[PDF] ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES



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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES

ET FRACTIONS RATIONNELLES

Dans toutcechapitre,?estl"un des corps?ou?. Les preuves qui ressemblent trop fort à celles du chapitre"Arithmétique

des entiers relatifs » seront souvent omises.

On rappelle que deux polynômesP,Q??[X]sont ditsassociés(sur?) s"ils se divisent mutuellement, i.e. siP=λQpour

un certainQ???.

1 FACTORISATION IRRÉDUCTIBLE SUR?OU?

Définition(Polynôme irréductible)SoitP??[X]. On dit quePestirréductible(sur?) siPn"estPAS CONSTANTet

si ses seuls diviseurs sont 1 etPà constante multiplicative non nulle près.

?Attention !L"IRRÉDUCTIBILITÉ DÉPEND DE?. Le polynômeX2+1 n"est pas irréductible sur?carX2+1= (X+i)(X-i),

mais nous allons voir qu"il l"est sur?. ExempleTout polynôme de degré 1 est irréductible. DémonstrationSoitP??[X]de degré 1. SoientDun diviseur dePetA??[X]pour lesquelsP=AD. Comme Aest non nul : deg(A)?0, donc deg(D)?deg(P). AinsiDest de degré 0 ou 1.

— Si deg(D) =0,Dest constant non nul.

— Si deg(D) =1, alors deg(A) =0, i.e.Aest constant non nula. AussitôtDs"écritD=1 aP.

Comme voulu,Pest irréductible sur?.

Le résultat suivant est un théorème d"EXISTENCEfacile à démontrer. Il montre que les polynômes irréductibles sont

l"analogue polynomial des nombres premiers dans?et des particules élémentaires en physique. Tout polynôme peut être

cassé en petits morceaux que l"on ne peut pas casser davantage. Nous aurons plus tard un théorème d"UNICITÉ.

Théorème(Existence de la factorisation irréductible)Tout polynôme non nul de?[X]est le produit d"un élément

de??et d"une collection — éventuellement vide — de polynômes irréductiblesUNITAIRESsur?. Une telle écriture est

appelé unefactorisation irréductible de P sur?. DémonstrationPar récurrence forte sur le degré. •Initialisation :Les polynômes constants non nuls sont le produit d"eux-mêmes avec... rien.

•Hérédité :Soitn???. Faisons l"hypothèse que tout polynôme non nul de?[X]de degré strictement

inférieur ànest le produit d"un élément de??et d"une collection de polynômes irréductibles unitaires sur

?. SoitP??[X]non nul de degrén. Deux cas possibles — soitPest irréductible, soit il ne l"est pas. SiP

est irréductible, on obtient la décomposition voulue en factorisant simplement par le coefficient dominant.

Dans le cas contraireP=ABpour certainsA,B??[X]non nuls de degrés strictement inférieurs àn. Or par

hypothèse de récurrence,AetBsont chacun le produit d"un élément de??et d"une collection de polynômes

irréductibles unitaires, doncPaussi par produit.

Il nous reste bien sûr à déterminer tous les polynômes irréductibles de?[X]et?[X]. Déjà, les polynômes de degré 1 le

sont. Il se trouve que la réciproque est vraie dans?[X]— autre manière d"énoncer le théorème de d"Alembert-Gauss.

Théorème(Polynômes irréductibles de?[X]et unicité de la factorisation irréductible sur?)

(i) Les irréductibles de?[X]sont exactement ses polynômes de degré 1.

(ii) La factorisation irréductible d"un polynôme non constant de?[X]coïncide avec sa forme scindée — en particu-

lier, elle est unique. 1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

DémonstrationPour l"assertion (i), soitP??[X]irréductible. Non constant,Ppossède une racineλ??

d"après le théorème de d"Alembert-Gauss. Ainsi,X-λdiviseP, donc par irréductibilité dePsur?,PetX-λ

sont associés, doncPest de degré 1. La réciproque a été traitée à l"instant comme un exemple.

