Chapitre 1 - Ensembles de nombres PDF L'ensemble des nombres entiers

L'ensemble des nombres entiers est à son tour inclus dans celui des nombres rationnels. Les nombres réels, quant à eux, sont composés de l'union de l'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Le tableau suivant donne un aperçu des différents ensembles. Nombres qui servent à dénombrer.

Chapitre1

Ensemblesdenombres

Enmat hmatiquesnoussommesconfrontsdiffrentsensembles.Lesplus simplesdÕent res euxsont desensemblesdeno mbres.N ousallonstudiscerta inespropri tsdecesderniersdans cech apitre.

1.1Intr oduction

Certainsnombresapparai ssentnaturellementda nsleviedetouslesjo urs(notamme ntlorsquÕil

sÕagitdednombr erdesq uantitsdiversesetvaries).P ourtantlaconst ructionh istorique(dÕun

pointdevuema thmat ique)dece sensemblesnÕestpasforcmentcelle quelÕonim agine.Voici quelquesmotscesujet : ¥Lesno mbresentierssontconnus depuisEuclide(env iron300av.J.C. ),lanotationN ¥Lesn ombresentiersrelatifs( possdantventuell ementunsigneÇffÈ)appa raissentdansdes textesdumathm aticien sindienårybhata(476ff550):i lsp ermettentd etraiterlanotion dede ttesetderecettes .Cesnom bres sontgalementprsentsdanslescritsduperseAbu I-Wafa(940ff998);enrev anche,i lfautattendrelestravauxde Stevin (1548ff1620)pou r quÕilsapparaise ntenEurope.Laconstructionformell edecetteensembl eestdenouveau obtenueparDedekind( 1831ff1916)e tlanotat ionZ(dumota llemandZahlensigniÞant nombres)estpopulariseparlemathmaticienpolycphaleBourbaki(nen1935). ¥Lano tiondefractionestdj prsent edansdespapyrusgyptiens(notammen tlepapyrus Rhinddatantdeff1650av .J.C.)mais leurvritablecons tructionmath matiqueda tedes travauxdePeanoen18 95;ilc hoisitlalettreQ(delÕi talienquozientesigniÞantquotient) pourdsig nerdetelsnombres.

¥Certainsnombrescommeffou

2nepeuventsÕexprimercommedesfractions,lÕensemble

CantoretDedekind .

8CHAPITRE1.ENSEMBL ESDENO MBRES

1.2Nombr esentiers

Lesno mbreslesplussimples manipu lersontlesnom bresentiers. DÞnition1.2.1.1.LÕe nsembleNdsignelÕensemble desentierspositifs.Autrementdit,

N={0,1;2 ,...;100;...;}

2.L ÕensembledesentiersrelatifsZdsignelÕensemblede snombresentiers.Autrementdit,

Z={...;ff100;ff4;ff3;...;0;1;2,...;100;...;}

Remarque.Enpart iculier,N#Zcecisi gniÞequetousleslmentsde Nsontgale mentdeslments

deZ.LÕinclusionrciproquenÕestpasvriÞe:eneffet,ff2$Zmaisff2/$Z.Noustudieronsla

propritsdecesdeuxensemblesplus tar ddanslÕanne .

1.3Nomb resfractionnaires

DÕautresnombresappara issentnaturellementd anslaviedetouslesjou rs,ilsÕag itdesnombres fractionnaires.Cesdernierssontobtenuslorsq uedesprop ortionsdÕunquant itdonneestm iseen jeu(le tiersdÕun gteau,unedemi- heure,etc). Cesensemblescon tiennentlesensemblesdÕentiers introduitsplustt.VoicilÕundÕe ntreeux. DÞnition1.3.1.LÕensembledesnombresdcimau xDestcomp osdenombresdelaforme a 10 n aveca$Z,n$N

Exemple1.3.1.1.ff1$Dcarff1=

a 10 n aveca=ff1$Zetn=0$N.

2.20,3$Dcar20,3=

a 10 aveca=203$Z. Iles timportan tdÕobserverquetoutnombred cimaladmetundveloppementdcimalavecun Exemple1.3.2.Voiciquelque sexemplesillustrantcett eproprit: 1 2 =0,5;ff 3 25
=ff0,12; 217
125
=1,736 DÞnition1.3.2.LÕensembledesnombresrationn elsQestcom posdenombredelaforme a b aveca$Z,b$Z ff

1.3.NOM BRESFRACTIONNAIRES9

Remarque.Enpart iculierD#Q.Pourcela,ilsu"tdÕobserverquetouslmentsdeDsÕcritdela faonsuivante a 10 n a b avecb=10 n $Z ff .AutrementditD#Q.CommenousleverronslÕinclusionrciproqueestfausse.

