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Matrices et d´eterminants
1 Matrices
D´efinition 1.1.Une matrice r´eelle (ou complexe)M= (mi,j) (m,n)`amlignes etn colonnes est un tableau `amlignes etncolonnes de r´eels (ou de complexes). Le coefficient situ´e sur la colonneiet la lignejest not´emi,j. La somme de deux matricesP= (pi,j)etQ= (qi,j)mlignes etncolonnes est la matrice (pi,j+qi,j). Siλest un scalaire la matriceλPest la matrice(λpi,j) L"ensemble des matricesmlignes etncolonnes `a coefficients r´eels (resp. complexes) est not´eMatm,n(R)(resp.Matm,n(C)). Sim=n(on parle de matrices carr´ees) on note simplementMatm(R)(resp.Matm(C)) Proposition 1.2.L"ensembleMatm,n(R)(resp.Matm,n(C)) est un espace vectoriel r´eel (resp. complexe) de dimensionmndont une base est donn´ee par les matricesEr,s,1≤ r≤m,1≤s≤ndont tous les coefficients sont nuls sauf celui sur ligneret la colonne s. Les matrices suivantes (n,n), dites matrices ´el´ementaires seront importantes dans la suite. •(matrice unit´e)Indont tous les coefficients sur la diagonale valent 1, tous les autres0 (la diagonale est l"ensemble des points du tableau de coordonn´ees (r,r),r≤n
•(matrices de transposition)Sr,s=In-Er,r-Es,s+Er,s+Es,r, avecr?=s, •(matrices de transvection)Tr,s(λ) =In+λEr,s, avecr?=s, •(matrices de dIlatation)Dr(μ) =In+ (μ-1)Er,r. Soit I n=( (((((1 1 1 1)tous les les ´el´ements diagonaux sont ´egaux `a 1, tous les autres termes sont nuls celui sauf
celui sur la ligneret la colonnesqui est ´egal `aλ. S r,s(λ) =( ((((((((((1 0 1 1 0 1) 1 tous les les ´el´ements diagonaux sont ´egaux `a 1, sauf ceux sur la lineret la colonneret sur la lineset la colonnes´egaux `a 0. Tous les autres sont ´egaux `a 0 sauf ceux sur la line ret la colonneset sur la lineret la colonnes´egaux `a 1. T r,s(λ) =( ((((((1 1)tous les les ´el´ements diagonaux sont ´egaux `a 1, tous les autres termes sont nuls celui sauf
celui sur la ligneret la colonnesqui est ´egal `aλ. D r(μ) =( (((((((((1 1 1 1) tous les les ´el´ements diagonaux sont ´egaux `a 1 sauf ceux sur la ligneret la lignerqui est ´egal `aμ.2 Produit de matrices
D´efinition 2.1.SoientA= (ai,j)une matrice(m,n)etB= (bi,j)une matrice(n,p). Le produitABest une matrice(m,p)donn´ee par p i,j=k=n? k=1a i,kbk,j Pour toute matriceA, on noteLisa i-`eme ligne, etCjsa j-`eme colonne.SoitAune matrice (n,n), on aAIn=InA=A.
D´efinition 2.2.Une matrice est inversible si Il existeB((n,n)telle queAB=BA=In.Soit la matrice
?a b c d? siad-bc?= 0 son inverse est1ad-bc?
d-b -c a? L"inverse n"existe que si l"hypoth`esead-bc?= 0 est satisfaite. •La matriceSr,sAest la matrice obtenue `a partir deAen ´echangeant les lignesret s. La matriceASr,sest la matrice obtenue `a partir deAen ´echangeant les colonnes rets. 2 •La matriceTr,s(λ)Aest la matrice obtenue `a partir deAen rempla¸cant la lignerpar L r+λLs. La matriceATr,s(λ) est la matrice obtenue `a partir deAen rempla¸cant la colonneCrparCr+λCs. •La matriceDr(μ)Aest la matrice obtenue `a partir deAen multipliant la ligner parμ. La matriceADr(μ) est la matrice obtenue `a partir deAen multipliant la colonnerparμ.Les op´erations d´ecrites ci-dessus sont appel´ees op´erations ´el´ementaires sur la
matriceA.