Que dire à présent des irréductibles de?[X]? La situation reste assez simple, mais moins que sur?.

ExempleTout polynôme de?[X]de degré 2SANS RACINE RÉELLEest irréductible sur?— par exempleX2+1.

DémonstrationSoitP??[X]de degré 2 sans racine réelle. SoientDun diviseur dePetA??[X]pour lesquelsP=AD. Cette fois,Dest de degré 0, 1 ou 2.

— Si deg(D) =0,Dest constant non nul.

— Si deg(D) =2, alors deg(A) =0, i.e.Aest constant non nula. AussitôtDs"écritD=1 aP.

— Enfin,Dpeut-il être de degré 1? Si c"était le cas,Dserait de la formeaX+bpour certainsa???etb??,

donc-b aserait racine dePmais c"est contraire à nos hypothèses.

Comme voulu,Pest irréductible sur?.

Théorème(Polynômes irréductibles de?[X]et unicité de la factorisation irréductible sur?)

(i) Les irréductibles de?[X]sont exactement ses polynômes de degré 1 et ses polynômes de degré 2 à discriminant

strictement négatif, i.e. sans racine réelle.

(ii) La factorisation irréductible d"un polynôme non constant de?[X]est unique. Elle est précisément de la forme :

A r i=1(X-λi)mi×s j=1

X2+bjX+cj

nj avec : —Apour coefficient dominant, —λ1,...,λrpour racines réelles distinctes de multiplicités respectivesm1,...,mr, — des polynômesX2+bjX+cjdistincts et irréductibles sur?pour toutj??1,s?, etnj???.

Démonstration

(i) SoitP??[X]irréductible. Non constant,Ppossède une racineλCOMPLEXEd"après le théorème de

d"Alembert-Gauss et nous savons alors,Pétant à coefficients réels, que

λaussi est racine deP.

— Siλest réel,X-λdivisePdans?[X], orPest irréductible sur?, doncPetX-λsont associés etP

est de degré 1.

— Siλn"est pas réel :

λ?=λ, doncP= (X-λ)X-λQpour un certainQ??[X]. Or après développement :P=X2-2 Re(λ)X+|λ|2QetX2-2 Re(λ)X+|λ|2est à coefficients réels,

doncQaussi par unicité de la division euclidienne dans?[X]. De là,Pétant irréductible sur?,Pet

X

2-2Re(λ)X+|λ|2sont associés, doncPest de degré 2, sans racine réelle.

(ii) SoitP??[X]non constant. Nous savons quePest scindéSUR?, mais aussi, parce qu"il est à coefficients

RÉELS,que ses racines non réelles peuvent être regroupées par paires deconjuguées de mêmes multiplicités.

Comme en (i), le regroupement de termesX-λetX-

λdonne un termeX2-2Re(λ)X+|λ|2irréductible.

Pour finir, cette factorisation irréductible sur?est unique, car si elle ne l"était pas,Paurait plusieurs formes

scindées sur?— ce que nous savons être faux.

La factorisation irréductible sur?se calcule à partir de la factorisation irréductible sur?par regroupement des racines

non réelles par paires de conjuguées. ExempleLa factorisation irréductible deX4+16 sur?s"écritX4+16=

X-2e-iπ4

X-2eiπ4

X-2e-3iπ4

X-2e3iπ4

Quant à sa factorisation irréductible sur?:X4+16=X2-2?

2X+4X2+2?2X+4.

Démonstration

•Factorisation irréductible sur?:Qui sont les racines complexes deX4+16? Pour toutr??: r

4+16=0??r4=-16=

2eiπ

4

4?? ?k??0,3?,r=2eiπ4+2ikπ4.

La factorisation irréductible deX4+16 sur?en découle — avec ici des racines simples. 2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

•Factorisation irréductible sur?:Il nous reste à regrouper les racines par paires de conjuguées.

