[PDF] Chapitre mpsi: arithm etique



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Chapitre mpsi: arithm

etique

HEI 1 - 2011/2012

I. Divisibilite et division euclidienne dansZ

1. DivisibiliteEtant donnesaetbdeux entiers relatifs, on dit queaest un diviseur debou quebest un

multiple deas'il existek2Ztel queb=ka.Denition.

Notation.

Si adiviseb, on noteajb

L'ensem bledes diviseurs de best noteD(b)

L'ensem bledes m ultiplesde aest noteaZ

Exemple.

1 et -1 divisen ttous les en tiersmais ne son tdivisibles que par 1 et -1

0 est m ultiplede tous les en tiersmais n'est diviseur que de lui -m^eme

Remarque.La relation de divisibilite dansZest re

exive et transitive mais n'est pas une relation

d'ordre car elle n'est pas antisymetrique, contrairement a la divisibilite dansN. D'ailleurs, pour cet ordre

(partiel), le plus petit element est 1 et le plus grand est 0. Enn, la divisibilite dansNest liee a l'ordre

(total) naturel deN: ajb)ab

2. Division euclidienneEtant donne (a;b)2ZZ, il existe un unique couple (q;r)2ZZtel que :

a=bq+r;0r Exemple.

Division de -56 par 17

Division de 32 par -7

1

II. PGCD - PPCM

1. PGCD

a. Denition et caracterisationLe PGCD de a et b, notea^b, est le plus grand commun diviseur de a et b si

(a;b)2Z2n f(0;0)g, et 0 si (a;b) = (0;0).Denition.

Soit (a;b)2Z2. Alors,

d=a^b,8 :d0 djaetdjb

8d02Z;(d0jaetd0jb))d0jd:Propriete.

Remarque.

{8(a;b)2Z2; a^b=jaj ^ jbj {8a2Z; a^0 =jajDeux entiersaetbnon nuls sont dits premiers entre eux lorsquea^b= 1.Denition. b. Theoreme de Bezout et theoreme de Gauss

Etant donnesaetbdes entiers non nuls,

a^b= 1, 9(u;v)2Z2; ua+vb= 1Theoreme(de Bezout).Etant donnesa; betcdes entiers non nuls, (a^b= 1 etadivisebc))adivisecTheoreme(de Gauss).c. Theoreme d'Euclide et Algorithme d'Euclide

Etant donnesa; b; qetrdes entiers non nuls,

a=bq+r)a^b=b^rTheoreme(d'Euclide).2 L'algorithme d'Euclidequi a pour objet le calcul du pgcd de deux entiers naturels est base sur le theoreme precedent, dans le cas particulier oua=bq+rexprime la division euclidienne deaparb, c'est a dire lorsque 0r < b: On divise aparb, en notantq1etr1respectivement les quotient et reste.

Si r1= 0, alorsa^b=b.

Sinon, on utilise le theoreme d'Euclide :a^b=b^r1pour ^etre ramene au cas precedent. En it erantcette op eration,on obtien tun reste n ulau b outd'un nom breni sd'etapes (la suites des restes successifs etant strictement decroissante et minoree par 0).

On a alors :

a^b=b^r1=r1^r2=:::=rs1^rs=rs1 En resume, le PGCD deaetbest le dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes successives.

Exemple.Le PGCD dea= 18480 etb= 9828 est 84.

En \remontant" la suite des divisions euclidiennes successives, on obtient : 84 = 25a47b d. Equations diophantiennes Etant donnesA; BetCdes entiers non nuls, on donne une methode de resolution de : Ax+By=C;(x;y)2Z2L'equationAx+By=Ca des solutions entieres si et seulement siA^BdiviseC.Propriete.

Exemple.Resoudre l'equation 29x25y=3;(x;y)2Z2

2. PPCMLe PPCM de a et b, notea_b, est le plus petit commun multiple strictement positif de a et

b siab6= 0, et 0 sinon.Denition.

Soit (a;b)2Z2. Alors,

m=a_b,8 :m0 ajmetbjm

8m02Z;(ajm0etbjm0))mjm0:Propriete.

Remarque.

{8(a;b)2Z2; a_b=jaj _ jbj {8a2Z; a_0 = 0Etant donnesaetbdes entiers non nuls, (a^b)(a_b) =jabjTheoreme. 3

III. Nombres premiers

On se limite ici aN.

1. Denitions et premieres proprietesUn entier est dit premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-m^eme.Denition.

Tout entiern2 admet au moins un diviseur premier.Propriete. L'ensemblePdes entiers naturels premiers est inni.Corollaire. Un nombre premier est premier avec tous les entiers qu'il ne divise pas. En particulier, sipest premier, alorsp^k= 1 pour toutk2 f1;:::;p1g.Propriete. Si un nombre premier divise un produit ni d'entiers non nuls, alors il divise l'un d'eux.Theoreme.

2. Decomposition en produit de facteurs premiers

Tout entiern2 admet une unique decomposition en produit ni de nombres premiers (a l'ordre des facteurs pres) de la forme : n=p11p22:::prr ou lespksont des nombres premiers deux a deux distincts et leskdes enties naturels non nuls.Theoreme. Remarque.Cette decomposition peut aussi s'ecriren=Y p2Pp pen attribuant l'exposant 0 aux nombres premiers qui ne sont pas dans la famille pk k2f1;:::;rg 4

3. Application aux diviseurs

Les diviseurs den=p11p22:::prrsont les entiers :

d=p11p22:::prr avec8k2 f1;:::;rg;0kkTheoreme.

Soitaetbdes entiers superieurs a 2 :a=Y

p2Pp petb=Y p2Pp p. Alors, a^b=Y p2Pp inf(p;p)eta_b=Y p2Pp sup(p;p)Propriete.

Exemple.PGCD et PPCM de 360 et 21.

IV. CongruencesEtant donnes deux entiers relatifsx;yet un entier natureln, on dit quexest congru ay modulonsixy2nZou encore s'il existek2Ztel quex=y+kn. On note alorsxy[n].Denition.

Remarque.

{x0[n],njx {xy[0],x=y {xy[n],xetyont le m^eme reste dans la division euclidienne parn

Si rest le reste dans la division euclidienne dexparn, alorsxr[n]La relation de congruence est une relation d'equivalence.Propriete.

Soitx;y;x0;y0des entiers relatifs etn;pdes entiers naturels.

Sixx0[n] et siyy0[n], alors

x+yx0+y0[n] xyx0y0[n] x px0p[n]Propriete. 5 Etant donnes un entier relatifxet un entier natureln, l'ensemble des entiers relatifs congrus axmodulonest appele la classe d'equivalence dexmodulonet notee x.Denition.

Remarque.xy[n],x= y

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