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FONCTION ARCTAN

La fonction tan :

sintancos xxxx est définie, continue et dérivable sur On a 2

21, tan ' 1 tancosx D x xx

Remarque :

¾ La fonction tan est impaire :

, et tan tanx D x D x x ¾ La fonction tan est périodique de période La fonction tan est donc continue et strictement croissante sur ,22

à valeurs dans

elle réalise donc une bijection de ,22 sur La fonction tan admet une fonction réciproque notée arctan définie, continue et strictemnt croissante sur

On a donc :

tanarctan ,22 xyyx yx

De plus arctan est dérivable sur

et on a :

21,(arctan)'1xxx

Démonstration :

La fonction tan est dérivable et strictement croissante sur ,22 et Donc la fonction arctan est dérivable sur tan ( ,22 et

221 1 1,(arctan)'tan' arctan 1 tan (arctan ) 1xxx x x

Remarque :

x tan arctanxx arctan(tan )xx x,22

Par exemple

arctan(tan 2 ) 0

Remarque :

La fonction arctan est impaire :

, et arctan arctan( )x x x x Remarque : développement limité de la fonction arctan au voisinage de 0 (à savoir refaire)

La fonction arctan est de classe

C sur donc sur un intervalle qui contient 0, on peut donc lui appliques la formule de Taylor-Young pour déterminer un développement limité de tout ordre au voisinage de 0

En notant

: arctanf x f x x , on a, pour tout entier naturel n 0 0 knkn k ff x x o xk

Par exemple pour

3n 222

12arctan , ' , "11

xf x x f x f xxx , et 222
3 42

2 1 2 2 1 2

1 x x x xfx x

Ce qui donne

0 0, ' 0 1, " 0 0f f f

et 302f

Finalement

331arctan3x x x o x

Exercice classique à savoir refaire

10, ,arctan( ) arctan( )2

1,0 ,arctan( ) arctan( )2

xxx xxx S

Une correction :

La fonction

:fx

1arctan( ) arctan( )xx

est dérivable sur >,0 et sur >0, comme composée et somme de fonctions dérivables sur chaque intervalle 2

22 2 2

1

1 1 10, , ' 01 1 111

,0 , ' 0 xx f xx x x x x f x

La fonction

f est constante sur >,0 et sur >0, , 0, , ( ) , ,0 , ( )

C x f x C

D x f x D

1 arctan 1 arctan 1 242fC

1 arctan 1 arctan 1 242fDquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11