[PDF] Cours sur les limites de fonctions et la continuité



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Limite de fonctions et continuité

Cours sur les limites de fonctions et la

continuité

M. HARCHYTS2-Lycée Agora-2015/2016

1 Limite d"une fonction

1.1 Limite à l"infini

1.1.1 Limite finie d"une fonction à l"infini

Définition 1

Soitfune fonction définie surRou sur un intervalle de la forme [a; +1[. Soit`un réel. On dit quefadmet pour limite`au voisinage de+1, ou encore queftend vers`au voisinage de+1, si tout intervalle ouvert contenant`contient tous les réelsf(x) pourxassez grand. Autrement dit, pour tout intervalle ouvertIcontenant`, il existe un réelBtel quef(x)2Isi x > B.

Intuitivement:

On peut rendref(x) aussi proche de`que l"on veut à condition de prendrexassez grand. On dit aussi "fa pour limite (ou tend vers)`en +1» ou "f(x) tend vers`quandxtend vers +1».

On note : lim

+1f=`ou limx!+1f(x) =`ouf(x)!x!+1`.

Remarque :

Tout intervalle ouvert contenant`contient un intervalle de la forme ]`";`+"[.

On peut donc se limiter à utiliser la propriété de la définition avec les intervalles de cette forme :

une fonctionfadmet une pour limite`en +1si pour tout réel" >0, il existe un réelBtel que pour toutx > B,jf(x)`j< "(c"est-à-diref(x)2]`";`+"[).

Définition 2

Soitfune fonction définie surRou sur un intervalle de la forme ]1;b]. Soit`un réel. On dit quefadmet pour limite`au voisinage de1si tout intervalle ouvert contenant`contient tous les réelsf(x) pourxnégatif assez grand en valeur absolue. Autrement dit, pour tout intervalle ouvertIcontenant`, il existe un réelBtel quef(x)2Isi x < B.

Exemples :

1. La f onctionconstan tedéfinie par f(x) =cpour tout réelxtend verscen1et en +1. 2. lim x!+11x = 0 et limx!11x = 0. 3. Pl usg énéralement,pour tout en tierp1, limx!+11x p= 0 et limx!11x p= 0.

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Limite de fonctions et continuité

4. lim x!+11px = 0.

Définition 3 : Asymptote horizontale

Si lim

x!+1f(x) =`(resp. limx!1f(x) =`), la droite d"équationy=`est appeléeasymptote horizon- tale àCfau voisinage de +1(resp.1). Cela traduit le fait que les points de la courbeCfse rapprochent indéfiniment de la droited

d"équationy=`(c"est-à-dire leur ordonnée se rapproche indéfiniment de`) lorsque leur abscisse

tend vers l"infini. Pour étudier laposition relativedeCfet ded, c"est-à-dire la position deCfpar rapport àd, il faut étudier le signe de la différencef(x)`.

Exercice 1

Soitfla fonction définie sur ]1; 0[[]0 ; +1[ parf(x) = 2+1x Étudier les asymptotes à la courbe représentant cette fonction.

1.1.2 Limite infinie d"une fonction à l"infini

Définition 4

Soitfune fonction définie surRou sur un intervalle de la forme [a; +1[. On dit queftend vers+1au voisinage de+1, si tout intervalle ouvert de la forme ]A; +1[ contient tous les réelsf(x) pourxassez grand. Autrement dit : pour tout réelA, il existe un réelBtel quef(x)> Asix > B.

Intuitivement:

on peut rendref(x) aussi grand que l"on veut à condition de prendrexassez grand.

On dit queftend vers+1en1, si...

On dit queftend vers1en+1, si...

On dit queftend vers1en1, si...

Exemples

1. lim x!+1x2= +1et limx!1x2= +1. 2. lim x!+1x3= +1et limx!1x3=1. 3.

Pl usg énéralement,pour tout en tierp1 :

lim x!+1xp= +1limx!1xp=(+1sipest pair

1sipest impair

4. lim x!+1px= +1.

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Limite de fonctions et continuité

Définition 5 : Asymptote oblique

S"il existe un couple (a;b) de réels tels quea,0 et limx!+1(f(x)(ax+b))= 0 , la droite d"équation

y=ax+best appeléeasymptote oblique àCfau voisinage de +1(définition analogue en1). Cela traduit le fait que les points de la courbeCfse rapprochent indéfiniment de la droited d"équationy=ax+blorsque leur abscisse tend vers l"infini. Pour étudier laposition relativedeCfet ded, c"est-à-dire la position deCfpar rapport àd, il faut étudier le signe de la différencef(x)(ax+b).

Exemple :

Soitfla fonction définie

sur ] 1; 0[[]0 ; +1[ par f(x) =12 x+1+1x .O~ i~ j1.2 Limite infinie d"une fonction en un point

On considère dans cette partie un réelaqui n"appartient pas àDf, mais qui est une borne deDf.

Définition 6

Soitfune fonction définie sur une partie deRcontenant un intervalle de la forme ]a;c[ (c > a ouc= +1) ou ]c;a[ (c < aouc=1). On dit queftend vers+1au voisinage dea, si l"on peut rendref(x) aussi grand que l"on veut à condition de prendrexsuffisamment proche dea.

Exemple :

lim x!01x

2= +1.O~

i~ jDéfinition 7 : Limite à droite Soitfune fonction définie sur une partie deRcontenant un intervalle de la forme ]a;c[ (c > aou c= +1). On dit queftend vers+1quandxtend versapar valeurs supérieures (ou à droite), si l"on peut rendref(x) aussi grand que l"on veut à condition de prendrexsupérieur àasuffisamment proche dea.

Définition 8 : Limite à gauche

Soitfune fonction définie sur une partie deRcontenant un intervalle de la forme ]c;a[ (c < aou c=1). On dit queftend vers+1quandxtend versapar valeurs inférieures (ou à gauche), si l"on peut rendref(x) aussi grand que l"on veut à condition de prendrexinférieur àasuffisamment proche dea.

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Limite de fonctions et continuité

Exemple :

lim x!0x<01x =1et lim x!0x>01x = +1.O~ i~ jExemples 1.

P ourtout en tierp1, limx!0x>01x

p= +1et limx!0x<01x p=(+1sipest pair

1sipest impair

2. lim x!0x>01px = +1.

Définition 9 : Asymptote verticale

Sifa pour limite +1ou1quandxtend versa(éventuellement seulement à droite ou à gauche dea), la droite d"équationx=aest appeléeasymptote verticale àCfena.

1.3 Limite finie d"une fonction en un point

Définition 10

Soitfune fonction définie sur un ensembleDf, et soitaun réel qui appartient àDfou est une borne deDf. Soit`un réel. On dit queftend vers`lorsquextend versasi l"on peut rendref(x) aussi proche de`que l"on veut à condition de prendrexsuffisamment proche dea.

On admettra le résultat suivant :

Théorème 1

Soitfune fonction définie sur un ensembleDfetaun réel appartenant àDf. Sifadmet une limite ena, alors cette limite estf(a) : lim x!af(x) =f(a):

On dit alors que la fonctionfestcontinue ena.On admettra de plus que les fonctions usuelles sont continues en tout point de leur ensemble de

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