L'ensemble des nombres entiers est à son tour inclus dans celui des nombres rationnels. Les nombres réels, quant à eux, sont composés de l'union de l'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Le tableau suivant donne un aperçu des différents ensembles. Nombres qui servent à dénombrer.
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Chapitre3
Lesgrandsensembles denombres
Cechapitre étudielesgrandsensemblesde nombressur lesquelssontbasées lesmathé- matiques.Certainsde cesensemblesser ontfamiliers,d'autr esnouveaux.À l'exceptiond'un ensemble(les entiersmodulon),lesautr essontimbriqués lesunsdanslesautr es:le premier apparaîtcommeun sous-ensembledu second,lesecond dutroisième, etc. Maispourquoi étudier"encore»ces ensemblesquisont bienconnus? Lesrevoirunaprès l'autrepermetdecompr endrece quelenouvel ensembleapporteparrapportauprécédent. L'introductiondechacunpermetaussidese familiariseravecde nouvellesconstructions ma- thématiquesetcompr endreles propriétésfondamentalesquicaractérisentcesensembles.Ila fallubeaucoupde tempspourr econnaître cespropriétés fondamentaleset c'estleXXesiècle quiar egroupé cespropriétésen"structuresmathématiques »quiaujour d'huiportentles nomsdegroupes,anneaux,corps,etc.Le chapitrenotera aupassageces structuresquiseront étudiéesplus enprofondeur dansunchapitr eultérieur.3.1Lesentiers naturels
axiomatique,postulel'existence decetensemble avecuncertain nombre depropriétés. Cette approche,quecechapitre présente,estdue aumathématicienitalien Peano 1 etau mathémati- cienallemandDedekind 2 .Uneseconde approchepart del'ensembledes nombresréelsR,au préalableconstruit paruneaxiomatiqueappropriée, puisdéfinitNcommeétant lepluspetit sous-ensembleinductifde R,c'est-à-dir elepluspetit(ausens del'inclusion)vérifiant lefait quesessous-ensembles nonvides contiennenttoujoursun pluspetitélément. (Cettepropriété n'estpasvérifiée pard'autres ensemblesdenombr es,parexemple l'ensembledesnombresra- tionnels.Cetensemble possèdeunsous-ensemble ,celuides rationnelspositifs, quine contient pasdeplus petitélément.)1.GiuseppePeano (1858-1932).Mathématicienitalien. Sesaxiomesont étépubliésen 1889.
2.Richard Dedekind(1831-1916).Undesconcepteurs(notamment avecCantor)de lathéorie modernedesen-
sembles. 4748CHAPITRE3. LESGRANDSENSEMBLES DENOMBRES
Nousaurons besoindesconceptssuivants:
Rappel
•fonction,fonction injective. L'ensembledesentiers naturels(ouentiers nonnégatifs)N={0,1,2,3,...}peutêt reconstruit àpartird'une courtelisted'axiomes. Cesaxiomes,appelés axiomesdePeano ,onteu unimpact majeursurle développementaxiomatiquedes mathématiquesactuelles. Lesvoici. Définition5(Lesaxiomesde Peano).Ilexisteun ensembleNmunid'une fonctions:N!Nayant lespropriétés suivantes: (P1)Ilexisteun élément0!Ntelque0"=s(n)pourtoutn!N. (P2)Lafonctionsestinjective. (P3)(Axiomederécurr ence).T outsous-ensembleEdeNcontenant0ettelque s(n)!Esin!E coïncideavecN. Lapair e(N,s)estappeléele systèmedesentiers naturels. Lafonctionsestappelée lafonction" successeur».A veclesnoms etcaractèresusuelspour leséléments decetensembleN(0=zéro,1=un,2=deux,...),la fonctionsuccesseur donne s(0)=1,s(1)=2,s(2)=3,et ainsidesuite. Ainsis(n)estl'entiersuivant n.Les deuxpremi ers axiomespeuventêtr emisen motscommesuit.L'axiome(P1) énoncequel'entier 0estle seul élémentdeNàne pasavoirde prédecesseur(ouencor enesuit aucunautr eélémentde N). (L'unicitédel'entier n'ayantpasde prédécesseurestdémontréecommesuit.Supposons 0un élémentdistinctde 0pourlequelil n'existeaucun n!Ntelques(n)=0.Alorsl'ensemble