Quelquesexemplesdenomb resrationels.

Exemple1.3.3.1.4,86363636363...$Qcar4,86363636363...= a b aveca=107$Zet b=22$Z ff 2. 1 3 =0,33333...$Qcar 1 3 a b aveca=1$Zetb=3$Z ff Remarque.Iles tpossible demontrerquetouslment sdeQpeuventsÕcrireave cunnombreÞni indÞniment. Iles talorsnat ureldesÕinterr ogersurlefaitsuivant: 1 3 =0,3333333... sÕagitdÕunlmen tdeQmaissepou rrait- ilque 1 3 $D?

Commenousallo nslevoir

1 3 /$D.Avanttouteschoses,ilestimportantdenotercertainsfaits. DÞnition1.3.3.Touslesno mbresdivi siblespar3peuventsÕcriredel afaonsuivante:

3aaveca$Z(1.3.1)

Exemple1.3.4.Ils u"tdeprendrequelquesexemplespoursÕenconvaincre:3=3%1,27=

3%9,....Enrevanche,5 nÕe stpasdivisiblepar3caril nÕe stpaspossibledÕexprimer5souslaforme

5=3aaveca$Z(ici,ilestes sentiel queasoitunenti errela tif).

composeestdivisibl epar3. Exemple1.3.5.Parexem ple,27estdivisiblepar3c ar2+7= 9estdivis iblepar3;25nÕestpas divisiblepar3car3nedivisepa s2+5= 7. Nouspouvon sprsentnousattaquera ur sultatsuivant.

Proposition2.

1 3 $Qmais 1 3 /$D.

10CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

Dmonstration.Ladm onstrationdececisefaitparlÕabsurde:nousallonssupposerle contrairedece quenousso uhaitonsd montre r(i.e. 1 3 $D)aÞndÕaboutirunecontradiction .

Supposonsdonc,parlÕabsur de,que

1 3 $D.PardÞnitiondecetensemble,celasigniÞequÕil existea$Zetn$Ntelque 1 3 a 10 n Nousallons voirquecetteidentitv anousamener unecontradiction.Pourcela,ilsu"tdÕobserver quecett eidentitpeutsÕ criresouslaforme 10 n =3a.

Ainsi,10

n estunmu ltiple de3(pardÞnition,cf.1.3.1),ce ciestabsurd ecarlasom medeschiffres composant10 n (cenom brenÕestriendÕautre que1suivitdenzros)vaut1qu inÕestpasdivi sib le par3(c f.pr oposition1)

1.4Nombr esrels

VoyonsenÞnunder nierensemble ,plus grandencore:celuidesnombresrels.Intuitivement, ilco ntienttouslesnombresqu enouspouvons renco ntrerdanslaviedetouslesjours.Ilestdonc

composdetouslesenti ers,det outeslesfracti onsmai sausside tousle sautresnombr esquÕiln Õest

pasposs ibledÕexprimersouslaform edÕunefractionoudÕunnombreentier( certainsracinescarr es

parexe mple). DÞnition1.4.1.LÕensembledesnombresrelsRestcomp osdetouslesnombresusuels:

R={...,ff;

2;ff4;

45
7 ;0,234;4372...} Remarque.1.Il estsouv entutiled ereprsentercetense mbledenombregraphiquementlÕaide

dÕunedroit egradue.Danscecas ,ilestalorspossibl edÕassocierunnombre re ltout point

Mdece ttedroitegradue. Cenombreestappela bscissedupointM.

2.Ob servonsgalementquelenombre

alorsnature ldesedemandersi 2$Q. CommenouslÕav onsfaitremar querplustt,lesinclu sionssuivantessontvriÞes

N#Z#D#Q#R

Ile xisteencoredenombr euxensemblesenmat hmati quesmaisilfaudrapatienterencorepourles

tudier.

Pythagoretaientp ersuadsquetouteslongue urspouvanttredes sinerdevaitaussisÕcrire comme

unnom brerationnel(i. e.unefraction a b $Q).Il sfurentbi enennuyfacelÕhy potnusedÕun

2etcommenousallonslevoir

2/$Q.CeciseratraitdansunD.M.

