 ×12 ×14 ×11 ×52 ×44 ×71 ×6
3 ×02 ×02 ×13 ×12 ×12 ×53 ×42 ×72 ×6]=[11142
21538]6 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)e. Propriétés de la multiplicationLa multiplication n'est pas commutative :
AxB BxA Exemple A=[20
34]et B=[-11
45] La multiplicatin est distributive par rapport à l'addition :A × (B + C) = A × B + B × CExemple
A=[2034], B=[-11
45]et C=[17
82]La multiplication est associativeA × (B × C ) = ( A × B ) × C Exemple
A=[2034], B=[-11
45]et C=[17
82]4. Matrice unité et Inverse a. DéfinitionDéfinitionIn est une matrice unité si i ∀∈ , aℕii = 1 et aij=0 si i ≠ jTous les coefficient de la diagonale sont égaux à 1 et les autres sont tous nulsExemple
I3= [100 010001]7 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)DéfinitionSoit A une matrice carrée n × n.La matrice A-1 est l'inverse de A ssi A × A-1 = A-1 × A= In
Exemple Si A=[20
34]alorsA-1=
[1 20 -3 8 14] En effet : A × A-1 = A-1 × A= I3
b. Recherche de l'inverse d'une matriceRègle de calculPour déterminer l'inverse d'une matrice M carée d'ordre n, on recherche une
matrice N dont les coefficients sont des inconnues telle que M x N = InExemple Soit
M=[322-1]On cherche une matrice N telle que MN = I2
On pose
N=[ab cd] On a alorsM=[3a2c3b2d
2a-c2b-d]
Ainsi, MN = I equivalent à
[3a2c3b2d2a-c2b-d]= [10
01] Ou encore :3a + 2c = 13b + 2d = 02a - c = 02b - d = 1 On trouve a = 1/7, b = 2/7, c = 2/7 et d = -3/7 On en déduit que la matrice M est inversible et
M-1= [1 7 2 7 2 7 -37]8 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Remarque :Soit A=[ab cd]une matrice carrée d'ordre 2A est inversible si, et seulement si a d - bc 0Si A est inversible, on démontre facilement que
A-1 =1
ad-bc[d-b -ca]5. Résolution de systèmes d'équationsExemple Je souhaite résoudre
{2x-3y=83x5y=-7 or,
[2-335]×[x
y]=[2x-3y3x5y] ce système est équivalent à l'équation suivante : AX = B avec
A=[2-3
35], X=[x
y]et B=[8-7]or A X = B A⇔-1 × A × X = A-1 × B donc A × X = B I⇔2 * X = A-1 × B X = A⇔-1 × BIl reste donc à calculer A-1 et de calculer A-1 × Bpour obtenir x et y. Attention A-1 est à gauche dans A-1 × BOn trouve
A-1= [5 19 3 19 -3 19 219]donc
[x y]= [5 19 3 19 -3 19 219]×[8
-7]= [519 ×8-3
19 ×7
-319 ×8 -2
19 ×7]=
[1 9 19 -3819]=[1
-2] x = 1 et y = -2⇒9 / 10Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)6. Autres calculsa. Puissances de matricesPour calculer An on effectue A×A×A ......×A ( n fois )Exemple J=
[010 001000] montrer que
J3=0b. Image d'une matrice par une fonction polynômeOn note la fonctionf(x) = ( x - 2 )( x - 3 )(x - 5 )Soit A une matrice carrée n × nPour calculer f(A) on effectue ( A - 2In)( A - 3In)( A - 5In)
Exemple Si
J= [200 030005]montrer que
f(A) = 010 / 10quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26[PDF] coefficient projet si bac s
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