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Page 1/8 CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Soit f la fonction numérique définie par : 212( )52xsi xf xx si x?-£=?->? f est-elle continue sur son ensemble de définition ? Mêmes questions avec :2 31( )1131x pour xf xx pourxx pour x- -£ -??=- < £??->? sur ? Exercice n°2. 1) Soit f la fonction définie sur ? par : ( )21 si 0 1 si 0xxf xxx?-
Page 2/8 Exercice n°6. Soit f la fonction numérique définie sur [0;14] dont la représentation graphique est : 1) Citez deux intervalles sur lesquels on peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire en expliquant pourquoi 2) Citez un intervalle sur lesquels on ne peut pas appliquer le théorème de la valeur intermédiaire en expliquant pourquoi 3) Peut-on trouver un unique nombre a tel que ( ) 6fa= ? Si oui, explicitez pourquoi et donner un encadrement de a à l"aide de deux entiers consécutifs. 4) Même questions avec un unique nombre b tel que ( ) 0fb= ? Exercice n°7. Le tableau ci-dessous résume les variations de f définie sur I=[-2;2] :
On précise que ()0 1f= 1) Peut-on trouver IaÎ tel que 3( )2fa= ? 2) Peut-on trouver IbÎ tel que ( ) 0,1fb= ? 3) Montrez qu"il existe g unique, []0;2gÎ, tel que ( ) 2,5fg= Exercice n°8. Soit g la fonction définie sur ? par : ()31200 100g x xx= -- 1) Etudier le sens de variation de g (+limites) et dresser son tableau de variation. 2) Démontrer que l"équation g(x) = 0 admet une solution unique a dans l"intervalle [20 ; 40]. Donner un encadrement de a à 110- près. Exercice n°9. Deux méthodes de résolution f est la fonction définie sur ? par ()3230 112f x xx= -+ Il s"agit d"étudier le signe de f(x) sur ?. Première partie 1) Etudier la limite de f en +¥ et en -¥. 2) Calculer ()f x¢ et étudier son signe. 3) Dresser le tableau de variation de f. 4) Démontrer que l"équation ()0f x= admet trois solutions. 5) Avec la calculatrice, donner l"arrondi au dixième ou la valeur exacte de chaque solution. 6) En déduire le signe de f. Deuxième partie 7) Calculer f(2). 8) Trouver trois réels a, b et c tels que pour tout réel x : ()()()22f xxax bx c= -+ + 9) Résoudre l"équation f(x) = 0. O i j
Page 3/8 Exercice n°10. Démontrer que l"équation 33 5xx+ = admet une solution et une seule dans ?. Donner une valeur approchée à 210- près de cette solution.
Page 4/8 CONTINUITE - CORRECTION Exercice n°1 1) Sur ][][;22;-¥ È +¥, (c"est-à-dire en dehors du point 2), f est continue puisqu"elle est définie à l"aide d"une fonction polynôme et d"une fonction affine Pour examiner la continuité en 2, on détermine ()2222limlim1 3xxxf xx®®<=- = et ()222limlim53xxxf xx®®>=- =. Comme ()()()2222limlim2xxxxf xf xf®®<>==, on conclut que la fonction f est continue en 2 2) Sur ][][][; 11;1 1;-¥ - È - È +¥, (c"est-à-dire en dehors des points -1 et 1), f est continue puisqu"elle est définie à l"aide de fontions affines. Pour examiner la continuité en -1, on détermine ()111limlim 2 3 1xxxf xx®-®-<-= - - = - et ()111limlim1xxxf xx®-®->-== -. Comme ()()1111limlimxxxxf xf x®-®-<->-=, on conclut que la fonction f est continue en -1 Pour examiner la continuité en 1, on détermine ()111limlim1xxxf xx®®<== et ()111limlim 33xxxf xx®®>= - = -. Comme ()()1111limlimxxxxf xf x®®<>¹, on conclut que la fonction f n"est pas continue en 1 Exercice n°2 1) f est continue sur ][;0-¥ en tant que fonction polynôme et sur [[0;+¥ en tant que fonction affine. Reste à examiner la continuité en zéro. On examine ( )20000limlim1 1xxxxf xx®®<<=- = - et ()0000limlim1 1xxxxf xx®®>>=- = -. Ces deux limites étant égales