Exercices corrig´es

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Fonctions d"une variable

Exercice 2.3

Soient les fonctionsf,g,hd´efinies de la mani`ere suivante : f(x) =?2-3x5-2x, g(x) =⎷2x-5 eth(x) = ln(4x-3)2 1.

D ´eterminerleur domaine de d ´efinition.

2. D ´eterminerle domaine d ed ´efinitiondes fonctions marginales de f,g,het les calculer. 3.

Donner un p ointx0appartenant aux trois domaines de d´efinition des fonctions marginales def,geth.

4. Calculer l" ´elasticit´edes fonctions f,g,hetfg/henx0. 5.

On consid `ereque la fonction hrepr´esente le chiffre d"affaires d"une entreprise en fonction du temps de travailx≥1.

(a) Mon trerque le c hiffred"affaires est stricte mentcroissan tpar r apportau temps de tra vail. (b) Donner un d ´eveloppementli mit´e` al"ordre 2 de hau point 1. (c) En d ´eduirela p ositionde la tangen teau p ointd"abscisse x= 1.

Corrig´e

La fonction ⎷·´etant d´efinie surR+, dressons un tableau de signe pour d´eterminer le domaine de d´efinition def.

x]- ∞,2/3][2/3,5/2[]5/2,+∞[2-3x+--

5-2x++-

2-3x5-2x+-+

fest donc d´efinie sur ]- ∞,2/3]?]5/2,+∞[.gest d´efinie sur [5/2,+∞[. ln ´etant d´efinie surR?+, la fonctionhest

d´efinie sur ]3/4,+∞[. 2.

La fonction

⎷·´etant d´erivable sur tout son domaine de d´efinition sauf en 0,fest d´erivable sur ]-∞,2/3[?]5/2,+∞[,

et alorsfm(x) =f?(x) =12 ?5-2x2-3x×-3(5-2x) + 2(2-3x)(5-2x)2=-112(2-3x)1/2(5-2x)3/2. De mˆeme,gest d´erivable sur ]5/2,+∞[ et alorsgm(x) =g?(x) =22 ⎷2x-5=1⎷2x-5.

Enfin, ln ety?→y2´etant d´erivables sur tout leur domaine de d´efinition,hest d´erivable sur ]3/4,+∞[ et

h m(x) =h?(x) = 2ln(4x-3)×44x-3=8ln(4x-3)4x-3 3.

L"in tersectiondes trois domaines de d ´efinitiondes fon ctionsmarginales est ]5 /2,+∞[. Ainsi,x0= 3 appartient aux

trois domaines de d´efinition. 4.

On a, p ourtout x?]- ∞,2/3[?]5/2,+∞[,

e f(x) =xf?(x)f(x)=-11x2(2-3x)1/2(5-2x)3/2?5-2x2-3x=-11x2(2-3x)(5-2x).

Pour toutx?]5/2,+∞[,eg(x) =xg?(x)g(x)=x2x-5. Pour toutx?]3/4,+∞[,eh(x) =xh?(x)h(x)=8x(4x-3)ln(4x-3).

Enfin, pour toutx?]5/2,+∞[,efg/h(x) =ef(x)+eg(x)-eh(x) =-11x2(2-3x)(5-2x)+x2x-5-8x(4x-3)ln(4x-3).

1 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2017 - 2018 5. (a) ´Etudions le signe dehm. Pourx >1, 4x-3>1 donc ln(4x-3)>0, et 4x-3>0, donchm(x)>0 pour x >1, ce qui prouve quehest strictement croissante sur [1,+∞[. (b)

P ourtout x?]3/4,+∞[,h??(x) =8×44x-3(4x-3)-8ln(4x-3)×4(4x-3)2=32(1-ln(4x-3))(4x-3)2. D"o`u le d´eveloppement

limit´e `a l"ordre 2 en 1 : h(x) =h(1)+h?(1)(x-1)+h??(1)2 (x-1)2+(x-1)2ε(x-1) = 16(x-1)2+(x-1)2ε(x-1), avecε(x-1)-→x→10. (c) On calcule, au v oisinagede 1, h(x)-h(1)-h?(1)(x-1) = (x-1)2(16 +ε(x-1)). Or (x-1)2≥0 et

16+ε(x-1)≥0 au voisinage de 1 puisque limx→1ε(x-1) = 0. Donc au voisinage de 1, la courbe repr´esentative

dehest au-dessus de la tangente en 1.

Exercice 2.19

Soitf:x?→xex2+1/x.

Donner le domaine de d ´efinitionde f.

2. Donner le d ´eveloppementlimit ´ede fau pointx= 1 `a l"ordre 2. 3. En d ´eduirela p ositiond ela tangen tede fau voisinage du pointx= 1. 4.

Mon trerque fest convexe sur [1,+∞[.

Corrig´e

L"exp onentielle´ etantd ´efiniesur R, la fonctionfest d´efinie en tout pointxtel quex2+ 1/xsoit d´efini, c"est-`a-dire

queDf=R?. 2.

On calcule, p ourtout x?R?,f?(x) =ex2+1/x+x?

2x-1x 2? e x2+1/x=?

2x2+ 1-1x

e x2+1/x, puis f ??(x) =?

2x2+ 1-1x

2x-1x 2? e x2+1/x+? 4x+1x 2? e x2+1/x=?

4x3-2 + 2x-1x

2-2 +1x

3+ 4x+1x

2? e x2+1/x

4x3+ 6x-4 +1x

3? e x2+1/x. Il existe alors une fonctionεtelle qu"au voisinage de 1, f(x) =f(1)+f?(1)(x-1)+f??(1)2 (x-1)2+(x-1)2ε(x-1) =e2+e2(x-1)+72 e2(x-1)2+(x-1)2ε(x-1) avec lim x→1ε(x-1) = 0. 3.

L" ´equationde la tangen te` ala courb erepr ´esentativede fen 1 esty=f(1) +f?(1)(x-1). On calcule alors

f(x)-f(1)-f?(1)(x-1) = (x-1)2?72 +ε(x-1)? . Or (x-1)2≥0 et72 +ε(x-1)≥0 au voisinage de 1 puisque lim

x→1ε(x-1) = 0. Ainsi, au voisinage de 1, on af(x)≥f(1) +f?(1)(x-1), et donc la courbe repr´esentative def

est au-dessus de la tangente en 1 au voisinage de 1. 4. On a, p ourtout x≥1,4x3-4≥0,6x≥0,1x

3≥0 etex2+1/x≥0. Il s"ensuit que

f ??(x) =?

4x3+ 6x-4 +1x

3? e x2+1/x≥0 pour toutx?[1,+∞[, et donc quefest convexe sur [1,+∞[.

Exercice 2.37

Soit la fonction d´efinie parf(x) =(x-1)ln(x-1)-x2x-2 1.

Donner le domaine de d ´efinitionde f. On admet quefest de classeC2sur son domaine de d´efinition.

2. Donner au p oint2 un d ´eveloppementlimit ´ede f`a l"ordre 2. 2 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2017 - 2018 3.

Pr ´eciserl"appro ximationaffin ede fau point 2 et donner la position relative de la tangente par rapport `a la courbe

repr´esentative defau voisinage de ce point.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] Exercices corrig´es - Crans

Université Paris 13 S SN S - Université Sorbonne Paris Nord

Chapitre I : La grammaire syntagmatique

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