X-2e-iπ

4

X-2eiπ4

=X2-2 e-iπ4+eiπ4

X+4=X2-4cosπ4×X+4=X2-2?2X+4

et

X-2e-3iπ

4

X-2e3iπ4

=X2-2 e-3iπ4+e3iπ4

X+4=X2-4cos3π4×X+4=X2+2?2X+4.

2 PGCD, PPCM

Pour toutP??[X], on notera div(P)l"ensemble des diviseurs deP— sous-entendu dans?[X]— mais il ne s"agit pas

d"une notation universelle. L"ensemble des multiples dePest quant à lui l"ensembleP?[X]. Définition-théorème(PGCD, PPCM)SoientA1,...,Ar??[X].

•PGCD :On appelleplus grand commun diviseur(ouPGCD)de A1,...,Artout polynômeD??[X]pour lequel :

div(A1)∩...∩div(Ar) =div(D)

Les PGCD deA1,...,Ar, s"il en existe, sont associés et un seul d"entre eux est unitaire ou nul, qu"on appelleLE

PGCD de A

1,...,Aret notéA1?...?Ar.

•PPCM :On appelleplus petit commun multiple(ouPPCM)de A1,...,Artout polynômeM??[X]pour lequel :

A

1?[X]∩...∩Ar?[X] =M?[X].

Les PPCM deA1,...,Ar, s"il en existe, sont associés et un seul d"entre eux est unitaire ou nul, qu"on appelleLE

PPCM de A

1,...,Aret notéA1?...?Ar.

DémonstrationSoientD,?Ddeux PGCD deA1,...,Ar. En particulier div(D) =div?D, doncDet?Dse divisent mutuellement, donc sont associés. Même chose avec les PPCM.

2.1 EXISTENCE ET CALCUL DUPGCD

L"existence du PGCD de deux polynômes repose sur ce que j"appelle l"idée fondamentale de l"algorithme d"Euclide. Soient

A,B,P??[X]. Montrons que div(A)∩div(AP+B) =div(A)∩div(B). Or tout simplement, tout diviseur commun deAetB

divise aussiAetAP+B, et inversement, tout diviseur commun deAetAP+Bdivise aussiAet(AP+B)-AP=B.

En particulier, pour tousA,B??[X]avecBnon nul : div(A)∩div(B) =div(B)∩div(R)si on noteRle reste de la

division euclidienne deAparB. Théorème(Existence du PGCD)Toute collection finie de polynômes possède un PGCD.

Plus précisément, pour deux polynômesA,B??[X]dont l"un au moins est non nul,A?Best l"unique diviseur commun

unitaire de degré maximal deAetB. En outre : 0?0=0.

Démonstration

•Cas de deux polynômes (algorithme d"Euclide) :SoientA,B??[X]avec deg(B)?deg(A)sans perte de

généralité. On définit dans ce cas une famille de polynômesR0,R1,R2... de la manière suivante. Au départ,

on poseR0=AetR1=B. Ensuite, pourk??,TANT QUERk+1?=0, on noteRk+2le reste de la division euclidienne deRkparRk+1, ce qui implique en particulier que deg(Rk+2)deg(R2)>..., et comme il n"existe qu"un nombre

FINId"entiers naturels entre 0 et deg(R0), on obtient forcément deg(RN) =-∞pour un certainN???,

autrement ditRN=0 — bref, l"algorithme se termine. Or grâce à l"idée fondamentale de l"algorithme

d"Euclide : div(A)∩div(B) =div(R0)∩div(R1) =div(R1)∩div(R2) =...=div(RN-1)∩div(RN)

=div(RN-1)∩div(0) =div(RN-1)∩?[X] =div(RN-1), doncAetBpossèdent un PGCD, en l"occurrenceRN-1.

•Cas général :Par récurrence.Initialisation :Faite à l"instant pour deux polynômes.

