[PDF] morphologie mathématique traitement d'image
[PDF] morphologie mathématique matlab
[PDF] filtrage morphologique traitement d'image
[PDF] cours morphologie mathématique
[PDF] cours de morphologie linguistique
[PDF] critère morphologique grammaire
[PDF] morphologie du verbe français
[PDF] morphologie verbale définition
[PDF] rayon d'or avis
[PDF] morphologie et syntaxe du français pdf
[PDF] rayon d'or montparnasse
[PDF] syntaxe du verbe français
[PDF] rayon d'or alesia
[PDF] analyse morphologique d'un verbe
[PDF] rayon d'or gare du nord
[PDF] morphologie mathématique matlab
[PDF] filtrage morphologique traitement d'image
[PDF] cours morphologie mathématique
[PDF] cours de morphologie linguistique
[PDF] critère morphologique grammaire
[PDF] morphologie du verbe français
[PDF] morphologie verbale définition
[PDF] rayon d'or avis
[PDF] morphologie et syntaxe du français pdf
[PDF] rayon d'or montparnasse
[PDF] syntaxe du verbe français
[PDF] rayon d'or alesia
[PDF] analyse morphologique d'un verbe
[PDF] rayon d'or gare du nord
![TD 5 : Espérance conditionnelle Corrigé - PSL TD 5 : Espérance conditionnelle Corrigé - PSL](https://pdfprof.com/Listes/18/12671-18td5_processus_corrige.pdf.pdf.jpg)
Processus aléatoiresThomas Budzinski
ENS Paris, 2018-2019 Bureau V2
thomas.budzinski@ens.frTD 5 : Espérance conditionnelle
Corrigé
Mercredi 10 Octobre
1 Espérance conditionnelle
On rappelle que, siXest une variable aléatoire intégrable etGune tribu, alorsE[XjG]est l"unique
variable aléatoireG-mesurable telle que, pour toute variableG-mesurable positiveZ, on aitE[ZX] =E[ZE[XjG]]:
Exercice 1(Quelques contre-exemples)
SoientXetYdeux variables aléatoires réelles intégrables sur( ;F;P), etGetHdeux sous-tribus deF telles que(G;H) =F. Trouver des contre-exemples aux affirmations suivantes : 1. si E[XjY] =E[X], alorsXetYsont indépendantes, 2. si E[XjG] = 0etE[XjH] = 0, alorsX= 0, 3. si XetYsont indépendantes, alorsE[XjG]etE[YjG]le sont aussi. Solution de l"exercice 11.Xuniforme surf2;1;1;2getY=jXj. 2. Soien tXetYdeux variables i.i.d. avecP(X= 1) =P(X=1) =12 . SoientG=(X),H=(Y) etF=(X;Y). SoitZ=XY. Il est facile de vérifier queE[ZjX] =E[ZjY] = 0, maisZ6= 0. 3. Prendre XetYvariables de Bernoulli indépendantes de paramètre12 etG=(X+Y).Exercice 2(Calculs gentils)
SoientX1;:::;Xndes variables i.i.d. intégrables, etS=Pn i=1Xi. CalculerE[SjX1]etE[X1jS].Solution de l"exercice 2On a
E[SjX1] =nX
i=1E[XijX1] =X1+ (n1)E[X1]:D"autre part, on a
nX i=1E[XijS] =E[SjS] =S: Or, les variablesXijouent des rôles symétriques, donc lesE[XijS]sont toutes égales, d"oùE[X1jS] =1n
S: 1On peut aussi le vérifier plus proprement de la manière suivante. Soitf:R!Rmesurable bornée. On
sait que la loi jointe du couple(Xi;S)ne dépend pas dei, donc lesE[Xif(S)]sont les mêmes pour tout
i. Comme leur somme vautE[Sf(S)], on a doncE[X1f(S)] =ESn
f(S) pour toute fonctionfmesurable bornée, doncE[X1jS] =SnExercice 3(Calculs moins gentils)
On se donne deux réelsa;b >0, et(X;Y)une variable aléatoire à valeurs dansNR+dont la loi est
caractérisée parP(X=n;Yt) =bZ
t0(ay)nn!exp((a+b)y)dy:
DéterminerE[h(Y)jX=n]pour toutn2Net toute fonctionh:R+!Rmesurable telle queh(Y)soit intégrable, puisE[YX+1]. Calculer ensuiteP(X=njY)et enfinE[XjY].Solution de l"exercice 3Pour toutn0, on a
P(X=n) = limt!1P(X=n;Yt) =bZ
10(ay)nn!exp((a+b)y)dy=ba+b
aa+b n >0:Donc, puisqueP(X=n)>0,
E[h(Y)jX=n] =E[h(Y)?X=n]P(X=n):
On remarque que
E[h(Y)?X=n] =bZ
1 0 h(y)(ay)nn!exp((a+b)y)dy:Pour justifier cette égalité assez intuitive, on peut la vérifier sur une fonction indicatrice d"un intervalle,
puis l"étendre aux fonctions en escalier par linéarité de l"intégrale, puis aux fonctions mesurables positives
par convergence monotone et enfin à une fonction mesurable quelconque en la décomposant selon ses
parties positives et négatives. On obtient :