et égales à ()0 0 1 1f= - = -, la fonction est continue en 0, donc sur ? f est dérivable sur ][;0-¥ en tant que fonction polynôme et sur [[0;+¥ en tant que fonction affine. Reste à examiner la dérivabilité en zéro. Pour tout ][;0xÎ -¥, ()()201 ( 1)0f xfxxxx-- - -==- donc ()()000lim00xxf xfx®<-=- donc f est dérivable à gauche en 0 et ()0 0gf¢=. De plus, pour tout ][0;xÎ +¥, ()()01 ( 1)10f xfxxx-- - -==- donc ()()000lim10xxf xfx®>-=- donc f est dérivable à droite en 0 et ()0 1df¢=. Mais comme ()()00gdff¢¢¹, on conclut que f n"est pas dérivable en 0 2) f est continue sur ][;2-¥ et sur ][2;+¥ en tant que fonction rationnelle dont le dénominateur ne s"annule pas. Il reste à examiner la continuité en 2. Pour tout 2x¹, ()()2212122xxx xxxx-+- -== +--, donc ( )2222limlim1 322xxx xxfx®®- -=+ = =-. La fonction est continue en 2, donc sur ? 3) f sera continue en 0 si et seulement si ()()0lim0xf xfa®==. Il faut donc déterminer 011limxxx®+ - En posant ()1g xx= +, on reconnaît un taux d"accroissement : ()()0110g x gxxx-+ -=-, dont la limite en 0 est donc égale à ( )11022 1 0g¢==+. f sera continue en 0 si et seulement si 12a=
Page 5/8 Exercice n°3 La fonction f qui, au poids x exprimé en grammes, associe le tarif d"affranchissement exprimé en euros, est définie par : ( )[]]]]]]]0,41si0;200,53si20:500,64si50:1001,22si 100:250xxf xxx?Î?Î?=?Î??Î?. Il s"agit d"une fonction en escalier dont la représentation graphique est donnée ci-dessous :
La fonction présente des points de discontinuité en 20,50 et 100 En effet, puisque , puisque ()2020lim20xxf x®<= et ()2020lim50xxf x®>=, on aura ()()20202020limlimxxxxf xf x®®<>¹ Exercice n°4 1) La fonction f qui, à tout revenu x associe l"impôt f(x) exprimé en euros correspondant, est définie par : 2) Il s"agit d"une fonction affine par morceaux dont la représentation graphique est donnée ci-dessous :
Page 6/8 Exercice n°5 L"équation ()3fx= admet 2 solutions, l"une dans l"intervalle [-3 ;0], l"autre dans l"intervalle [0 ;3] L"équation ()0fx= admet 2 solutions, l"une dans l"intervalle [0 ;3], l"autre dans l"intervalle [3 ;4] L"équation ()2fx=- admet 2 solutions, l"une dans l"intervalle [0 ;3], l"autre dans l"intervalle [3 ;4] Exercice n°6 1) On peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire par exemple sur l"intervalle [0 ;4] car la fonction y est continue et strictement croissante. De même on peut appliquer ce théorème sur l"intervalle [4 ;10] 2) On ne peut pas appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur l"intervalle [0 ;10] car la fonction n"y est pas strictement monotone. 3) Sur l"intervalle [10 ;14], f est continue et strictement croissante. De plus ()10 0f= et ()14 7f=. Comme ()()610 ; 14ffÎ????, il existe un unique nombre a tel que ( ) 6fa=. Puisque ()13 6f< et ()14 6f>, on en conclut que 1314a< < 4) Il n"existe par de nombre uniqueb tel que ( ) 0fb= sur l"intervalle [0,14], car f n"y est pas monotone. En revanche, c"est le cas sur l"intervalle [0 ;4] (on lit exactement 1b=) Exercice n°7 f présente une discontinuité en 0 1) On ne peut pas trouver IaÎ tel que 3( )2fa= car 32 n"est pas une valeur prise par f 2) Sur l"intervalle [-2 ;0[, f est continue et strictement croissante. Puisque ( )000,1( 2);limxxff x®
2) Sur l"intervalle [20 ; 40], g est continue et strictement croissante. De plus ()2016100 0g= -< et ()40 15900 0g=> Puisque ()()020 ; 40ggÎ????, Le théorème de la valeur intermédiaire affirme l"existence d"une unique valeur []20;40aÎ telle que ()0ga=. Grâce à la calculatrice, on dresse des tableaux de valeurs de plus en plus précis :