Hérédité :Soitr?2. On suppose que toute collection derpolynômes possède un PGCD. Pour tous

A

1,...,Ar+1??[X]: div(A1)∩...∩div(Ar+1) =

div(A1)∩...∩div(Ar) ∩div(Ar+1)

HDR=div(A1?...?Ar)∩div(Ar+1) =div

(A1?...?Ar)?Ar+1 doncA1,...,Ar+1possèdent un PGCD. 3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

L"algorithme d"Euclidecalcule rapidement le PGCD de deux polynômesAetBpour lesquels 0?deg(B)?deg(A). D"après

ce qui précède : A?Best leDERNIER RESTE NON NUL, renduUNITAIREsi besoin, de la suite des restes successifsR0,R1,R2...

Exemple

On peut vérifier grâce à l"algorithme d"Euclide que(X+1)3?(X+1)2(X+2) = (X+1)2.

Si vous aimez les calculs :

2X4+9X3+12X2+10X+3

2X4+X3-2X2+3X+2

=X+1 2. Théorème(Factorisation d"un PGCD)Pour tousA1,...,Ar,P??[X]avecPUNITAIRE: (A1P)?...?(ArP) = (A1?...?Ar)P.

DémonstrationContentons-nous du casr=2 pour simplifier. Il nous suffit de montrer que les polynômes

UNITAIRES OU NULS(A1P)?(A2P)et(A1?A2)Pse divisent mutuellement. •Pour commencer,(A1?A2)PdiviseA1PetA2P, donc aussi(A1P)?(A2P)par définition du PGCD. •Inversement,PdiviseA1PetA2P,donc aussi(A1P)?(A2P)pardéfinition duPGCD, donc(A1P)?(A2P) =DP pour un certainD??[X]. Dans ces conditions,DPdiviseA1PetA2PavecP?=0, doncDdiviseA1etA2, donc aussiA1?A2. En retour,(A1P)?(A2P) =DPdivise(A1?A2)P.

2.2 RELATIONS DEBÉZOUT

Définition-théorème(Relations de Bézout)SoientA,B??[X]. Il existe des polynômesU,V??[X]pour lesquels

A?B=AU+BV. Une telle relation est appeléeUNErelation de Bézout de A et B.

Plus généralement, soientA1,...,Ar??[X]. Il existe des polynômesU1,...,Ur??[X]pour lesquelsA1?...?Ar=

A

1U1+...+ArUr. Une telle relation est appeléeUNErelation de Bézout de A1,...,Ar.

?Attention !Les polynômesUetVne sont pas du tout uniques.

DémonstrationContentons-nous du cas de deux polynômesAetBavec deg(B)?deg(A)sans perte de géné-

ralité. On reprend dans cette preuve les restes successifs de l"algorithme d"Euclide en posantR0=AetR1=Bet

en notant pour toutk??, tant queRk+1?=0,Rk+2le reste de la division euclidienne deRkparRk+1. Le quotient

de cette division euclidienne sera quant à lui notéQk+2:Rk+2=Rk-Qk+2Rk+1. La suite ainsi construite est

finie de rang finalNpour lequelRN=0.

On définit deux nouvelles suites(Uk)0?k?Net(Vk)0?k?Npar(U0,V0) = (1,0)et(U1,V1) = (0,1), puis pour tout

k??0,N-2?:Uk+2,Vk+2=Uk-Qk+2Uk+1,Vk-Qk+2Vk+1. Il n"est pas dur de montrer par récurrence double que pour toutk??0,N?:Rk=AUk+BVk. En particulierA?B=RN-1=AUN-1+BVN-1.

Le procédé de construction des polynômesUetVde la démonstration qui précède s"appelle l"algorithme d"Euclide étendu.

En résumé, alors que l"algorithme d"Euclide ne s"intéressequ"aux restes des divisions euclidiennes successives effectuées,

l"algorithme d"Euclide étendu va plus loin en tenant compteaussi des quotients successifs obtenus.