1.5.ENCA DREMENTPARDESNOMBRESDCIMAUX11

Proposition3.

2/$Q. Dmonstration.Cf.D.M. (donndansle chapitredÕarithm tique)

1.5Encad rementpardesnombresdcimaux

IlnÕ estpaspossibled Õcrire

iles talorspra tiquedetrouve runencadrementdecelui- cilÕaidedenomb resdc imaux(quisont plussim plesmanipuler). DÞnition1.5.1.Unenc adrementdcimaldÕunnombrere lxestunei ngalitdela forme d 1 &x&d 2 avecd 1 ,d 2 $D.

Ladi ffrenced

2 ffd 1 correspondlÕamplitudedelÕe ncad rement.

Exemple1.5.1.Iles tvidentq ue1,4<

2<1,5estunencadrementde

2dÕamplitude

1,5ff1,4=0,1=10

"1 virgule. DÞnition1.5.2.Soitx$Retc onsidronsunencadrementdexdÕamplitude10 "n i.e.d 1 &x&d 2 avecd 1 ,d 2 $Detd 2 ffd 1 =10 "n pourn$N. LÕundeces deuxno mbresestp lusprochede xquelÕaut re,ilsÕagitdelÕarrond i10 "n dex.

Exemple1.5.2.

Sin=3,nousavons1,414&

2vaut1,414.

12CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

1.6Sous -ensemblesdeR

Iles tparfois utiledÕtudierdessous -ensemblesdeR,cÕestdireunecollectiondenombrerels.

1.6.1Lesint ervalles

Lorsquenoustudieron sdesfonctions, nousauronsconsidrerdesso us-ensem blesparticuliers deRappelsintervalles.IlpeutsÕagirdesegment,dedemi-droiteouencoredeladroitedesr els

Dbutonsparlessegment s:

Voyonsprsentl eca sdesdemi-droites:

Remarque.1.Il fautpren dregardedansqu elsenslessymbol es[et] sontplacs.Silecrochet

esttou rnversÇlÕinterieurÈ, celasigniÞe qu elÕextrmitdusegment(oudelademi-droite)

faitpartid elÕensembleenq uestio n;aucontraire,silecrochetestto urnversÇ lÕextrieurÈ,

celasign iÞequelÕextrmitdusegm ent(oudela demi-droite)est exclue.

2.At tentionaufaitsuivant:lessym bole s±'nes ontpasdesnombres relse t,auly ce,le

crochetsetrouvant ctde cesymboleesttoujoursouvert (pourexclu recettevaleur).

1.7.ENCA DREMENTETVALEURABSOLUE13

Notonsaupassag equeR=]ff';+'[.Pa rlasuite,ils era importantdesavo irpa sserdÕune notationlÕautre.

1.7Enca drementetvaleurabsolue

Lava leurabsolueestun enouvellefonctionquiperm etdemes ureladi stances entredeuxpoints, elleestgal ementuti lepourreprsentercertain sintervalles. DÞnition1.7.1.Lav aleurabsoluedÕunen ombrerelxestdÞni ecommesuit: |x|= ff xsix(0 ffxsox&0

Voyonssurquelque sexemple s.

Exemple1.7.1.1.|7|=7car7(0alorsque|ff2,3|=ff(ff2,,3)=2 ,3carff2,3&0.

2.|1ff

2|=

2ff1car1<

2)1,414...donc1ff

2<0,pou rcalculerl avaleurabsolue

nousdevons prendrelÕoppos de1ff 2.

3.|1+ff|=1+ffcar1+ff>0.

Voiciquelques propritssatisfaitespa rlavaleurabsolue.

Proposition4.Danscequ isuit a,b$R

1.|a|(0,|a|=|ffa|et|a|

2 =a 2

2.|affb|=|bffa|et|ab|=|a|%|b|

3.(I ngalittriangulaire)|affb|&|a|+|b|

LadÞ nitiondedistanceci-dessousen termed evaleurabsolue,perm etdÕinterprtercert aines

desasse rtionsdelapropositionprcdente s.L adista nceentredeuxpo intsaetbestdÞni ecomme

