FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

[PDF] continuité d'une fonction ? deux variables exercic

[PDF] exercice dérivée partielle corrigé

[PDF] multiple et diviseur 4eme controle

[PDF] detection de contours traitement d'image

[PDF] filtre moyenneur traitement d'image

[PDF] filtre gaussien matlab traitement d'image

[PDF] moteur de recherche internet

[PDF] moteur de recherche francais

[PDF] francis ponge le parti pris des choses pdf

[PDF] les moteurs de recherche les plus utilisés

[PDF] francis ponge mouvement

[PDF] moteur de recherche définition

[PDF] francis ponge biographie

[PDF] moteurs de recherche gratuits

[PDF] meilleur moteur de recherche

L2 MIEE 2014-2015V ARUni versitede Rennes 1

FONCTIONS DE PLUSIEURS

VARIABLES

G. FICHOU

L2 MIEE 2014-2015V ARUni versitede Rennes 1

Table des matieres

1 Introduction

2 L'espaceRd6

2.1 Produit scalaire, norme et distance dansRd. . . . . . . . . . . . . . . . .6

2.2 Produit vectoriel dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

2.3 Coordonnees polaires, cylindriques, spheriques

2.4 Topologie deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

2.5 Suites dansRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

2.6 Ensembles compacts

3 Fonctions de plusieurs variables

3.1 Denitions

3.2 Representation geometrique

3.3 Fonctions continues deRddansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

3.4 Etude de certaines surfaces quadratiques

3.5 Fonctions continues sur un ensemble compact

4 Courbes parametrees

4.1 Introduction : courbes dans le plan

4.1.1 Denition, exemples

4.1.2 Longueur de courbes

4.1.3 La courbe de Peano, la courbe de Koch

4.2 Courbes parametrees

4.2.1 Denitions

4.2.2 Quelques exemples

5 Derivees des fonctions de plusieurs variables

5.1 Derivees partielles des fonctions a valeurs reelles

5.1.1 Rappels

5.1.2 Derivee partielle

29
2

L2 MIEE 2014-2015V ARUni versitede Rennes 1

5.1.3 Interpretation geometrique

5.1.4 Gradient

5.1.5 Derivees partielles et continuite

5.1.6 Derivation composee

5.1.7 Accroissements nis

5.1.8 Derivee selon un vecteur

5.2 La dierentielle d'une fonction a valeurs reelles

5.2.1 Regle de dierentiation

5.2.2 Remarques

5.2.3 Derivees partielles successives

5.3 La dierentielle d'une fonction a valeurs vectorielles

5.3.1 Proprietes de la dierentielle

5.3.2 Dierentielles des fonctions composees

6 Sous-ensembles deRnet fonctions38

6.1 Nappes parametrees

6.2 Tangentes aux courbes (surfaces, hypersurfaces) de niveau

6.3 Fonctions implicitesInversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3.1 Inversion locale

6.3.2 Fonctions implicites : casf(x; y) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3.3 Fonctions implicites : casf(x1::: xn) = 0. . . . . . . . . . . . . . 41

7 Optimisation libre et sous contraintes

7.1 En dimension 1

7.2 Extrema locaux def:R2!R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

7.3 Formule de Taylor

7.4 Extrema defsur un compactKR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

7.5 Extrema lies (multiplicateur de Lagrange)

7.5.1 Une seule contrainte

7.5.2 Plusieurs contraintes

8 Integration des fonctions deRndansR47

L2 MIEE 2014-2015V ARUni versitede Rennes 1

8.1 Integration des fonctions d'une variable

8.2 Volume de parties bornees deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

8.3 Integration des fonctions de deux variables

8.4 Calcul des integrales doubles

8.5 Integration sur les regions bornees deR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

8.6 Integrale double et changement de variables

8.7 Integrales triples

8.8 Quelques calculs classiques

8.8.1 L'aire d'un disque

8.8.2 Le volume de la boule

8.8.3 Solides de revolution

8.8.4 Le volume d'une pyramide

55
4

L2 MIEE 2014-2015V ARUni versitede Rennes 1

1 Introduction

Le cours porte sur les fonctions de plusieurs variables. Le terme n'est pas tres precis. Prenons quelques exemples. En physique : le temps la distance la charge... En economie : le prix en fonction du capital et du travail. On peut imaginer des fonctions dont les variables ou les valeurs sont discretes ou qualitatives. Dans le cours nous nous interesserons au cas des fonctions denies sur des parties deRda valeurs dansRd. 5

L2 MIEE 2014-2015V ARUni versitede Rennes 1

2 L'espaceRd

2.1 Produit scalaire, norme et distance dansRd

Denition

2.1. Six= (x1:::xd)ety= (y1:::yd)sont deux vecteurs deRd, on denit

leurproduit scalairepar : hx;yi=x1y1++xdyd

Denition

2.2. On appellenormedex(ou longueur)kxk=hx;xi1=2et ladistance

entre deux vecteursd(x; y) =kxyk.

Proposition

2.3. On a les proprietes suivantes :

(1)hx;yi=hy;xi (2)hx;y+zi=hx;yi+hx;zi (3)hx;yi=hx;yi (4)hx;xi>0avechx;xi= 0si et seulement six= 0

Theoreme

2.4. Le produit scalaire verie l'inegalite de Cauchy-Schwarzhx;yi26

kxk2kyk2avec egalite si et seulement sixetysont colineaires. DemonstrationSoientxetydeux vecteurs etun nombre reel. Le nombrehx+y;hx+yiest positif ou nul. On peut developper ce produit scalaire en appliquant les proprietes de linearite.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES - univ-rennes1fr