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TD 5 : Espérance conditionnelle Corrigé - PSL

Processus aléatoiresThomas Budzinski

ENS Paris, 2018-2019 Bureau V2

thomas.budzinski@ens.fr

TD 5 : Espérance conditionnelle

Corrigé

Mercredi 10 Octobre

1 Espérance conditionnelle

On rappelle que, siXest une variable aléatoire intégrable etGune tribu, alorsE[XjG]est l"unique

variable aléatoireG-mesurable telle que, pour toute variableG-mesurable positiveZ, on ait

E[ZX] =E[ZE[XjG]]:

Exercice 1(Quelques contre-exemples)

SoientXetYdeux variables aléatoires réelles intégrables sur( ;F;P), etGetHdeux sous-tribus deF telles que(G;H) =F. Trouver des contre-exemples aux affirmations suivantes : 1. si E[XjY] =E[X], alorsXetYsont indépendantes, 2. si E[XjG] = 0etE[XjH] = 0, alorsX= 0, 3. si XetYsont indépendantes, alorsE[XjG]etE[YjG]le sont aussi. Solution de l"exercice 11.Xuniforme surf2;1;1;2getY=jXj. 2. Soien tXetYdeux variables i.i.d. avecP(X= 1) =P(X=1) =12 . SoientG=(X),H=(Y) etF=(X;Y). SoitZ=XY. Il est facile de vérifier queE[ZjX] =E[ZjY] = 0, maisZ6= 0. 3. Prendre XetYvariables de Bernoulli indépendantes de paramètre12 etG=(X+Y).

Exercice 2(Calculs gentils)

SoientX1;:::;Xndes variables i.i.d. intégrables, etS=Pn i=1Xi. CalculerE[SjX1]etE[X1jS].

Solution de l"exercice 2On a

E[SjX1] =nX

i=1E[XijX1] =X1+ (n1)E[X1]:

D"autre part, on a

nX i=1E[XijS] =E[SjS] =S: Or, les variablesXijouent des rôles symétriques, donc lesE[XijS]sont toutes égales, d"où

E[X1jS] =1n

S: 1

On peut aussi le vérifier plus proprement de la manière suivante. Soitf:R!Rmesurable bornée. On

sait que la loi jointe du couple(Xi;S)ne dépend pas dei, donc lesE[Xif(S)]sont les mêmes pour tout

i. Comme leur somme vautE[Sf(S)], on a donc

E[X1f(S)] =ESn

f(S) pour toute fonctionfmesurable bornée, doncE[X1jS] =Sn

Exercice 3(Calculs moins gentils)

On se donne deux réelsa;b >0, et(X;Y)une variable aléatoire à valeurs dansNR+dont la loi est

caractérisée par

P(X=n;Yt) =bZ

t

0(ay)nn!exp((a+b)y)dy:

DéterminerE[h(Y)jX=n]pour toutn2Net toute fonctionh:R+!Rmesurable telle queh(Y)soit intégrable, puisE[YX+1]. Calculer ensuiteP(X=njY)et enfinE[XjY].

Solution de l"exercice 3Pour toutn0, on a

P(X=n) = limt!1P(X=n;Yt) =bZ

1

0(ay)nn!exp((a+b)y)dy=ba+b

aa+b n >0:

Donc, puisqueP(X=n)>0,

E[h(Y)jX=n] =E[h(Y)?X=n]P(X=n):

On remarque que

E[h(Y)?X=n] =bZ

1 0 h(y)(ay)nn!exp((a+b)y)dy:

Pour justifier cette égalité assez intuitive, on peut la vérifier sur une fonction indicatrice d"un intervalle,

puis l"étendre aux fonctions en escalier par linéarité de l"intégrale, puis aux fonctions mesurables positives

par convergence monotone et enfin à une fonction mesurable quelconque en la décomposant selon ses

parties positives et négatives. On obtient :

E[h(Y)jX=n] =E[h(Y)?X=n]P(X=n)= (a+b)n+1Z

1 0 h(y)ynn!exp((a+b)y)dy:=(n); et par définition

E[h(Y)jX] =(X):

En particulier,

E[YjX=n] = (a+b)n+1Z

1 0y n+1n!exp((a+b)y)dy=n+ 1a+b:

On a ensuite

EYX+ 1

=E

EYX+ 1

X =E1X+ 1E[YjX] =E" 1X n=01n+ 1E[YjX=n]?fX=ng# 1X n=01n+ 1E[YjX=n]P(X=n) 1a+b1 X n=0P(X=n) =1a+b: 2 Puis, pour toute fonctionhmesurable telle queh(Y)soit intégrable, on a

E[h(Y)] =1X

n=0bZ 1 0 h(y)(ay)nn!exp((a+b)y)dy =bZ 1 0 h(y)exp(by)dy; donc la densité de la loi deYest la fonction q(y) =beby?fy>0g:

Ainsi, pour toute fonctionhbornée,

E[?X=nh(Y)] =bZ

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