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ordinaire (en anglais : ordinary rhamphoid cusp). Au point de rebroussement la courbe ne traverse pas sa droite tangente et il y a quatre points de contact
Maths vocab in English
Beaucoup de théorèmes ont des noms différents en anglais pour des raisons histo- les anglais utilisent le point. ... point d'inflexion inflection point.
La prosodie de linterlangue dapprenants danglais ayant comme L1
apprenants et des locuteurs natifs d'anglais réalisent la focalisation dans le L'algorithme identifie ensuite des points d'inflexion ou d'ancrage ...
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357) ajoute un autre point de vue: «On estime qu'environ 80 pour cent des échanges verbaux où l'on utilise l'anglais comme langue 2nde ou étrangère se font
Obligation et inférence en anglais en français et en arabe
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L'idée est que le point d'inflexion supérieur pourrait représenter le début de la distension pulmonaire. Sur cette série de patients le VT devait être réduit
Manipuler les objets et les points des objets
21 août 2013 de OpenOffice.org 3.3 Draw Guide (anglais) et LibreOffice 3.5 Draw Guide (anglais). ... point de jonction comme étant un point d'inflexion.
Anglais correct exigé: Dynamiques et enjeux de langlicisation dans
8 juil. 2014 Cet événement nous est cité partout comme le point d'inflexion de la politique linguistique de l'entreprise. L'anglais est déclaré langue ...
Sociophonologie de langlais contemporain en Nouvelle-Zélande
6 oct. 2015 faire partager leur point de vue et leurs intuitions sur une variété ... l'inflexion c'est-à-dire le changement de forme d'un mot exigé par ...
Choix des bons critères pour bien détecter le point déquivalence
également connaître les critères de détection du point Point d'inflexion ... anglais. Titration in routine and process investigations. 51724658.
Concavité et points d’inflexion - Archiveorg
Trouver les points d’inflexion 1) Calculer la dérivée seconde 2) Considérer les changements de signes de la dérivée seonde autour d’un point (ou elle s’annule ou n’existe pas 3) Assurer l’existene du point sur la oure que les points d’inflexion sont trouvées Truc!!! y = ax3 2+ bx + d y’ = 3ax2 + 2bx + c
PISA TIMSS et les MATHÉMATIQUES
concave et préciser les coordonnées des éventuels points d’inflexion : 2) On donne ci-dessous les courbes représentatives des fonction et ? Déterminer graphiquement les intervalles sur lesquels et sont convexes et concaves et préciser les coordonnées des éventuels points d’inflexion : Exercice n°3 :
Local Maxima Local Minima and Inflection Points
Local Maxima Local Minima and Inflection Points Let f be a function defined on an interval [ab] or (ab) and let p be a point in (ab) i e not an endpoint if the interval is closed • f has a local minimum at p if f(p) ? f(x) for all x in a small interval around p • f has a local maximum at p if f(p) ? f(x) for all x in a small
Effets des points d’inflexion sur les estimations des
le nombre de points d’inflexion pouvait varier (2 4 ou 6) Les résultats montrent un effet de détour uniquement pour la DE de 75 cm incluant 2 4 ou 6 points d’inflexion Ces résultats
ETUDE DES FONCTIONS - Dyrassa
traverse sa tangente en ???? alors le point ???? est un point d’inflexion 2 2 Dérivée seconde et concavité Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ???? et sa courbe représentative Soient un élément de ???? ????( ( )) et (????????) la tangente en ???? Soient et ???? deux points qui ont le même
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o Nous constatons qu’aux points d’inflexions les tangentes traversent la courbe Ceci est en effet une des caractéristiques des points d’inflexion o Nous constatons encore que les tangentes aux points d’inflexion – d’abscisse(s) a – peuvent horizontales ou obliques suivant la valeur du nombre dérivé fa'
Quels sont les points d’inflexion?
- On en dénombre 7 qui font en particulier intervenir la dérivée seconde d’une fonction, les limites à droite et à gauche d’une fonction discontinue en un point, les points d’inflexion d’une courbe représentative, la loi des sinus…
Comment trouver les points d'inflexion ?
- L'étude du signe de g'' peut permettre la recherche des points d'inflexion de ? : En effet, en différenciant de nouveau la forme g'. ? f/ ? y + ? f/dx = 0, nulle pour tout x et y de V, on obtiendra avec des notations évidentes (ou presque...) simplifiant la rédaction :
Comment calculer le point d’inflexion d’une fonction ?
- Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R et C f sa représentation graphique dans un repère ( O; ? ?, ? ?). Soit a ? I. La courbe C f admet un point d’inflexion au point d’abscisse a si et seulement si la fonction f passe de convexe à concave ou de concave à convexe au point d’abscisse a.
Comment désigner un point d’inflexion?
- point d’inflexion on utilise les lettres PI pour désigner un point d’inflexion Le point (c, ƒ(c)) est un point d’inflexion du graphique de la fonction ƒ si a) la fonction ƒ est continue en x = c, b) il y a changement de concavité de part et d’autre de x = c. (ƒ’’(x)change de signe de part et d’autre de x = c)
Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
Année 2022 2023 M. Evanno
Convexité et composition
A) Convexité et inflexion.
1. Convexité : approches graphiques.
Définition : Fonction convexe
Soit ݂ une fonction définie sur un intervalle ܫ On note ܥ la courbe représentative de la fonction ݂ sur ܫDéfinition : Fonction concave
Soit ݂ une fonction définie sur un intervalle ܫ On note ܥ la courbe représentative de la fonction ݂ sur ܫ2. Convexité : approches algébriques.
Propriété : Admise
݂ est une fonction ܿ݊ݒ݁ݔ݁ sur un intervalle ܫ ݂ est une fonction ܿ݊ܽܿݒ݁ sur un intervalle ܫConséquences :
On note ݂ԢԢ la dérivée seconde de la fonction ݂, c'est-à-dire la dérivée de la dérivée de ݂.
Si ݂ԢԢ est positive sur un intervalle ܫ alors ݂ est ܿ݊ݒ݁ݔ݁ ܫSi ݂ԢԢ est négative sur un intervalle ܫ alors ݂ est ܿ݊ܽܿݒ݁ valle ܫ
Vidéo : étudier la convexité d'une fonction 2Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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Propriétés :
Soit ݂ une fonction définie sur un intervalle ܫ de Թ et ܥ ݂ est convexe sur ܫ si et seulement si sa représentation graphique ܥ dessus de chacune de ses tangentes. ݂ est concave sur ܫ si et seulement si sa représentation graphique ܥ dessous de chacune de ses tangentes. Démonstration : (mentionnée dans le programme)On va démontrer que si ݂ԢԢ est positive sur ܫ alors sa représentation graphique ܥ
entièrement au dessus de chacune de ses tangentes. Soit ܥ fonction ݂ dérivable sur ܫ et ܽ un réel tel que : ݔܫאAlors la tangente à ܥ
On note Ȱ la fonction définie sur ܫ
Ȱ est dérivable comme somme de fonctions dérivable et on note ȰԢ sa dérivée, on a alors :
On obtient donc le tableau de variations ci-dessous : On en déduit que si ݂ԢԢ est positive sur ܫ alors sa représentation graphique ܥ entièrement au dessus de chacune de ses tangentes.Exemples :
La fonction inverse ݔհͳ
Vidéo : reconnaitre graphiquement la convexité 3Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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3.Définition :
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente en ce point. Vidéo : reconnaitre graphiquement un point d'inflexion Vidéo : déterminer algébriquement un point d'inflexion pour résoudre un problèmeConséquences :
Exercice n°1 :
Parmi les courbes ci-dessous, lesquelles sont représentatives de fonctions convexes ? 4Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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B) Méthode des sécantes ou méthode de ࡸࢇࢍ࢘ࢇࢍࢋ (mentionnée dans le programme).
On sait que ݔא
On sait que ݔא
On veut déterminer une valeur approchée de ߙOn nomme ܿଵ ܥଵ ܿଵ de ܥ
On peut alors utiliser -eur de ܿ
5Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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Exercice n°2 :
1) u graphique ci-dessous, déterminer les intervalles sur lesquels ݄ est convexe et
2) On donne ci-dessous les courbes représentatives des fonction ݂ et ݃Ԣ.
Déterminer graphiquement les intervalles sur lesquels ݂ et ݃ sont convexes et concaves etExercice n°3 :
Soit ݂ une fonction dérivable sur Թ et telle que sa dérivée ݂Ԣ admet le tableau de variations suivant :
Indiquer la convexité de la fonction ݂ sur Թ ܥExercice n°4 :
1) Montrer que la fonction définie sur Թାכ
2) ͻ.