E#NdéfiniparE={0,s(0),s(s(0)),...}contient0etsatisfaitdonc auxconditions énoncées dans(P3).Cependant Enecontientpas0etnepeut doncpascoïncider avecN.Doncun tel
élément
0nepeut existerdansN.)L'axiome (P2)ditque,simetnontle mêmesuccesseur
(s(m)=s(n)),alorsils sontégaux (m=n).Mais,attention, lesnomsusuels (zéro,un, deux,...)nesontpas nécessaires ;lenom d'unseulélémentestfixé,l'élément0.(Dansd'autr esversions,
cenomdemeur elibr e.)L'exercice1montr eraquelapaire(N,s)peutcorrespondr eàd'autres ensembles.Lafonction successeurpeutêtr evisualiséepar l'utilisationdeflèches, uneflèche a!bindiquantques(a)=b.Ainsi012345678
Ledernieraxiome (P3)mèneau principed'induction.Théorème1. Soitunensemble d'énoncéslogiques{p(n),n!N}étiquetésparles élémentsdel'en-
semble(N,s).Alors,si (i)p(0)estvraieet3.1.LESENTIERS NATURELS49
(ii)p(n)estvraie"p(n+1)estvraie, alorsp(n)estvraie pourtoutn!N,c'est-à-dire l'ensembledevéritédepesttoutN. Preuve.SoitEl'ensembledes entiersnpourlesquels lesénoncésp(n)sontvrais:E={n|p(n)estvrai}.
L'hypothèse(i)affirmequeEcontientl'élément 0;l'hypothèse(ii),elle,dit quesinestdansE (c'est-à-diresip(n)estvrai),alors n+1yest aussi(c'est-à-dire quep(n+1)estvrai).Donc l'ensembleEsatisfaitl'énoncéde l'axiome(P3)et estdoncl'ensemble Nenentier :E=N.Ainsi l'énoncélogiquep(n)estvraipour touslesn!N. Voicimaintenantlaconstruction despr opriétésdel'e nsembledesnombresnaturels (N,s) telquedéfini àpartir desaxiomesde Peano.Cetteméthode (appeléelaméthode axiomatique) trouvesesorigineschezEuclide. Lapreuve decespr opriétésestparfois longue; nousendon- neronsunexemple.Parla suite,l'ensembledes naturelssera notésimplementN,mêmesi la fonctionsuccesseursjoueraun rôlefondamentaldans lesdéfinitionsde +et$. L'addition - Soitaunélémentde Ndifférentde0(doncautre quel'élémentminimal). L'axiome(P3)montreque aestlesuccesseur d'unélémentb(a=s(b)).L'élément bestappelé l'antécédentoule prédécesseurdeaetestnoté a!1.Remarquer quecetteécriture n'apas desenssi a=0,puisquece derniern'apas d'antécédent(n'estle successeurd'aucunnatur el d'après(P1)). Étantdonnédeu xentiersnatur elsaetn,l'addition estdéfiniepar récurrencecomme suit: - sin=0:a+n=a; - sin"=0:a+n=s(a+(n!1)). Ainsi,si lesuccesseurde aestnoté a+1,l asommea+nconsisteàpr endrenfoisle successeur dea; a+n=s(a+(n!1))=s(s(a+((n!1)!1))) =...=s(s(...(s(a+(0))...))) =s(s(...(s( nfois a)...)))=(( ...((a+1)+1)...)+1)) nfois Proposition2.L'opérationd'addition+surNalespr opriétéssuivantes: (i)0estunneutr e:0+a=a+0=a; (ii)communativité: a+b=b+a; (iii)associativité:(a+b)+c=a+(b+c); quivalentpour tousleséléments a,b,c!N.50CHAPITRE3. LESGRANDSENSEMBLES DENOMBRES
Preuve.Soitp(n),n!N,les énoncéslogiquesn+0=0+n=n.Montrer que0estun élément neutrepourl'opération+consisteà montrerla véracitédesénoncésp(n),pourtout n!N. L'énoncép(0)(quidit0+0=0+0=0)estvrai puisqu'unnombre esttoujourségal àlui-même etparla définitiondea+nlorsquen=0.Supposonsmaintenant quel'énoncépour nsoit vrai:p(n)estvrai,c'est-à-dir e0+n=n+0=n.Étudionsles deuxmembr esdel'égalité del'énoncép(n+1).D'abord l'égalitédedroitesuitde lapremièr elignede ladéfinitionde l'addition:(n+1)+0=n+1.L'égalité degauchesedéveloppecommesuit :0+(n+1)=s(0+n)
=s(n+0)=s(n)=n+1 où"!»indiquel'utilisation del'hypothèsed'induction (p(n)estvrai).Donc (n+1)+0=0+(n+1)=n+1estvraie sin+0=0+n=nl'est,ouencor e,p(n+1)estvraisi p(n)l'est.
