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FONCTION ARCTAN
La fonction tan :
sintancos xxxx est définie, continue et dérivable sur On a 221, tan ' 1 tancosx D x xx
Remarque :
¾ La fonction tan est impaire :
, et tan tanx D x D x x ¾ La fonction tan est périodique de période La fonction tan est donc continue et strictement croissante sur ,22à valeurs dans
elle réalise donc une bijection de ,22 sur La fonction tan admet une fonction réciproque notée arctan définie, continue et strictemnt croissante surOn a donc :
tanarctan ,22 xyyx yxDe plus arctan est dérivable sur
et on a :21,(arctan)'1xxx
Démonstration :
La fonction tan est dérivable et strictement croissante sur ,22 et Donc la fonction arctan est dérivable sur tan ( ,22 et221 1 1,(arctan)'tan' arctan 1 tan (arctan ) 1xxx x x
Remarque :
x tan arctanxx arctan(tan )xx x,22Par exemple
arctan(tan 2 ) 0Remarque :
La fonction arctan est impaire :
, et arctan arctan( )x x x x Remarque : développement limité de la fonction arctan au voisinage de 0 (à savoir refaire)La fonction arctan est de classe
C sur donc sur un intervalle qui contient 0, on peut donc lui appliques la formule de Taylor-Young pour déterminer un développement limité de tout ordre au voisinage de 0En notant
: arctanf x f x x , on a, pour tout entier naturel n 0 0 knkn k ff x x o xkPar exemple pour
3n 22212arctan , ' , "11
xf x x f x f xxx , et 2223 42