ExemplePourA=6X4+8X3-7X2-5X-2 etB=6X3-4X2-X-1 :A?B=X-1=-(3X+1)×A+3X2+7X+3×B. DémonstrationOn calcule d"abord les restes successifs associés àAetB: A = (X+2)×B+2X2-2X,B= (3X+1)×2X2-2X+X-1, 2X2-2X=2×(X-1)+0.

Le dernier reste non nul vautX-1 et il estUNITAIRE, c"est notre PGCD. Pour calculer un jeu de coefficients de

Bézout associé, on remonte la chaîne des divisions euclidiennes successives en partant du PGCDX-1 :

X-1 =B-(3X+1)×2X2-2X(On a éliminéX-1.) =B -(3X+1)×A-(X+2)×B=-(3X+1)×A+3X2+7X+3×B.(On a éliminé 2X2-2X.)

Pour finir, quand on connaît la factorisation irréductible de deux polynômesAetB, on peut déterminerA?Bsans utiliser

l"algorithme de Bézout. Le principe est le même que dans?. 4

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

2.3 POLYNÔMES PREMIERS ENTRE EUX

Définition(Polynômes premiers entre eux dans leur ensemble/deux à deux)SoientA,B,A1,...,Ar??[X].

•Cas de deux polynômes :On dit queAetBsontpremiers entre euxsi 1 est leur seul diviseur commun unitaire,

i.e. siA?B=1.

•Dans leur ensemble :On dit queA1,...,Arsontpremiers entre eux dans leur ensemblesi 1 est leur seul diviseur

commun unitaire, i.e. siA1?...?Ar=1.

•Deux à deux :On dit queA1,...,Arsontpremiers entre eux deux à deuxsiAietAjsont premiers entre eux pour

tousi,j??1,r?distincts. ?Attention !Premiers entre euxDEUX À DEUX=?Premiers entre euxDANS LEUR ENSEMBLEmaisLA RÉCI-

PROQUE EST FAUSSE!Par exemple,X(X+1),X(X+2)et(X+1)(X+2)sont premiers entre eux dans leur ensemble, mais :

X(X+1)?X(X+2) =X?=1,X(X+2)?(X+1)(X+2) =X+2?=1 et(X+1)(X+2)?X(X+1) =X+1?=1. Théorème(Théorèmes de Bézout et Gauss, conséquences)SoientA,B,C,P,A1,...,Ar??[X]. •Théorème de Bézout :Les assertions suivantes sont équivalentes : (i)AetBsont premiers entre eux. (ii) Il existe deux polynômesU,V??[X]pour lesquelsAU+BV=1. •Théorème de Gauss :SiA|BCavecA?B=1, alorsA|C. •Lemme d"Euclide :Pour toutP??[X]IRRÉDUCTIBLE:P|AB??P|AouP|B.

•Produits de polynômes :— Si chacun des polynômesA1,...,Arest premier avecP, leur produitA1...Arl"est aussi.

— SiA1,...,ArdivisentPet sont premiers entre euxDEUX À DEUX, leur produitA1...ArdiviseP.

2.4 EXISTENCE ET CALCUL DUPPCM

Définition-théorème(PPCM de deux polynômes, lien avec le PGCD)Toute collection finie de polynômes possède

un PPCM.

Plus précisément, pour deux polynômesA,B??[X]non nuls,A?Best l"unique multiple commun unitaire de degré

minimal deAetB. Lien avec le PGCD :Les polynômesABet(A?B)(A?B)sont associés.

Quand onconnaît lafactorisationirréductible dedeuxpolynômesAetB,onpeutdéterminerA?Bsans utiliser l"algorithme

de Bézout. Le principe est le même que dans?.

Exemple3X2(X+1)?X4(X+2)2=X4(X+1)(X+2)2.