Parleprincipe d'induction,tous lesénoncésp(n)sontvraiset l'élément0estdoncle neutr e pourl'addition. Lapr euveprécédenteaaussimontréque l'additionden'importe quelnombre avec0est commutative:0+n=n+0pourtoutn!N.Maisil restepas maldetravail pourmontrer lacommutativitéet l'associativitéde l'additionpourtous lesentiers.Nous lestiendrons pour acquises. Lamultiplication - Toutcommel'addition,lamultiplication estdéfiniepar récurrence.Soit a!Nunélément fixéquelconque.On définitl'opérationa·ncommesuit: - sin=0:a·n=0; - sin"=0:a·n=(a·(n!1))+a. Onnoteraque lamultiplication desentiersnatur elsn'estpas àpropr ementparlerune opéra- tionnouvelle.Elle estdéfinieà partirdel'addition. Lespropriétés quisuivent sontconnues.Àpartirdes propriétésde l'additionénoncées danslethéorèmeprécédent,les preuvesdes
énoncésci-dessous sontplusfaciles. Nousendonnons unexemple. Théorème3.Letriplet(N,+,·)définici-dessouspossède lespropriétés : (i)s(0)=1estunneutr epour·:1·a=a·1=a; (ii)communativité:a·b=b·a; pourtousles élémentsa,b,c!N. Preuve.Soientp(n),n!N,les énoncéslogiques(a+b)·n=(a·n)+(b·n).L'énoncé p(0)est vraipuisque,par lapr emièrepartie deladéfinition de·,le membrede gauchedeceténoncé est0etlemembr ededr oiteest0+0quiest aussi0parla définitiondel'addition. Supposons3.1.LESENTIERS NATURELS51
lavéracité dep(n!1).Alors (a+b)·n 1 =((a+b)·(n!1))+( a+b) 2 =(a·(n!1)+b·(n!1))+( a+b) 3 =[(a·(n!1))+ a]+[(b·(n!1))+b] 4 =a·n+b·n oùchacunedes étapesse justifiecommesuit :l'étape1estladéfinition dela multiplication parn,l'étape 2utilisel'hypothèsed'induction (l'énoncép(n)estvrai), l'étape3suitpar lacommutativitéetl'associativité del'addition(théorème 2)et,enfin, l'étape4utiliseànouveau
ladéfinitionde lamultiplication. L'exponentiation - L'exponentiationestuncasparticulier delamultiplication. Maisonpeut ladéfinirdir ectementparrécurr ence.Soitaunentiernatur eldif férentde0.Alorsle symbole a n estdéfinipar - sin=0:a 0 =1; - sin"=0:a n =(a n!1 )·a. Relationd'ordre surN - Danslaconstr uctionaxiomatique deN,la relationd'or drehabituelle %estformaliséecomme suit.Soita,b!N.On écrita%b(oub&a)s'ilexiste c!Ntelque a+c=b.Sia%beta"=b,on écritaa). Théorème4. L'ensembleNmunidela relation %estunensemble totalementordonné,c'est-à-dir e: (i)antisymétrie:si a%betb%a,alorsa=b; (ii)transitivité:si a%betb%c,alorsa%c; (iii)réflexivité:a%aet (iv)totalité:a%boub%a, pourtouta,betc. Preuve.Ànouveau,seules certainesde cespropriétés sontprouvées. Pourmontrer l'anti- symétrie,supposonsl'existence d'entierscetdtelsquea+c=betb+d=a.Alors a+(c+d)=b+d=aparl'associativitéde +.L'unicité duneutre(voirl'exer cice2(b)) im- pliquec+d=0.Sidn'estpas 0,alorsdpossèdeunprédécesseur et0=c+d=s(c+(d!1)). Cecimontr eque0possèdeun prédécesseur,une contradiction.Ainsid=0etc+0=0im- plique,ànouveau parl'unicité duneutre, quec=0.Donc a=b.La réflexivitésuitdu faitque