[PDF] corpus sur la guerre
[PDF] les articles partitifs et contractés
[PDF] les articles partitifs exercices
[PDF] fromage blanc 4 lettres
[PDF] article réfugiés encyclopédie texte
[PDF] edit de nantes
[PDF] new scientist articles
[PDF] article scientifique gratuit biologie
[PDF] télécharger article scientifique gratuit
[PDF] article scientifique en français
[PDF] exemple article scientifique français
[PDF] article scientifique en ligne
[PDF] article scientifique pdf
[PDF] article scientifique définition
![L1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES) - univ-toulousefr L1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES) - univ-toulousefr](https://pdfprof.com/Listes/17/14099-172009L1coursdeterminant.pdf.pdf.jpg)
UNIVERSITE PAUL SABATIER2008/2009
Y j YL1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES).Y j Y1. Déterminant, définition, propriètés.
Ledéterminantd"une matrice carrée à deux lignes et colonnesA=?a11a12 a21a22?
est par définition le nombre réel (ou complexe) det(A) =????a 11a12 a21a22????
=a11a22-a12a21.Pour une matrice3×3ce sera :
det(A) =?a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33?
= (-1)1+1a11????a 22a23a
32a33????
+ (-1)1+2a12????a 21a23a
31a33????
+ (-1)1+3a13????a 21a22a
31a32????
=a11????a 22a23a
32a33????
-a12????a 21a23a
31a33????
+a13????a 21a22a
31a32????
Pour une matrice carréen×n, la procèdure est identique : son déterminant va s"exprimer comme une combinaison linéaire dendéterminants d"ordren-1suivant la même recette que pour un déterminant d"ordre3: det(A) =????a11a12... a1i... a1n
a n1an2... ani... ann????= (-1)1+1a11det(A11) + (-1)1+2a12det(A12) +···+ (-1)1+ia1idet(A1i) +···+ (-1)1+na1ndet(A1n).
oùA1iest la matrice(n-1)×(n-1)déduite deAlorsque l"on supprime la première ligne et lai-ième colonne (autrement dit la ligne et la colonne où se trouvea1i).Exercice :Vérifiez que cette définition coïncide bien avec celle donnéepour une matrice3×3.
Exemples :
Ex.1-F3 :det(D) =?5 4 3 20 0 1 01 2 3 01 0 2 1? = 50 1 02 3 00 2 1 -40 1 01 3 01 2 1 + 30 0 01 2 01 0 1 -20 0 11 2 31 0 2 ?a0 0 ?b0 ? ?c =a???b0 ?c??? + 0???? 0?c??? + 0????b =abc. ?a0 0 0 ?b0 0 ? ?c0 ? ? ?d? =ab0 0 ?c0 ? ?d =abcd. 12Et plus généralement comme???a
10...0
?a2...... .......0 ?...?an??? =a1???a20...0
.......0 ?...?an??? =a1a2···=anpar unerécurrence élémentaire. Ainsi, le déterminant d"une matrice triangulaire supérieure (ie des zéros
au dessus de la diagonale) est égal au produit des éléments diagonaux. Un cas particulier important est celui de la matrice identité :det(In) =???1 0...0 0 1 .......00...0 1???
= 1Propriétés du déterminant :Vu ce qui précède, pour calculer un déterminant d"ordre 4, il
faut calculer 4 déterminants d"ordre 3, soit 12 déterminants d"ordre 2 et de plus respecter des
régles de signe : donc d"énormes chances de faire une erreur de calcul. Comme nous allons le voir
maintenant, l"application déterminant jouit d"un certainnombre de propriétés remarquables qui
vont permettre de contourner ces problèmes. Dans tout ce quisuit, siA?Mn(C)lorsque l"on écriradet(A) = det(C1|C2|...|Cn)il faut comprendre queCiest lai-ième colonne de la matrice A. 1.L"application déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne de la matrice.Autrement dit :
det(C1|C2|...,|Ci+λC?i|...|Cn) = det(C1|C2|...,|Ci|...|Cn) +λdet(C1|C2|...,|C?i|...|Cn).Par exemple
?0 + 25 1 02 + 50 3 00 + 75 2 1? =?0 1 02 3 00 2 1? + 25?1 1 02 3 03 2 1? 2.Si la matrice possède deux colonnes proportionelles son déterminant est nul.Par exemple
?25 1 7523 3 6912 2 36? = 0carC3= 3C1, vérifiez le par le calcul. 3.Le déterminant d"une matrice reste inchangé si l"on ajoute à une colonne de la ma- trice une combinaison linéaire desautrescolonnes. En particulier, si les colonnes forment une famille libre dansCnle déterminant sera non nul.Idée de la preuve sur un cas particulier :on a pour une matrice3×3:det(C1+2C2-7C3|C2|C3) = det(C1|C2|C3)+