[PDF] Polynômes et fractions rationnelles

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Polyn^omes et fractions rationnelles

L'ensembleK(X) des fractions rationnelles()Polyn^omes et fractions rationnelles1 / 25

L'ensembleK(X) des fractions rationnellesDenition

On appelle fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) a coecients dans Ktoute fonction F de la forme F:x7!P(x)Q(x)denie sur K rfx2KQ(x) = 0g, ou P et Q sont deux polyn^omes deK[X], Q n'etant pas le polyn^ome nul. Pour une telle fraction rationnelle, on ecrira plus simplement F=PQ ou encore F(X) =P(X)Q(X). L'ensemble des

fractions rationnelles a coecients dansKest noteK(X).Exemple:F(X) =X2+ 3X+ 12X6est une fraction rationnelle, c'est un

element deR(X).()Polyn^omes et fractions rationnelles2 / 25

Denition

Soit F=PQ

une fraction rationnelle. On dit que F est irreductible si P et Q n'ont pas d'autres diviseurs communs que les polyn^omes constants non nuls.Exemple:La fractionF(X) =X2+XX

2n'est pas irreductible. Par contre,

la fractionG(X) =X+ 1X est irreductible.

Desormais,

on ne considere plus que des fractions rationnelles irreductibles. ()Polyn^omes et fractions rationnelles3 / 25

Denition

Soit F=PQ

une fraction rationnelle irreductible.Les racines du polyn^ome P sont appelees les racines ou les zeros de F.

Les racines du polyn^ome Q sont appelees les p^oles de la fraction rationnelle F. Si a est un p^ole de F, on appelle ordre de multiplicite de a en tant que p^ole de F l'ordre de multiplicite de a en tant que racine de Q.Si F n'est pas nulle, on appelle degre de F et on notedeg(F)le nombre entier relatifdeg(P)deg(Q).Exemple:On considere la fraction rationnelleF(X) =X2+X2(X+ 1)2(X3) deR(X).()Polyn^omes et fractions rationnelles4 / 25 Plan

1Decomposition d'une fraction rationnelle en elements simples

()Polyn^omes et fractions rationnelles5 / 25

Etape 1 : Partie entiere et partie polaire.

Proposition

Soit F=PQ

une fraction rationnelle appartenant aK(X). Il existe un unique couple(E;R)de polyn^omes appartenant aK[X]tel que

F(X) =E(X) +R(X)Q(X)etdeg(R) Le polyn^ome E est le quotient de la division euclidienne de P par Q et R le reste de cette m^eme division euclidienne. Le polyn^ome E est appele la partie entiere de F etRQ sa partie polaire (ou fractionnaire).()Polyn^omes et fractions rationnelles6 / 25 Demonstration.Eectuons la division euclidienne dePparQ: il existe deux polyn^omesEetRappartenant aK[X] tels que

P(X) =E(X)Q(X) +R(X)

deg(R)F(X) =4X43X2+ 2X1X

21.()Polyn^omes et fractions rationnelles7 / 25

Etape 2 : Decomposition du denominateur en facteurs irreductibles SoitF(X) =E(X) +R(X)Q(X)une fraction rationnelle irreductible deK(X) (apres division euclidienne).SiK=C, on sait queQest scinde surCet qu'il s'ecrit Q(X) =C(Xa)m(Xb)n:::oua;b;:::sont les racines deQde multiplicites respectivesm;n:::;etCest le coecient dominant de

Q. On a ainsi

F(X) =E(X) +R(X)C(Xa)m(Xb)n::::()Polyn^omes et fractions rationnelles8 / 25

SiK=R, on sait queQse decompose surRsous la forme

Q(X) =C(Xa)m:::(Xb)n:::(X2+b1X+c1)p(X2+bpX+cp)q::: oua;b;:::sont les racines reelles deQde multiplicites respectives m;n:::;,Cest le coecient dominant deQet ou le discriminant des trin^omes (X2+biX+ci) est strictement negatif,p;q;:::etant des entiers strictement positifs. On a ainsi

F(X) =E(X)+R(X)C(Xa)m:::(Xb)n:::(X2+b1X+c1)p(X2+bpX+cp)q::::()Polyn^omes et fractions rationnelles9 / 25

Etape 3 : Decomposition de la partie polaire en elements simples dansC(X)Denition On appelle element simple deC(X)toute fraction rationnelle de la forme (Xa)ou2C,2Net a2C. On peut aussi les ecrire sous la forme (aX+b)ou2C,2Net a2C?;b2C.Exemples: ()Polyn^omes et fractions rationnelles10 / 25

Theoreme

Soit F(X) =P(X)Q(X)une fraction rationnelle irreductible deC(X). On note a;b;:::les p^oles de F de multiplicites respectives m;n;:::. On note E(X) la partie entiere de F(X). La fraction rationnelle F s'ecrit de maniere unique sous la forme

F(X) =E(X) +1Xa+2(Xa)2++m(Xa)m

1Xb+2(Xb)2++p(Xb)n+:::

ou1;:::;m;1;:::;psont des complexes, les nombresmetpetant non nuls. Cette ecriture s'appelle la decomposition en elements simples de

F dansC(X).

