Seconde - Les ensembles : N ; Z ; D ; Q ; R - Parfenoff org PDF L'ensemble des nombres entiers

L'ensemble des nombres entiers est à son tour inclus dans celui des nombres rationnels. Les nombres réels, quant à eux, sont composés de l'union de l'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Le tableau suivant donne un aperçu des différents ensembles. Nombres qui servent à dénombrer.

I) Les nombres entiers

Nous avons vu dans le chapitre précédent les ensembles des entiers naturels Գ et des entiers

relatifs Ժ, petit rappel :

łentiers naturels est noté Գ.

Գ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;

łentiers relatifs est noté Ժ.

Ժ = { ; -4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;

Avec Գ ؿ

II) Les décimaux et les nombres rationnels

1) Définition

łdécimaux est noté ॰.

॰ fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 -à-dire fraction décimale.

łrationnels est noté Է.

࢈ avec ࢇ entier relatif et ࢈ entier relatif non nul.

Remarques :

décimale, donc tout nombre décimal est aussi un nombre rationnel. Donc ॰ؿ

2) Démonstration obligatoire :

avec אܽԺ et ݊א ଷ est un nombre décimal.

Alors il existe deux nombres entiers ܽ

Par conséquent ଵ଴೙

ଷ = ܽ avec אܽ Or un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Or la somme des chiffres de tout nombre de la forme ͳͲ௡ est égal à 1 suivit de ݊ zéros

Pourtant nous avons montré que si ଵ

ଷ est un nombre décimal, alors, ͳͲ௡ est divisible par 3, donc : " ଵ ଷ est un nombre décimal » nous mène à une contradiction, on

3) Exemples

Exemple 1 : La fraction ଵ

ଷ est un nombre rationnel, elle est le quotient de deux nombres. Nous avons vu dans la précédente démonstration que ଵ (On peut aussi faire la division décimale après la virgule est infinie).

Donc ଵ

ଷ pas un nombre décimal mais un nombre rationnel.

Exemple 2 : La fraction ଷ

ସ est un nombre rationnel, il est le quotient de deux nombres. Si on fait la division décimale de 3 par 4 on obtient 0,75 et 0,75 = ଻ହ

Donc ଷ

ସ est aussi un nombre décimal.

III) Les nombres réels

1) Les nombres irrationnels

a) Définition : irrationnels. Ce sont tous les nombres ayant une infinité de chiffre après la virgule et qui ne ࢈ avec ࢇ entier relatif et b entier relatif non nul. Par exemples ξ૛ ; ξૠ ; ࣊ sont des nombres irrationnels. b) Démonstration obligatoire : Prouver que ξ૛ est irrationnel

Nous allons utiliser

Pour cela supposons le contraire : ξʹ est un nombre rationnel, dans ce cas il existe deux nombres entiers݌ et ݍ avec ݍ്Ͳ tel que ξʹ = ௣ ࢗ étant une fraction irréductible.

St : 2 = ௣;

un nombre pair et dans le chapitre (nombres entiers : nombre pair est pair, q ainsi que leurs réciproques) on peut donc en déduire que ࢖ est aussi un nombre pair. Dans ce cas il existe un nombre entier ݇tel que ݌= ʹ݇, ݇א que précédemment, ࢗest donc aussi un nombre pair. On arrive donc à une absurdité, car dans ce cas on obtient que les nombres

࢖ et ࢗsont simultanément pairs alors que ݌ et ݍdevrait être premiers entre eux puisque

2) Les nombres réels

Définition :

nombres réels tous les nombres rationnels et irrationnels. Cet ensemble est noté Թ.

653 Գ Ժ ॰ Է Թ

-12

3 14,22 ߨ

On écrit : Գ ؿԺ ؿ॰ ؿ Է ؿ nombres est inclus dans le précédent ( ensemble appartiennent aussi aux ensembles situés à droite dans la relation)

3) La droite numérique

Définition :

appelé abscisse du point M dans le repère (O, I). Réciproquement à tout nombre réel ࢞ lui correspond un unique point M de la droite graduée appelée droite numérique. Remarque importante s est noté Թ, il contient tous les nombres connus et étudiés en classe de seconde, cet ensemble est infini et totalement

ܽ et ܾ

de longueur, correspondant au nombre.

Exemple 1 :

Le nombre ξʹ a été placé avec précision sur la droite numérique en reportant au compas la

ଷ ; ; M est ξʹ .

Exemple 2 :

Les abscisses des points A, B, C, D, E et F sont respectivement :

ݔ஺ = 0 ; ݔ஻ = 1 ; ݔ஼ = 4 ; ݔ஽ = -2 ; ݔா = 2,46 et ݔி = - ξ͵

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I) Les nombres entiers

łentiers naturels est noté Գ.

Գ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;

łentiers relatifs est noté Ժ.

Avec Գ ؿ

II) Les décimaux et les nombres rationnels

1) Définition

łdécimaux est noté ॰.

łrationnels est noté Է.

Remarques :

2) Démonstration obligatoire :

Alors il existe deux nombres entiers ܽ

Par conséquent ଵ଴೙

Pourtant nous avons montré que si ଵ

3) Exemples

Exemple 1 : La fraction ଵ

Donc ଵ

Exemple 2 : La fraction ଷ

Donc ଷ

III) Les nombres réels

1) Les nombres irrationnels

Nous allons utiliser

St : 2 = ௣;

2) Les nombres réels

Définition :

653 Գ Ժ ॰ Է Թ

3 14,22 ߨ

3) La droite numérique

Définition :

ܽ et ܾ

Exemple 1 :

Exemple 2 :