3 FRACTIONS RATIONNELLES

Nous avons déjà parlé informellement des fractions rationnelles en début d"année au chapitre " Introduction à la dé-

composition en éléments simples », mais nous ne connaissions alors pas la notion de polynôme formel et tous nos résultats

étaient admis. Nous sommes maintenant en mesure de les fonder proprement. 5

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

3.1 CONSTRUCTION DES FRACTIONS RATIONNELLES

Définition-théorème(Ensemble?(X))On construit dans la preuve ci-dessous un ensemble?(X)satisfaisant les

trois assertions suivantes :

— À tout couple(A,B)??[X]2avecBnon nul, on peut associer un unique élément de?(X)notéA

B. — Tout élément de?(X)peut être écrit sous la formeA

Bpour certainsA,B??[X]avecBnon nul.

— Pour tous(A,B),(C,D)??[X]2avecBetDnon nuls :A

B=CD??AD=BC.

Les éléments de?(X)sont appelés lesfractions rationnelles à coefficients dans?.

DémonstrationOn pose?=?[X]×

?[X]\0 . Pour tous(A,B),(C,D)? ?, on dit que(A,B)≂(C,D)si AD=BC. La relation≂ainsi définie est une relation d"équivalence sur?. •Réflexivité :Pour tout(A,B)? ?:AB=ABdonc(A,B)≂(A,B).

•Transitivité :Soient(A,B),(C,D),(E,F)? ?pour lesquels(A,B)≂(C,D)et(C,D)≂(E,F). Aussitôt

AD=BCetCF=DE, doncADF=BCF=BDE. Or?[X]est intègre etD?=0, doncAF=BE, i.e. (A,B)≂(E,F). •Symétrie :Pour tous(A,B),(C,D)? ?, si(A,B)≂(C,D), alorsAD=BC, doncCB=DA, autrement dit (C,D)≂(A,B). On note finalement?(X)l"ensemble quotient de?par≂et, pour tout(A,B)? ?,A

Bla classe d"équivalence

de(A,B)associée. L"ensemble ainsi construit satisfait par définition toutes les propriétés désirées. Notez bien en

passant que la notation fractionnaire n"est au départ qu"uneNOTATIONpour désigner une classe d"équivalence.

ExempleDans?(X), les fractions1XetX+1X(X+1)sont égales car 1×X(X+1) =X×(X+1).

Définition(Structure de corps sur?(X))On munit?(X)de deux lois internes+et×qui en font un corps en posant

pour tous(A,B),(C,D)??[X]2avecBetDnon nuls : A

B+CD=AD+BCBDetAB×CD=ACBD,

définitions possibles car les fractions AD+BC BDetACBDdépendent deABetCDsans dépendre du choix de(A,B)et(C,D). DémonstrationSoientA,B,C,D,E,F??[X]avecB,DetFnon nuls. •Bonne définition de+et×:Mais où est le problème? Les fractionsA

BetCDsont définies à l"aide de

quatre polynômes précisA,B,C,D, mais une fraction a plein d"écritures possibles, disonsA

B=?A?BetCD=?C?D

avec?A,?B,?C,?D??[X]et?Bet?Dnon nuls. Pour que les définitions de+et×aient un sens, nous devons

nous assurer que les deux égalités suivantes sont vraies : AD+BC

BD=?A?D+?B?C?B?DetACBD=?A?C?B?D. Or

par définition de≂:AC×?B?D=A?B×C?D=B?A×D?C=BD×?A?Cet :

•Commutativité de+:A

B+CD=AD+BCBD=CB+DADB=CD+AB.

•Associativité de+:!A

B+CD! +EF=AD+BCBD+EF=(AD+BC)F+(BD)E(BD)F

A(DF)+B(CF+DE)

B(DF)=AB+CF+DEDF=AB+!CD+EF!

•Neutralité de0

1pour+:AB+01=A×1+B×0B×1=ABet de même01+AB=AB.

•Inverses pour+:A

B+-AB=AB+B(-A)B2=0B2=01et de même-AB+AB=01.