PUISnous permettant d"affirmer que 34,634,7a< < ()3limlimxxg xx®-¥®-¥== -¥, ()3limlimxxg xx®+¥®+¥== +¥, ()20 15900g- = , ()20 16100g= -
Page 7/8 Exercice n°9 Première partie 1) ()3limlimxxf xx®-¥®-¥== -¥ et ()3limlimxxf xx®+¥®+¥== +¥, 2) f est définie, continue et dérivable sur ?, et pour tout réel x , ()()3 60 320f xx x x¢= - =-. On en déduit que f s"annule en 0 et en 20, est strictement positive sur ][][;020;-¥ È +¥ et strictement positive sur ]0 ;20[. 3) Ainsi f est strictement croissante sur ]];0-¥, strictement décroissante et [0 ;20] et strictement croissante sur [[20;+¥. Puisque ()0 112f= et ()3220 20 30 20 112 3888f= - ´ + = -, son tableau de variations est donc :
4) Sur l"intervalle ]];0-¥, f est continue et strictement croissante. Comme lim ( ) 0(0)xf xf®-¥< <, l"équation ()0f x= admet donc une unique solution ]]1;0xÎ -¥. On procède de même sur les intervalles [0 ;20] et [[20;+¥ : Sur l"intervalle [0 ;20], f est continue et strictement croissante. Comme (20) 0(0)ff< <, l"équation ()0f x= admet donc une unique solution []20;20xÎ. Sur l"intervalle [[20;+¥, f est continue et strictement croissante. Comme (20) 0 lim ( )xff x®+¥< <, l"équation ()0f x= admet donc une unique solution [[320;xÎ +¥. 5) Grâce à la calculatrice, on dresse des tableaux de valeurs de plus en plus précis ceci permet d"établir que 11,91,8x- < < - , puis 22x= et enfin 329,829,9x< < 6) Le signe de f est donné par : f étant strictement croissante sur ]];0-¥, elle l"est sur ]]1;x-¥, et pour tout ]]1;xxÎ -¥, ()()1f xf x£, c"est-à-dire ()0f x£. De plus pour tout []1;0x xÎ, ()()1f xf x£, c"est-à-dire ()0f x£ f étant strictement décroissante sur [0 ;20], elle l"est sur []20;2x=, et pour tout []20;xxÎ, ()()2f xf x³, c"est-à-dire ()0f x³. De plus pour tout []2;20x xÎ, ()()2f xf x£, c"est-à-dire ()0f x£ f étant strictement croissante sur [[20;+¥, elle l"est sur []320;x, et pour tout []320;xxÎ, ()()3f xf x£, c"est-à-dire ()0f x£. De plus pour tout [[3;x xÎ +¥, ()()3f xf x£, c"est-à-dire ()0f x£ En résumé :
Deuxième partie 7) On calcule ()322 2 30 2 112 0f= - ´ + = 8) Pour tout réel x , ()()()()232232222 2222xax bx cax bx cx ax bx c ax b a x c b x c-+ += + + -- - = + -+ -- On aura alors ()()22( )xax bx cf x-+ += si et seulement si pour tout réel x , ()()323222230 112ax b a x c b x c xx+ -+ -- = -+, c"est-à-dire si et seulement si 11230282 0562 112aab abc bcc=?=??- = -??Û = -??- =??= -??- =?
Page 8/8 Ainsi, pour tout réel x, ()()2228 56( )xxxf x-- -= 9) On résout ()()2228 56( ) 00xxxf x-- -= Û= si et seulement si 2 02xx- = Û = ou 228 56 0xx- - =. Pour cette dernière équation du second degré, on calcule le discriminant ()()228 4 1 56 1008D = - - ´ ´ - =. Comme ()212 7D =, l"équation admet deux solutions réelles distinctes 128 12 714 6 7 29,872x+== + » à 210- près et 228 12 714 6 7 1,872x+== - » - à 210- près Exercice n°10 L"équation 33 5xx+ = étant équivalente à 33 5 0xx+ - =, on note ()33 5f x xx= + -, qui est définie, continue et dérivable sur ?. On dérive : pour tout réel x, ()()223 3 31f xxx¢= + =+. Puisque pour tout xÎ?, 21 0x+ >, on en déduit ()0f x¢>. f est donc strictement croissante sur ?. Puisque ()limxf x®-¥= -¥ et ()limxf x®+¥= +¥, ( )( )0 lim; limxxf xf x®-¥®+¥??Î??, donc le théorème des valeurs intermédiaires affirme que l"équation ()0f x= admet une unique solution aÎ?. En utilisant la calculatrice, on peut dresser un tableau de valeurs de ()f x qui nous permet d"affirmer que 1,151,16a< <.Une valeur approchée de a à 210- près est donc 1,15
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