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L1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES) - univ-toulousefr

UNIVERSITE PAUL SABATIER2008/2009

Y j YL1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES).Y j Y

1. Déterminant, définition, propriètés.

Ledéterminantd"une matrice carrée à deux lignes et colonnesA=?a11a12 a

21a22?

est par définition le nombre réel (ou complexe) det(A) =????a 11a12 a

21a22????

=a11a22-a12a21.

Pour une matrice3×3ce sera :

det(A) =?a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a33?

= (-1)1+1a11????a 22a23
a

32a33????

+ (-1)1+2a12????a 21a23
a

31a33????

+ (-1)1+3a13????a 21a22
a

31a32????

=a11????a 22a23
a

32a33????

-a12????a 21a23
a

31a33????

+a13????a 21a22
a

31a32????

Pour une matrice carréen×n, la procèdure est identique : son déterminant va s"exprimer comme une combinaison linéaire dendéterminants d"ordren-1suivant la même recette que pour un déterminant d"ordre3: det(A) =????a

11a12... a1i... a1n

a n1an2... ani... ann????

= (-1)1+1a11det(A11) + (-1)1+2a12det(A12) +···+ (-1)1+ia1idet(A1i) +···+ (-1)1+na1ndet(A1n).

oùA1iest la matrice(n-1)×(n-1)déduite deAlorsque l"on supprime la première ligne et lai-ième colonne (autrement dit la ligne et la colonne où se trouvea1i).

Exercice :Vérifiez que cette définition coïncide bien avec celle donnéepour une matrice3×3.

Exemples :

•Ex.1-F3 :det(D) =?5 4 3 20 0 1 01 2 3 01 0 2 1? = 50 1 02 3 00 2 1 -40 1 01 3 01 2 1 + 30 0 01 2 01 0 1 -20 0 11 2 31 0 2 ?a0 0 ?b0 ? ?c =a???b0 ?c??? + 0???? 0?c??? + 0????b =abc. ?a0 0 0 ?b0 0 ? ?c0 ? ? ?d? =ab0 0 ?c0 ? ?d =abcd. 1

2•Et plus généralement comme???a

10...0

?a2...... .......0 ?...?an??? =a1???a

20...0

.......0 ?...?an??? =a1a2···=anpar une

récurrence élémentaire. Ainsi, le déterminant d"une matrice triangulaire supérieure (ie des zéros

au dessus de la diagonale) est égal au produit des éléments diagonaux. •Un cas particulier important est celui de la matrice identité :det(In) =???1 0...0 0 1 .......0

0...0 1???

= 1

Propriétés du déterminant :Vu ce qui précède, pour calculer un déterminant d"ordre 4, il

faut calculer 4 déterminants d"ordre 3, soit 12 déterminants d"ordre 2 et de plus respecter des

régles de signe : donc d"énormes chances de faire une erreur de calcul. Comme nous allons le voir

maintenant, l"application déterminant jouit d"un certainnombre de propriétés remarquables qui

vont permettre de contourner ces problèmes. Dans tout ce quisuit, siA?Mn(C)lorsque l"on écriradet(A) = det(C1|C2|...|Cn)il faut comprendre queCiest lai-ième colonne de la matrice A. •1.L"application déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne de la matrice.

Autrement dit :

det(C1|C2|...,|Ci+λC?i|...|Cn) = det(C1|C2|...,|Ci|...|Cn) +λdet(C1|C2|...,|C?i|...|Cn).

Par exemple

?0 + 25 1 02 + 50 3 00 + 75 2 1? =?0 1 02 3 00 2 1? + 25?1 1 02 3 03 2 1? •2.Si la matrice possède deux colonnes proportionelles son déterminant est nul.

Par exemple

?25 1 7523 3 6912 2 36? = 0carC3= 3C1, vérifiez le par le calcul. •3.Le déterminant d"une matrice reste inchangé si l"on ajoute à une colonne de la ma- trice une combinaison linéaire desautrescolonnes. En particulier, si les colonnes forment une famille libre dansCnle déterminant sera non nul.

Idée de la preuve sur un cas particulier :on a pour une matrice3×3:det(C1+2C2-7C3|C2|C3) = det(C1|C2|C3)+

2det(C2|C2|C3)-7det(C3|C2|C3)d"aprés la propriété 1 puisdet(C1+2C2-7C3|C2|C3) = det(C1|C2|C3)+2det(C2|C2|C3)-

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