6

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

•À ce stade,?(X),+est un groupe commutatif d"élément neutre0

1. Pour montrer que?(X),+,×est

un anneau, on peut montrer de même que?(X),×est un magma associatif d"élément neutre1

1et que

×est distributive sur+. Enfin, pour montrer que?(X),+,×est un corps, on peut montrer que×est

commutative et que toute fraction non nulle A

Badmet un inverse, en l"occurrenceBA.

Théorème(Les polynômes sont des fractions rationnelles)L"applicationP?-→P1est un morphisme injectif

d"anneaux de?[X]dans?(X). Grâce à cette injection, on identifiera désormais tout polynômeP??[X]à la fraction

rationnelle P

1. Cette identification fait de?[X]un sous-anneau de?(X).

DémonstrationL"applicationP??-→P1est un morphisme d"anneaux car?(1) =11et pour tousP,Q??[X]: ?(P)+?(Q) =P

1+Q1=P+Q1=?(P+Q)et?(P)?(Q) =P1×Q1=PQ1=?(PQ).

Montrons ensuite que?est injective, i.e. que Ker??0. Pour toutP?Ker?:P

1=?(P) =01, doncP=0.

Pour finir, l"image de?[X]par?est un sous-anneau de?(X)car l"image d"un sous-anneau par un morphisme d"anneaux est toujours un sous-anneau.

Théorème(Structure d"espace vectoriel de?(X))Parce que tout élément de?peut être identifié à un polynôme et

donc à une fraction rationnelle, on sait multiplier toute fraction rationnelle de?(X)par un scalaire. Cette identification

fait de?(X)un?-espace vectoriel. Dans tout ce qui suit, quand nous écrirons sans préciserR=A

B, il sera sous-entendu que(A,B)??[X]2etB?=0. Les

résultats qui suivent seront admis par souci d"efficacité.

Définition(Forme irréductible d"une fraction rationnelle)SoitR??(X). On appelleforme irréductible de Rtoute

écriture deRde la formeR=A

BavecAetBpremiers entre eux. Une telle écriture est toujours possible, et unique à multiplication près par des scalaires non nuls. ExempleL"écritureX2+1(X+1)2X(X+1)n"est pas irréductible, mais l"écritureX2+1(X+1)Xl"est.

Définition(Dérivée d"une fraction rationnelle)Pour toutR=AB??(X), la fraction rationnelleA?B-AB?B2dépend

deRsans dépendre du choix de(A,B). On l"appelle ladérivée de Ret on la noteR?. Pour tousR,S??(X):(R+S)?=R?+S?,(RS)?=R?S+RS?et siSest non nulle :!R S! =R?S-RS?S2.

En outre, la dérivée d"un polynôme coïncide avec sa dérivée comme fraction rationnelle.

Exemple

k=0k

7k=736.

DémonstrationDérivons pour toutn??la relation :n k=0X k=1-Xn+11-Xdans?(X). Cela donne : n k=0kX k-1=-(n+1)Xn(1-X)+1-Xn+1 (1-X)2=1+nXn+1-(n+1)Xn(1-X)2, puis : n k=0kX k=X (1-X)2

1+nXn+1-(n+1)Xn

. Évaluons en17:n k=0k7k=736!

1+n7n+1-n+17n!

. Il ne reste plus qu"à passer à la limite. 7

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Définition(Degré d"une fraction rationnelle)Pour toutR=AB??(X), la quantité deg(A)-deg(B)dépend deR

sans dépendre du choix de(A,B). On l"appelle ledegré de Ret on la note deg(R). Le degré d"une fraction rationnelle est

ainsi soit un entierRELATIF, soit-∞. Pour tousR,S??(X): deg(R+S)?maxdeg(R),deg(S)et deg(RS) =deg(R)+deg(S). En outre, le degré d"un polynôme coïncide avec son degré comme fraction rationnelle.quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29