3) En déduire une inégalité.
Vidéo : démontrer une inégalité à l'aide de la convexité 6Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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C) Composition de fonctions.
1. Définition.
Définition :
Soit une fonction ݑ définie sur un intervalle ܫ et prenant ses valeurs dans un intervalle ܬ
Soit une fonction ݒ définie sur un intervalle ܭ tel que : ܭؿܬ On appelle fonction composée de ݑ par ݒ la fonction notée ݒלݑ ܫExemples :
La fonction f est la composée de deux fonctions ݑ et ݒ telles que : On dit que la fonction f est la composée de ݑ par ݒ et on note : On considère les fonctions ݑ et ݒ définies par : On va exprimer les fonctions ݒלݑ et ݑל Vidéo : identifier la composée de deux fonctionsVidéo : composer deux fonctions
2. .Propriété :
Soit une fonction ݑ définie et dérivable sur un intervalle ܫ La fonction ݂ൌݒלݑ est dérivable sur l'intervalle ܫExemple :
Alors :
Vidéo : dériver une fonction composée (cas général) 7Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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3. Fonction ࢌ Fonction dérivée ࢌԢ Ensemble de dérivabilité ݑ avec ݊אԺכ ݊ൈݑԢൈݑିଵ ܦ Vidéo : dériver une fonction composée (exponentielle) Vidéo : dériver une fonction composée (puissance et racine carrée)4. Etudier une fonction composée.
Soit ݂ la fonction définie sur Թ par :
1) Étudier les limites de ݂ à l'infini.
Limite en െλ Limite en +λ
Donc par composition, on a :
Par croissance comparée, on a :
Donc par inverse de limite, on a :
Donc par produit de limites, on a :
Et donc :
2) Calculer la dérivée de la fonction ݂.
݂ est dérivable sur Թ en tant que produit et composée de fonctions dérivables :3) Dresser le tableau de variations de la fonction ݂.
Comme ݁ିೣ
On dresse le tableau de variations :
8Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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Exercice type corrigé en vidéo :
Soit ܥ
1) Déterminer l'ensemble de définition de ݂.
Vidéo : domaine de définition
2) Étudier les limites de ݂ aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les équations
des asymptotes à la courbe ܥ Vidéo : limites aux bornes Vidéo : asymptotes à la courbe ܥ3) Étudier les variations de ݂.
Vidéo : dérivabilité de ݂ (hors programme) Vidéo : variations d'une fonction composée
4) Tracer les asymptotes à la courbe ܥ puis la courbe ܥ
Vidéo : représentation graphique
Exercice n°5 :
-dessous, les images suivantes quand elles existent :Exercice n°6 :
On considère les fonctions ݂, ݃, ݄ et ݑ définies par :1) Ecrire ݂, ݃ et ݄ comme composées de ݑ
2) Donner les domaines de définition de ݂, ݃ et ݄
Exercice n°7 :
On considère la fonction ݂ dont le tableau de variations est donné ci-dessous :1) Déterminer ל
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Exercice n°8 :
Calculer les dérivées des fonctions ci-dessous :Exercice n°9 :
On considère les fonctions ݂ et ݃ ci-dessous :1) Déterminer les ensembles de définition ܦ et ܦ
2) Etudier les variations des fonctions ݂ଵ et ݃ଵ ci-dessous et dresser leur tableau de variations :
3) En déduire les tableaux de variations de ݂ et ݃.
Exercice n°10 : Bac ES Centres Etrangers 2014
On note ݂Ԣ la fonction dérivée de ݂ et ݂ԢԢ la fonction dérivée seconde de ݂.
2) En déduire le sens de variation de ݂ sur Թ.
Déduire de la question précédente la position relative de ܥ et de la droite ܦExercice n°11 : Bac ES Liban 2006
2) Donner les intervalles où ݂ semble concave et ceux où elle semble convexe.
3) ܥ
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Exercice n°12 : Bac Spécialité Amérique du Nord 2022Partie A :
notée ߙ3) Déterminer une valeur approchée du réel ߙ
Partie B :
On note ܥ
2) Justifier que la courbe ܥ
3) ܥ
Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux -dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ?Argumenter.
