ÉTUDE DE FONCTIONS

I.RappelsSoitfune fonction dérivable sur un intervalleIetA(a,f(a)) un point de (Cf). Si la courbe (Cf) traverse sa tangente au pointAalorsAest un point d"inflexion de (Cf).

THÉORÈME(condition suffisante)

Soitfune fonction dérivable sur un intervalle ouvertI. Si au pointadeI f0(x) s"annule en changeantde signe alorsAest un pointd"inflexion de (Cf). "La réciproque de ce théorème est fausse.

II.Plan d"étude d"une fonction-D onnerl ed omainedéfin ition,de cont inuitéet, si possible ,de dér ivabilité.

É tudierlaparitéetlapériodicité(poursimplifierl"étude:réduireledomained"étude et appliquer les propriétés éventuelles de la courbe représentative.) C alculerle sl imitesaux bor nesdu domaine d "étude;dét erminerle sbr anchesinfi- nies et les asymptotes éventuelles. C alculerde la dér ivée,après av oirdéter minél edomain ede dér ivabilité.

D resserle t ableaude v ariationde la f onction

T racéd el ac ourber eprésentative.

P réciser,si p ossible,les p ointspar ticuliers(infl exion,an guleux,.. .)et les t angentes en ces points.

REMARQUE: L"ordre n"est pas obligatoire

Exemples d"étude de fonctions

II.1f(x)AEx2Å2x¡3

*DOMAINE:DfAER. *PARITÉ:fn"est ni paire ni impaire. Ainsi son étude se fera surR *LIMITES AUX BORNES: limx!¡1f(x)AEÅ1et limx!Å1f(x)AEÅ1. On en déduit ainsi que la courbe présente deux branches infinies. xdeRon a :f0(x)AE2xÅ2. Pour étudier le signe de la dérivée il faut chercher la valeur qui l"annule puis dresser un tableau de signe. f

0(x)AE0()2xÅ2AE0

)xAE¡1x f

0(x)¡1¡1Å1

¡0Å

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Le tableau ci-dessus nous permet de déduire les variations defsuivantes :

Sur l"intervalle

]¡1;¡1]f0(x)É0 doncfest décroissante

Sur l"intervalle

[¡1;Å1[f0(x)Ê0 doncfest croissante De plusf(¡1)AE¡4. Ainsi nous aurons, par suite le tableau de variations suivant :x f

0(x)f¡1¡1Å1

¡0Å

Å1Å1

-4-4Å1Å1 Ci-dessous on a la courbe représentative (Cf) def.www.sunumaths.com2M. DIAGNE

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précision. On remarque aussi que la courbe admet pour centre de symétrie la droite d"équationxAE ¡1 (la droite en rouge). C elaest v isibleen obser vantl ata bledes v a- leurs ou même la courbe. II.2 g(x)AEx3Å3x2Å1 •DOMAINE: D gAER•PARITÉ: gn"est ni paire ni impaire. Ainsi son étude se fera surR •LIMITES AUX BORNES: lim x!¡1g(x)AE¡1lim x!Å1g(x)AEÅ1. On en déduit ainsi que la courbe présente deux branches infinies. •DÉRIVÉE:gestunefonctiondérivableentantquefonctionpolynôme, pourtoutréel xdeRon a : g

0(x)AE3x2Å6x. Il faut, comme dans l"exemple précédent étudier le signe de la dérivée et en déduire

les variations de la fonctiong. Le tableau de variations degest donné ci-dessous.x g

0(x)g¡1¡20Å1

Å0¡0Å

¡1¡155

11Å1Å1

Ci-dessous on a la courbe représentative (Cg) deg.www.sunumaths.com3M. DIAGNE

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II.3 h(x)AE2xÅ3x¡1 -DOMAINE: D hAER\{1}AE]¡1;1[[]1;Å1[-PARITÉ:hn"est ni paire ni impaire. Ainsi son étude se fera surR -LIMITES AUX BORNES: Nous allons calculer 4 limites car le domaine présente 4 bornes toutes ouvertes. limx!¡1h(x)AE2 lim x!Å1h(x)AE2 lim x!1¡h(x)AE¡1 lim x!1Åh(x)AEÅ1www.sunumaths.com4M. DIAGNE

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La fonctionhadmet deux asymptotes : une asymptote verticale (la droite d"équation x=1 )et u nea symptotehor izontale( la droite d"équation y=2 -DÉRIVÉE:hest une fonction dérivable sur son en tant que fonction rationnelle et pour tout réelx6AE0 on a : h

0(x)AE¡5(x¡1)2On remarque aisément que cette dérivée est négative donc on en déduit que la fonc-

tionhest strictement décroissante sur son domaine. On en déduit le tableau de variation suivant :x h

0(x)h¡11Å1

¡1Å1

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II.4 S oitfunefonctiondéfiniesur]¡2;Å1[par:f(x)AEx2¡6x¡72xÅ4(Cf)désignelacourbe représentative defdans le repère (O,¡!i,¡!j).www.sunumaths.com5M. DIAGNE

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Vér ifierqu epour tou txÈ¡2,f(x)AEx2

¡4Å92.(xÅ2)

2. C alculerla dér ivéed efet vérifier quef0(x)AE(xÅ5).(x¡1)2(xÅ2)2 3. É tudierle s ensde v ariationsd efet dresser le tableau de variation (indiquer les ex- trema def) 4. O nn oteTala tangente à (Cf) au pointAd"abscisse 1 etTbla tangente à (Cf) au point Bd"abscisse 7. Déterminer les équations deTaetTb 5.

T racer( Cf)et ses tangentes aux pointsAetB.

RÉSOLUTION

P osonsg(x)AEx2

¡4Å92.(xÅ2). Pour toutxÈ¡2on a :

d"où g(x)AEx2¡6x¡72xÅ4. On reconnaitf(x). Ainsi f(x)AEx2 ¡4Å92.(xÅ2)2.fest définie, continue et dérivable surIAE]¡2;Å1[et8x2Ion a : f

0(x)AE³x2

¡4´

0Åµ92(xÅ2)

0 f

0(x)AEµ12

¡92(xÅ2)2

Ainsi8x2Ion a :

0(x)AE(x¡1)(xÅ5)2(xÅ2)2Par conséquentf0(x) est donc du signe du trinôme (x¡1)(xÅ5) donc négatif entre

les racines et positif à l"extérieur des racines. On en déduit les variation defsurI

3.fest décroissante sur]¡2;1[et croissante sur]1;Å1[.fadmet 1 comme seul ex-

tremum sur ]¡2;Å1[carf0(1)AE0 et f(1)AE1¡6¡72Å4AE¡2www.sunumaths.com6M. DIAGNE

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LIMITES:

8xÈ¡2,f(x)AEx2

¡4Å92.(xÅ2).

Donc limx!2Åf(x)AEÅ1et limx!Å1f(x)AEÅ1

Tableau de variationx

0(x)f¡21Å1

¡0Å

Å1

¡2¡2Å1Å1

4. la tan genteà ( Cf) au pointAd"abscisse 1 a pour équation : T a:yAEf0(1)(x¡1)Åf(1) soityAE¡2 carf0(1)AE0 la tangente à (Cf) au pointBd"abscisse 7 a pour équation : T b:yAEf0(7(x¡7)Åf(7)quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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