Chapitre I : Géométrie et trigonométrie

A. Géométrie

Nous montrerons d'abord comment retrouver les formules de base du calcul des surfaces et volumes élémentaires; la connaissance de ces formules fait partie, comme nous le verrons, des pré-requis nécessaires à la progression dans les disciplines scientifiques.

1. Surfaces élémentaires

- Le rectangle de longueur L et de largeur l : S=L×l Cas particulier : le carré de côté C

S = C x C

- Le parallélogramme de base B et de hauteur H :

S=B×H

En effet, si le triangle hachuré à gauche

est déplacé (translaté) du côté droit, on retrouve la surface du rectangle. - Le losange de grande diagonale D et de petite diagonale d :

S=(D×d)/2

En effet, sa surface est la moitié de celle

du rectangle dans lequel il est inscrit - Le triangle de base B et de hauteur H : S=(B×H)/2 En effet, par l'égalité des surfaces a et a' ainsi que b et b', sa surface est la moitié de celle du rectangle dans lequel il est inscrit.

La même formule vaut pour le triangle

ci-contre qui est la moitié du parallélogramme représenté.

Cas particuliers de triangles :

- le triangle équilatéral a 3 côtés égaux; - le triangle isocèle a 2 côtés égaux; - le triangle rectangle a 2 côtés perpendiculaires.

Voici par exemple un triangle isocèle

et rectangle.lab H B a' b' B HDd I.2 - Le disque de rayon R

On appelle diamètre un segment passant

par le centre du disque et limité à ses bords. La surface du carré 'entourant' ce disque est :

S=(2R)×(2R)=4R

2 On peut montrer que la surface de ce disque est : S=3,1416...×R 2 En notant par la lettre grecque π (pi) le nombre 3,1416..., on écrira la surface du disque :

S=πR

Application

Considérons l'hexagone (l'origine de ce mot est grecque, hexa signifie six et gônia signifie angle). On le construit en dessinant un cercle et en reportant six fois le rayon déterminé par le compas sur le pourtour du cercle. On remarque que chacun de ses côtés est égal au rayon du cercle que nous noterons R. Dessinons à partir du centre deux rayons joignant deux sommets consécutifs de l'hexagone. On appelle apothème la perpendiculaire menée du centre du cercle circonscrit sur le côté de l'hexagone, nous la noterons a. - La surface du triangle grisé vaut

S=a×R

2 - La surface de l'hexagone (6 triangles équilatéraux) est donc

S=6×a×R

2=3aR Cette surface est très proche de celle du disque; pour s'en convaincre, disons que a est relativement proche de R, ce qui se notera : a≈R.

La formule devient

S≈3R

2 (au lieu de 3,1416 R 2 Le périmètre de l'hexagone est aussi relativement proche (mais inférieur) de celui du disque. - Le périmètre de l'hexagone est :

P=6×R

Celui du disque

P=2πR, c'est-à-direP=6,2832×R

Une mesure de π

Déterminons le pourtour d'un CD à l'aide d'une ficelle ou d'une bande de papier. Notons la longueur obtenue

P= .... .

Déterminons ensuite son diamètre

D= ... =2R.

On pourra estimer le nombre

π, en calculant

P 2R =P

D= ............. = ≡π

Comment calculer

surface du disque

Comment calculer le

périmètre du disque

Comment construire

un hexagone aR

I.3Exercice 1

Calcule le rayon du cercle qui aurait la même surface qu'un carré de côté égal

à 2 mètres ?

Exercice 2

Le carré représenté ci-contre a des côtés égaux à 2 mètres. En chacun de ses 4 sommets, on dessine un cercle de rayon égal à 1 mètre.

Quelle est la surface de la figure hachurée ?

Exercice 3

Voici une figure appelée trapèze.

Nous notons :

B = la grande base;

b = la petite base;

H = la hauteur.

Peux-tu calculer sa surface ?

Indication :

par rapport au rectangle dans lequel il est inscrit, il manque un triangle comme celui-ci. Afin de bien fixer les idées, il serait utile de remplir le tableau suivant, en réfléchissant à comment on "passe d'une figure à l'autre" et au sens particulier des symboles (B, H, C, L, l, D,d, R ...) utilisés.

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