La partie

1Xa+2(Xa)2++m(Xa)ms'appelle la partie polaire

de F relative au p^ole a. ()Polyn^omes et fractions rationnelles11 / 25 Exemple:Ecrire la forme de la decomposition en elements simples sur C(X) deF(X) =X4(X1)(X31).()Polyn^omes et fractions rationnelles12 / 25 Decomposition en elements simples dansR(X)Denition On appelle element simple deR(X)toute fraction rationnelle de l'une des formes suivantes : (aX+b)mou2R, m2Net a2R?;b2RX+(aX2+bX+c)pou(;;c;d)2R4;a2R?, p2N, (;)6= (0;0)et =b24ac<0Exemples: ()Polyn^omes et fractions rationnelles13 / 25 SoitF(X) =P(X)Q(X)=E(X) +R(X)Q(X)une fraction rationnelle irreductible de R(X), avecEla partie entiere deF. On notea;b;:::les p^oles deFde multiplicites respectivesm;n;:::. On suppose que le denominateurQse decompose sous la forme

Q(X) =C(Xa)m(Xb)n:::(X2+cX+d)p(X2+eX+f)q:::

ouCest le coecient dominant deQ, oua;b;:::sont les racines reelles deQ, ou les reelsc;d;e;f;:::sont telsc24d<0,e24f<0, ... et oup;q;:::sont des entiers strictement positifs.()Polyn^omes et fractions rationnelles14 / 25

Theoreme

La fraction rationnelle F s'ecrit de maniere unique sous la forme

F(X) =E(X)+1Xa++m(Xa)m+1Xb++n(Xb)n+:::

1X+1X

2+cX+d++pX+p(X2+cX+d)p

1X+1X

2+eX+f++

qX+q(X2+eX+f)q+::: ou1;:::;m;1;:::;n;1;:::;p;1;:::;p;

1;:::;

q;1;:::;q sont des complexes tels que m6= 0,n6= 0,(p;p)6= (0;0)et( q;q)6= (0;0). Cette ecriture s'appelle la decomposition en elements simples de F dansR(X).

La partie

1Xa++m(Xa)ms'appelle la partie polaire de F relative

au p^ole a. ()Polyn^omes et fractions rationnelles15 / 25 Exemple:Donner la forme de la decomposition en elements simples sur R(X) deF(X) =2X(X1)2(X2)(X2+ 1).()Polyn^omes et fractions rationnelles16 / 25 Exemple-methode de decomposition fraction rationnelle sur R(X) Voici la methode pour decomposer n'importe quelle fraction rationnelle F=PQ en elements simples surR(X), appliquee sur l'exemple F(X) =X4+ 3X3+ 4X2+X(X2+X+ 1)(X2+ 2X+ 1)()Polyn^omes et fractions rationnelles17 / 25

1) Recherche de la partie entiere

On fait la division euclidienne dePparQet on ecrit la division euclidienne dePparQ, on a

P=EQ+R)F=E+RQ

avecEle quotient de cette division etRle reste. Ensuite, on ne modie plusE(mais il ne faut pas l'oublier!!) et on s'interesse uniquement a RQ .()Polyn^omes et fractions rationnelles18 / 25

2) Factorisation du denominateurQ

On recherche les racines (reelles, eventuellement complexes) deQet on ecrit sa factorisation. ()Polyn^omes et fractions rationnelles19 / 25

Decomposition en elements simples de

RQ Pour chaque facteur de la decomposition deQ, on ajoute un terme a la decomposition de RQ , selon la regle presentee dans le tableau ci-dessous.

On a alors

RQ sous la forme d'une somme d'elements simples, chaque element simple contenant des coecients inconnus.facteur deQElements simples (aX+b) aX+b(aX+b)2

1aX+b+2(aX+b)2(aX+b)3

1aX+b+2(aX+b)2+3(aX+b)3

()Polyn^omes et fractions rationnelles20 / 25 Pour les decomposition dansR(X), on a en plusfacteur deQElements simples aX2+bX+cx+aX

2+bX+c

aX2+bX+c2

1X+1aX

2+bX+c+2X+2(aX2+bX+c)2

aX2+bX+c3

1X+1aX

2+bX+c+2X+2(aX2+bX+c)2+3X+3(aX2+bX+c)3

()Polyn^omes et fractions rationnelles21 / 25

4) Recherche des coecients inconnus de la

decomposition On a obtenu la forme generale de la decomposition, il ne reste plus qu'a trouver la valeur des constantes intervenant dans celle-ci. Il existe pour cela plusieurs techniques : Les termes de plus haut degre.Cette methode permet de trouver la constante sur tous les termes de plus haut degre. Plus precisement, siQ contient le terme (Xai)nialors on peut trouver la constante du terme (Xai)nien multipliant les deux cotes de la decomposition par (Xai)nipuis en evaluant enx=ai.()Polyn^omes et fractions rationnelles22 / 25 Simplication lorsque l'on conna^t certains coecients.Si l'on conna^t certains coecients, on les passe dans l'autre membre de la decomposition, on met tout au m^eme denominateur, on eectue les simplications (il y en a toujours) et on n'a plus qu'a chercher les coecients d'une decomposition plus simple. ()Polyn^omes et fractions rationnelles23 / 25 Multiplication et passage a la limite en l'inni.On multiplie des deux cotes de l'egalite parX, puis on prend la limite en +1. On obtient ainsi une egalite (simple) entre certains coecients (ceux de degre maximal). ()Polyn^omes et fractions rationnelles24 / 25quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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