4) On admet que la fonction ݂ԢԢ, dérivée seconde de la fonction ݂, a pour expression pour tout
où p est la fonction définie dans la Partie A. ݂ԢԢ, répondre à la question : " le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier. 11Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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Exercice n°13 : Bac ES Métropole 2006
La courbe ܥ
c) Dresser le tableau de variations de ݂.Dresser le tableau de variations de ݃.
Dresser le tableau de variations de ݄.
Exercice n°14 :
On note ݂Ԣ la fonction dérivée de la fonction ݂ et ݂ԢԢ sa dérivée seconde.
Partie A :
3) En déduire ܥ
4) Déterminer ܽ et ܾ
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Partie B :
1) Calculer les limites de ݂ aux bornes de son domaine de définition et préciser les éventuelles
asymptotes à ܥ2) Etudier les variations de ݂ pour ݔא
6) Etudier la convexité de ݂ ܫ de ܥ
Exercice n°15 :
Soit ݂ une fonction deux fois dérivable sur Թ. On note ݂Ԣ sa dérivée et ݂ԢԢ sa dérivée seconde.
La courbe représentative de la fonction dérivée notée ܥ2) Répondre aux questions ci-dessous par lecture graphique :
݂ et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde ݂ԢԢ. Déterminer la courbe qui représente ݂ et celle qui représente ݂ԢԢ. 13Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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Exercice n°16 : énoncés et corrigés dans les vidéos.1) Vidéo : Etudier une fonction exponentielle
2) Vidéo : Fonction exponentielle, dérivation et convexité
Exercice n°17 : QCM noté sur le chapitre à faire sur Pronote. représentation graphique de sa fonction dérivée ݃Ԣ.On peut affirmer que :
a) ݃ admet un maximum en െʹ b) ݃ est croissante sur c) ݃ est convexe sur d) ݃ admet un minimum en Ͳ2) On considère la fonction définie sur Թ par :
On note ݂ԢԢ la dérivée seconde de la fonction ݂.La fonction ݂ est :
admettant un point 14Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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4) On donne ci-dessous la courbe ܥ
c) ݂Ԣ est décroissante surLa fonction ݂ est :
6) On donne ci-dessous la représentation graphique ܥ
݂ définie sur Թ.
On peut affirmer que la fonction ݂ est :
15Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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On peut affirmer que :
a) la fonction ݃ est concave sur b) la fonction ݃ est convexe sur c) la fonction ݃ possède exactement un point d) la fonction ݃ possède exactement deux points8) On considère une fonction ݂ définie et deux fois dérivable sur Թ.
La courbe de sa fonction dérivée ݂Ԣ est donnée ci-dessous. On admet que ݂Ԣ admet un maximum en െͳǡͷ représentation graphique de sa fonction dérivée seconde ݂ǯǯ :On peut alors affirmer que :
a) la fonction ݂ est convexe sur b) la fonction ݂ est concave sur c) la fonction ݂Ԣ est d) la fonction ݂Ԣ admet un maximum en ݔൌെͳ 16Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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10) Dans un repère, on a tracé ci-݂ définie et deux
Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction ݂ԢԢ, dérivée seconde de ݂ ?
a) b) c) d) 17Lycée Français de DOHA Spécialité Terminale
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D) Approfondissement : ces exercices ne seront pas traités en classe. Exercice n°1 : Démonstration du théorème des valeurs intermédiairesSi ݂൬ܾܽ
ʹ൰Ͳ alors ܽାଵൌܾܽାଵൌܾܽ
Si ݂൬ܾܽ
ʹ൰Ͳ alors ܽାଵൌܾܽ1) Montrer par récurrence que pour tout ݊א
5) Conclure quant au problème posé.
Soit ݂ une fonction continue sur Թ vérifiant la relation fonctionnelle :2) Démontrer que ݂ est impaire.
3) Démontrer par récurrence que pour tout ݊א
4) En déduire que pour tout אܽԳ et tout אܾԳכ
b) ݂ቀܽ7) Conclure quant au problème posé.
Exercice n°3 : Inégalité arithmético-géométriqueMontrer, en étudiant la convexité de la fonction racine carrée et en considérant les points
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Exercice n°4 : Prolongement par continuité
1) On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction ݂.
Conjecturer la limite en Ͳ de ݂.
2) Justifier que pour tout réel ݔ non nul :
3) Démontrer la conjecture émise à la question 1).
4) On considère maintenant la fonction ݂ҧ définie sur Թ par :
Démontrer que ݂ҧ est continue en Ͳ.
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