Concavité et points d’inflexion

ordinaire (en anglais : ordinary rhamphoid cusp). Au point de rebroussement la courbe ne traverse pas sa droite tangente et il y a quatre points de contact

Maths vocab in English

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Manipuler les objets et les points des objets

21 août 2013 de OpenOffice.org 3.3 Draw Guide (anglais) et LibreOffice 3.5 Draw Guide (anglais). ... point de jonction comme étant un point d'inflexion.

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Choix des bons critères pour bien détecter le point déquivalence

également connaître les critères de détection du point Point d'inflexion ... anglais. Titration in routine and process investigations. 51724658.

Concavité et points d’inflexion - Archiveorg

Trouver les points d’inflexion 1) Calculer la dérivée seconde 2) Considérer les changements de signes de la dérivée seonde autour d’un point (ou elle s’annule ou n’existe pas 3) Assurer l’existene du point sur la oure que les points d’inflexion sont trouvées Truc!!! y = ax3 2+ bx + d y’ = 3ax2 + 2bx + c

PISA TIMSS et les MATHÉMATIQUES

concave et préciser les coordonnées des éventuels points d’inflexion : 2) On donne ci-dessous les courbes représentatives des fonction et ? Déterminer graphiquement les intervalles sur lesquels et sont convexes et concaves et préciser les coordonnées des éventuels points d’inflexion : Exercice n°3 :

Local Maxima Local Minima and Inflection Points

Local Maxima Local Minima and Inflection Points Let f be a function defined on an interval [ab] or (ab) and let p be a point in (ab) i e not an endpoint if the interval is closed • f has a local minimum at p if f(p) ? f(x) for all x in a small interval around p • f has a local maximum at p if f(p) ? f(x) for all x in a small

Effets des points d’inflexion sur les estimations des

le nombre de points d’inflexion pouvait varier (2 4 ou 6) Les résultats montrent un effet de détour uniquement pour la DE de 75 cm incluant 2 4 ou 6 points d’inflexion Ces résultats

ETUDE DES FONCTIONS - Dyrassa

traverse sa tangente en ???? alors le point ???? est un point d’inflexion 2 2 Dérivée seconde et concavité Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ???? et sa courbe représentative Soient un élément de ???? ????( ( )) et (????????) la tangente en ???? Soient et ???? deux points qui ont le même

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o Nous constatons qu’aux points d’inflexions les tangentes traversent la courbe Ceci est en effet une des caractéristiques des points d’inflexion o Nous constatons encore que les tangentes aux points d’inflexion – d’abscisse(s) a – peuvent horizontales ou obliques suivant la valeur du nombre dérivé fa'

Quels sont les points d’inflexion?

On en dénombre 7 qui font en particulier intervenir la dérivée seconde d’une fonction, les limites à droite et à gauche d’une fonction discontinue en un point, les points d’inflexion d’une courbe représentative, la loi des sinus…

Comment trouver les points d'inflexion ?

L'étude du signe de g'' peut permettre la recherche des points d'inflexion de ? : En effet, en différenciant de nouveau la forme g'. ? f/ ? y + ? f/dx = 0, nulle pour tout x et y de V, on obtiendra avec des notations évidentes (ou presque...) simplifiant la rédaction :

Comment calculer le point d’inflexion d’une fonction ?

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R et C f sa représentation graphique dans un repère ( O; ? ?, ? ?). Soit a ? I. La courbe C f admet un point d’inflexion au point d’abscisse a si et seulement si la fonction f passe de convexe à concave ou de concave à convexe au point d’abscisse a.

Comment désigner un point d’inflexion?

point d’inflexion on utilise les lettres PI pour désigner un point d’inflexion Le point (c, ƒ(c)) est un point d’inflexion du graphique de la fonction ƒ si a) la fonction ƒ est continue en x = c, b) il y a changement de concavité de part et d’autre de x = c. (ƒ’’(x)change de signe de part et d’autre de x = c)

Calcul 42S

1 Concavité vers le haut Concavité vers le bas

Si vous avez une droite linéaire (y = mx + b) la " courbe » représentative est une droite, toute corde se confond

avec la droite elle-même, alors la concavité est nulle. Associe la tangente à la courbe en cinq points. Le mouvement de gauche à droite : on constate que la pente passe de valeurs négatives à zéro à des valeurs positives de plus en plus grandes, alors la pente de la tangente croît.

Calcul 42S

Donc la pente de la tangente est donnée par la fonction dérivée, et si cette dernière fonction est croissante, sa

- Concavité vers le haut et dérivée seconde positive. - Concavité vers le bas et dérivée seconde négative.

Théorème 1 :

Théorème 2 :

ouvert autour de ce point sur lequel la concavité est dirigée vers le haut.

