Exercices sur la morphologie math´ematique

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Exercices sur la morphologie math´ematique

Isabelle Bloch

1 Propri´et´es d"op´erations morphologiques

Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses? vraie fausse

1 l"´erosion d"une fonction est croissante par rapport `a la

fonction `a ´eroder? ?

2 l"´erosion d"une fonction est croissante par rapport `a

l"´el´ement structurant? ?

3 l"´erosion d"une image `a niveaux de gris bouche des

vall´ees?? ?

4 un filtre altern´e s´equentiel est croissant? ?

5 un filtre altern´e s´equentiel est idempotent? ?

6 un filtre altern´e s´equentiel est extensif? ?

7 un ensemble convexe est invariant par fermeture par

un ´el´ement structurant compact convexe? ?

8 un ensemble convexe est invariant par ouverture par

un ´el´ement structurant compact convexe? ?

9 une ´erosion de taille 3 suivie d"une ´erosion de taille 2

est ´equivalente `a une ´erosion de taille 5? ?

10 une ouverture de taille 3 suivie d"une ouverture de

taille 2 est ´equivalente `a une ouverture de taille 5? ?

2 Morphologie math´ematique binaire

2.1 Ouverture morphologique

Dessiner l"ouverture de l"ensembleXde la figure 1 par l"´el´ement structurantB. Est-ce

que le r´esultat d´epend du choix de l"origine deB? (indiqu´ee par une croix sur l"´el´ement

structurant).

2.2 S´election d"objets

Une image binaire contient des disques de diam`etre 5, des disques de diam`etre 10, des segments de longueur 5, des segments de longueur 10 et des segments de longueur 15, les seg-

ments pouvant avoir des orientations diff´erentes. Quellessont les op´erations qui permettent :

1 X B

Figure1 - Op´erations ensemblistes.

- de supprimer uniquement les disques de diam`etre 5? - de supprimer tous les disques (et seulement les disques)? - de s´electionner les segments de longueur 15?

3 Morphologie math´ematique `a niveaux de gris

La figure 2 pr´esente une fonctionfd´efinie en dimension 1, et un ´el´ement structurant B. Tracer la fonction r´esultant de la dilatation defparB, son ´erosion, son ouverture et sa fermeture. Donner le nombre de minima et maxima r´egionaux def, de l"´erod´eEB(f) defparBet de l"ouverturefBdefparB, ainsi que le nombre de pics d´etect´es par chapeau haut-de-forme avec cet ´el´ement structurant. Tracer la reconstruction defen prenant la fonctiongd´efinie parg(x) = max(0,f(x)-2) comme marqueur. Interpr´eter le r´esultat obtenu.

4 Relation entre morphologie math´ematique binaire et mor-

phologie math´ematique `a niveaux de gris Etant donn´ee une fonction (repr´esentant une image `a niveaux de gris) d´efinie surRn, on peut en d´eduire une famille d"ensembles binaires appel´essections (ou seuils) de hauteurt, d´efinis par : f t={x?Rn|f(x)≥t}. Etablir la relation entre le dilat´e de la section de hauteurt,D(ft,B), et la section de hauteurtdu dilat´e def,D(f,B)t, o`uBest un ´el´ement structurant binaire quelconque. 2 xf(x) élément structurant (segment horizontal centré) B centre de B xf(x) élément structurant (segment horizontal centré) B centre de B

Figure2 - Fonctionf.

5 La dilatation commute avec le sup

1. Montrer que la dilatation fonctionnelle commute avec le supremum, c"est-`a-dire, pour

toutes fonctionsfetget tout ensemble (´el´ement structurant)B, on a :

D(f?g,B) =D(f,B)?D(g,B)

o`uf?gest d´efini par?x,(f?g)(x) = max[f(x),g(x)].

2. Montrer que pour l"infimum, on a l"in´egalit´e :

Trouver un contre-exemple simple pour lequel cette in´egalit´e est stricte (l"´egalit´e n"est

pas v´erifi´ee).

6 Adjonctions et op´erateurs alg´ebriques

dansT). Le treillis est dit complet si toute famille d"´el´ements(finie ou non) poss`ede un plus

petit majorant et un plus grand minorant. On appelle dilatation alg´ebrique un op´erateur qui commute avec le sup du treillis et ´erosion alg´ebrique un op´erateur qui commute avec l"inf du treillis : ?(xi)? T, δ(?ixi) =?iδ(xi) ?(xi)? T, ε(?ixi) =?iε(xi)

εest une ´erosion alg´ebrique.

2. Montrer queδest croissante.

3. Montrer que

-εδε=εetδεδ=δ,

7 Ouvertures alg´ebriques

On appelle ouvertur alg´ebrique dans un treillis une op´eration croissante, idempotente et anti-extensive. Soientγ1etγ2des ouvertures alg´ebriques. Montrer l"´equivalence entre :

2.γ1γ2=γ2γ1=γ1

3.Inv(γ1)?Inv(γ2) o`uInvd´esigne le domaine d"invariance.

Indication : on montrera que 1?2?3?1. On rappelle qu"une ouvertureγs"exprime `a 4

8 Analyse d"une image

Imaginer et d´ecrire le plus pr´ecis´ement possible une m´ethode de segmentation des cellules

de la figure 3 `a partir des op´erateurs vus en cours. L"algorithme devra fournir une image binaire des cellules et ´eliminer les petits points sombres. Comment supprimer les cellules qui touchent le bord de l"image `a partir du r´esultat binaire de segmentation? Comment s´eparer les cellules qui sont connexes? Comment s´electionner les cellules qui ont un noyau sombre? Comment ´etudier la distribution de tailles des cellules?

Figure3 - Image de cellules.

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