suit. DÞnition1.7.2.Soienta,b$Ralorsladistanc ed(a;b)entreaetbestdÞni epar d(a;b)=|affb| Remarque.Enpart iculier,|a|=d(0;a).De plus,l efaitque|affb|=|bffa|peutsÕinte rprter gomtriquementendisantqueladistanceentre aetbestlamm equecell eentrebeta. Pourquecel asoitmoin sabstrait,n ousallonsvoi rquÕilestpossibledereliercette notion de distanceaveclesinte rvalles.Nousde vronsrso udredesquationsetinquations impliqua ntla valeurabsolue. Exemple1.7.2.Rsolvons|xff3|=2.CelasigniÞequenouscherchonslÕensembledesnombres xsetr ouvantunedistancede2dup oin t3.Unpeti tdessinpermetd etrouv erquedanscecas x=5oux=ff1. Remarque.Attention,lÕquation|x+2|=4peutsÕcriresouslaforme|xff(ff2)|=4.Ilfautdonc trouverlÕensembled esnombressetrouvantunedistance de4dupointff2.

14CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES

LorsquenousmodiÞon slesymbole=d elÕquationprcdentepar<,&,(ou>,nousdes intervalles(ouruniondÕinterva lles)aulieud edeuxnombres.

Voyonssurdeuxex emplesceq uÕilseprodu it.

Exemple1.7.3.1.R soudre|xff2|<6revientdterminerlÕensembledesxsetr ouvantune distanceaupl usde6du poi nt 2.Undessinpermet demontr erquelÕ ensembledessolutions estlÕin tervalle]4;8[.

2.R soudre|xff1|(3revientdterminerlÕensembledesxsetr ouvantunedistanceau

moinsde3 dupo int 1.IlsÕagitdoncdelÕ ensemble ]ff';ff2]*[4;+'[ Remarque.Ile stimporta ntdÕtrecapabledefairelad marcheinverse:exprimerunintervalle(ou

uner uniondÕintervalle s)lÕaidedelavaleurabsolue.Pource la,ilfautdtermine ralece ntrede

lÕintervalleetlavaleurder.

1.le centred elÕintervalle[ff3;7]corresp ondlamoyennedesex trm itsdu segment.CÕest--

direa= "3+7 2 =4.Lavaleurderestobt enueendterminantladiffrenceentrele centrede lÕintervalleetlÕunedesesext rmits .Parexem ple,r=7ff4=3.Enconclusion, x$[ff3;7]+,|xff4|&3

2.Dan slemmees prit,lÕ intervalle]ff';ff3]*[7;+'[peutsÕexprimerlÕaidedÕunevaleur

absolue.Pourcela,ondte rminera= "3+7 2 =4etr=7ff4=3.Donc x$]ff';ff3]*[7;+'[+,|xff4|(3 Proposition5.Soienta$Retr>0,nousavonslesrelationssuivantes

1.lÕe nsembledesx$Rtelsque|xffa| ]affr;a+r[.
2.l Õensembledesx$Rtelsque|xffa|(rdsignelÕensemble desrels]ff',affr[*]a+r;+'[.

1.8Poura llerplusl oin
Certainesquestionslies lathoriedesensemblessonte xtrmementcomplexes.Dansl eur qutedeforma lisme, lesmathmaticiensontcherchtrou verun elistedÕa xiomepermettant
dec onstruiretoutelathoriemathm atiques(ensem ble,fonctions,quations,gom trie,etc)
partirdecettelist een utilisantuniquemen tdesraisonnementslogico -dductifs.Enfaisantainsi,
ilv oulaitaussisÕassur erquelesmathma tiquestaientbienqu elquechosedecohrents. Eneffet,

puisquetoutesles propritsquevousa vezpurencon tresdansvotres colaritserv entdmontrer

quedÕau tresrsultatssontvrais,i lseraitbienembtantquel esocle dÕunteldiÞce(lesax iomes)

1.9.LIS TEDÕEXERCICESPOTENTI ELS15

commesuit:p artirdetoute lis ted Õaxiomeraisonnabl e(permettantdefairedelÕarit hmtiq ue,

dela gomt rie,...)ilestpossibledetrouverun noncmathmatiqueindcidable.Autrement
sav racit. paradoxedeRusselquiat dc ouvertparlemathma ticie nponymeen1901.Ilp roposel e contextesuivant:supposonsquedansunevill e,lebarb iernerasequel eshommesquineserasent pasmme setpo salaquestions uivant e
Çquidoit raserlebarbier?È
Unpe titraisonneme ntparlÕabsurde,montrequelebarbiernepeuxexistersansquoinous aurionsunecontrad iction.
1.9Lis tedÕexercices potentiels
quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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