- Une courbe peut être concave vers le haut ou vers le bas sur un intervalle fermé [c, d] sans être

nécessairement concave vers le haut, ou vers le bas, aux points extrêmes x = c et x = d. Exemple 1 : Trouver les intervalles ou la concavité est dirigée vers le haut dans la courbe de y = x3 ʹ 9x2 + 24x + 6

Solution :

Alors :

Calcul 42S

3 Il faut bien noter que la concavité est dirigée vers le haut sur

Si x = 3 ? Ĩ'';ϯͿсϬ

change de sens en ce point.

Théorème 3 :

Preuve :

Calcul 42S

Théorème 4 : (inverse de théorème 3)

y = x3 + x2 ʹ 8x ʹ 1

Solution :

Si ݔ൐െͳȀ͵ ݕᇱᇱ൐Ͳ՜ Concavité vers le HAUT

Et pour

Calcul 42S

1) Calculer la dérivée seconde.

Truc!!!

y = ax3 + bx2 + d

Ǉ'с3ax2 + 2bx + c

axe de symétrie ݔൌି௕

Ǉ''с6ax + 2b = 0

Solution :

Si :

Calcul 42S

Exemple 4 :

Solution :

Calcul 42S

Solution :

Si :

La réciproque de théorème 1 et 2 :

Théorème 5 :

Si f est une fonction dont la courbe est concave vers le haut sur un intervalle I et si la dérivée seconde est

Théorème 6 :

Si f est une fonction dont la courbe est concave vers le bas sur un intervalle I et si la dérivée seconde est

Calcul 42S

Revue :

Pratique :

1. Déterminer le sens de la concavité et les

a) y = 6x2 ʹ 5x + 3 b) ݕൌξʹݔ൅ͷ ௫ d) ݕൌ௫మିଵ

Calcul 42S

Dérivée seconde et extremums relatifs

Extremum : Désigne un maximum ou un minimum

Lien entre extremum relatif et concavité (seconde méthode pour déterminer ces extremums relatifs.)

Maximum relatif en x = a

Calcul 42S

Théorème 1 :

Théorème 2 :

Trouver un extremum relatif

Test de la dérivée seconde

2) Trouver les valeurs critiques de f.

3) Conclure

Calcul 42S

Exemple 1 :

f(x) = 3x4 ʹ 20x3 ʹ 6x2 + 60x ʹ 27

Solution :

1) 2)

Les valeurs critiques sont x = 1 x = -1 x = 5

Donc, f(1) = 10 est un MAX relatif; f(-1) = -70 eset un MIN relatif et f(5) = -502 est un MIN relatif.

Calcul 42S

Exemple 2 :

Trouver les extremums relatifs de la fonction y = x4

Solution :

1) Ǉ'сϰǆ3 Ǉ''сϭϮǆ2

2) La valeur critique x = 0

3) Ĩ';ϬͿсϬ Ĩ'';ϬͿсϬ

On a donc un MIN relatif en x = 0, ce MIN étant f(0) = 0.

Pratique :

1. En utilisant le test de la dérivée seconde, trouver le extremums relatifs de :

Aucune extremum relatif

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Quels sont les points d’inflexion?

Comment trouver les points d'inflexion ?

Comment calculer le point d’inflexion d’une fonction ?

Comment désigner un point d’inflexion?

Calcul 42S

Calcul 42S

Théorème 1 :

Théorème 2 :

Solution :

Alors :

Calcul 42S

Si x = 3 ? Ĩ'';ϯͿсϬ

Théorème 3 :

Preuve :

Calcul 42S

Théorème 4 : (inverse de théorème 3)

Solution :

Et pour

Calcul 42S

1) Calculer la dérivée seconde.

Truc!!!

Ǉ'с3ax2 + 2bx + c

Ǉ''с6ax + 2b = 0

Solution :

Calcul 42S

Exemple 4 :

Solution :

Calcul 42S

Solution :

La réciproque de théorème 1 et 2 :

Théorème 5 :

Théorème 6 :

Calcul 42S

Revue :

Pratique :

1. Déterminer le sens de la concavité et les

Calcul 42S

Dérivée seconde et extremums relatifs

Extremum : Désigne un maximum ou un minimum

Maximum relatif en x = a

Calcul 42S

Théorème 1 :

Théorème 2 :

Trouver un extremum relatif

Test de la dérivée seconde

2) Trouver les valeurs critiques de f.

3) Conclure

Calcul 42S

Exemple 1 :

Solution :

Les valeurs critiques sont x = 1 x = -1 x = 5

Calcul 42S

Exemple 2 :

Solution :

1) Ǉ'сϰǆ3 Ǉ''сϭϮǆ2

2) La valeur critique x = 0

3) Ĩ';ϬͿсϬ Ĩ'';ϬͿсϬ

Pratique :

1. En utilisant le test de la dérivée seconde, trouver le extremums relatifs de :

Aucune extremum relatif