[PDF] Polynômes fondamental de l'algèbre : «

Q=A=BetR=0.

B=bmXm++b0avecbm6=0. Sin

Sin>mon écritA=Banb

mXnm+A1avecdegA16n1. On applique l"hypothèse de récurrence àA1: il existe Q1,R12K[X]tels queA1=BQ1+R1et degR1DoncQ=anb

POLYNÔMES2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES4Exemple 4.On pose une division de polynômes comme on pose une division euclidienne de deux entiers. Par exemple si

2X+12X2+X32X42X3+2X2

34X2+3X1X

3X2+2X13X2+3X3

X+2Exemple 5.

PourX43X3+X+1 divisé parX2+2 on trouve un quotient égal àX23X2 et un reste égale à 7X+5.X

43X3+X+1X

3X32X2+X+13X36X

2X2+7X+12X24

7X+52.2. pgcd

Proposition 4.

SoientA,B2K[X], avecA6=0ouB6=0. Il existe un unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois

A et B.Cet unique polynôme est appelé lepgcd(plus grand commun diviseur) deAetBque l"on note pgcd(A,B).

Remarque.

SiAjBetA6=0, pgcd(A,B) =1

A, oùest le coefficient dominant deA.

Pour tout2K, pgcd(A,B) =pgcd(A,B).

Comme pour les entiers : siA=BQ+Ralors pgcd(A,B) =pgcd(B,R). C"est ce qui justifie l"algorithme d"Euclide.

Algorithme d"Euclide.

SoientAetBdes polynômes,B6=0.

POLYNÔMES2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES5

A=BQ1+R1degR1

B=R1Q2+R2degR2 R

1=R2Q3+R3degR3 R k2=Rk1Qk+RkdegRkk1=RkQk+1Le degré du reste diminue à chaque division. On arrête l"algorithme lorsque le reste est nul. Le pgcd est le dernier

reste non nulRk(rendu unitaire).

Exemple 6.

Calculons le pgcd deA=X41 etB=X31. On applique l"algorithme d"Euclide : X

41= (X31)X+X1

X

31= (X1)(X2+X+1)+0

Le pgcd est le dernier reste non nul, donc pgcd(X41,X31) =X1.

Exemple 7.

Calculons le pgcd deA=X5+X4+2X3+X2+X+2 etB=X4+2X3+X24. X

5+X4+2X3+X2+X+2= (X4+2X3+X24)(X1)+3X3+2X2+5X2

X

4+2X3+X24= (3X3+2X2+5X2)19

(3X+4)149 (X2+X+2)

3X3+2X2+5X2= (X2+X+2)(3X1)+0

Ainsi pgcd(A,B) =X2+X+2.Définition 4.

SoientA,B2K[X]. On dit queAetBsontpremiers entre euxsi pgcd(A,B) =1.

PourA,Bquelconques on peut se ramener à des polynômes premiers entre eux : sipgcd(A,B) =DalorsAetB

s"écrivent :A=DA0,B=DB0avec pgcd(A0,B0) =1.

2.3. Théorème de BézoutThéorème 2(Théorème de Bézout).

SoientA,B2K[X]des polynômes avecA6=0ouB6=0. On noteD=pgcd(A,B). Il existe deux polynômesU,V2K[X]

tels que AU+BV=D.

Ce théorème découle de l"algorithme d"Euclide et plus spécialement de sa remontée comme on le voit sur l"exemple

suivant.

Exemple 8.

Nous avons calculépgcd(X41,X31) =X1. Nous remontons l"algorithme d"Euclide, ici il n"y avait qu"une ligne :

X41= (X31)X+X1, pour en déduireX1= (X41)1+ (X31)(X). DoncU=1etV=X conviennent.

Exemple 9.

PourA=X5+X4+2X3+X2+X+2etB=X4+2X3+X24nous avions trouvéD=pgcd(A,B) =X2+X+2. En

partant de l"avant dernière ligne de l"algorithme d"Euclide on a d"abord :B= (3X3+2X2+5X2)19(3X+4)149

D donc 149

D=B(3X3+2X2+5X2)19

(3X+4).

La ligne au-dessus dans l"algorithme d"Euclide était :A=B(X1)+3X3+2X2+5X2. On substitue le reste pour

obtenir : 149

D=BAB(X1)19

(3X+4).

On en déduit

149
D=A19 (3X+4)+B1+(X1)19 (3X+4)

Donc en posantU=114

(3X+4)etV=114

9+(X1)(3X+4)=114

(3X2+X+5)on aAU+BV=D. Le corollaire suivant s"appelle aussi le théorème de Bézout.

POLYNÔMES3. RACINE D"UN POLYNÔME,FACTORISATION6Corollaire 1.SoientAetBdeux polynômes.AetBsont premiers entre eux si et seulement s"il existe deux polynômesUetVtels que

AU+BV=1.Corollaire 2.

Soient A,B,C2K[X]avec A6=0ou B6=0. Si CjA et CjB alors Cjpgcd(A,B).Corollaire 3(Lemme de Gauss). Soient A,B,C2K[X]. Si AjBC etpgcd(A,B) =1alors AjC.2.4. ppcm

Proposition 5.

SoientA,B2K[X]des polynômes non nuls, alors il existe un unique polynôme unitaireMde plus petit degré tel que

AjM et BjM.Cet unique polynôme est appelé leppcm(plus petit commun multiple) deAetBqu"on note ppcm(A,B).

Exemple 10.

De plus le ppcm est aussi le plus petit au sens de la divisibilité :Proposition 6. SoientA,B2K[X]des polynômes non nuls etM=ppcm(A,B). SiC2K[X]est un polynôme tel queAjCetBjC, alors MjC.Mini-exercices. 1. T rouverles diviseurs de X4+2X2+1 dansR[X], puis dansC[X]. 2.

Montrer que X1jXn1 (pourn>1).

3. Calculer les divisions euclidiennes deAparBavecA=X41,B=X31. PuisA=4X3+2X2X5et B=X2+X;A=2X49X3+18X221X+2 etB=X23X+1;A=X52X4+6X3etB=2X3+1. 4. Déterminer le pgcd deA=X5+X3+X2+1etB=2X3+3X2+2X+3. Trouver les coefficients de BézoutU,V.

Mêmes questions avecA=X51 etB=X4+X+1.

5.

Montrer que si AU+BV=1 avec degU

3.1. Racines d"un polynômeDéfinition 5.

SoitP=anXn+an1Xn1++a1X+a02K[X]. Pour un élémentx2K, on noteP(x) =anxn++a1x+a0. On associe ainsi au polynômePunefonction polynôme(que l"on note encoreP)

P:K!K,x7!P(x) =anxn++a1x+a0.Définition 6.

SoitP2K[X]et2K. On dit queest uneracine(ou unzéro) dePsiP() =0.Proposition 7.

P() =0()Xdivise P

POLYNÔMES3. RACINE D"UN POLYNÔME,FACTORISATION7

Démonstration.Lorsque l"on écrit la division euclidienne dePparXon obtientP=Q(X)+RoùRest une

constante car degR

pasP. Lorsquek=1 on parle d"uneracine simple, lorsquek=2 d"uneracine double, etc.On dit aussi queest uneracine d"ordrek.Proposition 8.

Il y a équivalence entre :

(i)est une racine de multiplicité k de P. (ii)

Il existe Q 2K[X]tel que P= (X)kQ,avec Q()6=0.

(iii) P () =P0() ==P(k1)() =0et P(k)()6=0.La preuve est laissée en exercice.

Remarque.

Par analogie avec la dérivée d"une fonction, siP(X) =a0+a1X++anXn2K[X]alors le polynômeP0(X) =

a1+2a2X++nanXn1est lepolynôme dérivédeP.

3.2. Théorème de d"Alembert-Gauss

Passons à un résultat essentiel de ce chapitre :Théorème 3(Théorème de d"Alembert-Gauss).

Tout polynôme à coefficients complexes de degrén>1a au moins une racine dansC. Il admet exactementnracines si

on compte chaque racine avec multiplicité.Nous admettons ce théorème.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25