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CHAPITRE3
Etudedesextr emad'unef onction
1.Extr ema:Rappelssurlesfonctio nsd'une variable
Danscettes ectiononveutg´en ´eraliser`aplusieursvariable ladiscuss ionsuivante concernantlesfonctionsd'unevariable: Soitfunefo nctiond´efinitsuruninterv alleIdeR;on d´esire connaˆıtrelespoints xdeIo`uf(x)pre ndunevaleurmaxima leou minimale(onventd´ eterminerles extremumsdef).Pourc ela -Oncommenc eparcalculerlesvaleur sdefauxextr ´emit´esdeI,f(a),f(b)au moinsquandc esvaleursso ntd´efinies. -on´etudie alorsf`al'int´e rieurdeI:dans l'interva lle"ouvert"]a,b[.
Onsuppos equefest2foisd´ eriv able.
Proposition3.1.Sifadmetunextr emumaup ointxdans]a,b[alors f (x)=0. Cettepropositionno usam`ene`atrouverlessolutionsdel' ´equatio n f (x)=0. Lessolutions sontappel´espoint critiquesoustationnaires.On regar dealorslad´eriv´ee secondeenuntelpoin t
Th´eor`eme3.1.Soitx?]a,b[telquef
(x)=0alors,si -sif (x)<0,ilexiste uninterval leouvert I x =]a x ,b x [contenantxtelquef restreinte`aI x prendsavaleurmaximale enx. -sif (x)>0,ilexiste uninterval leouvert I x =]a x ,b x [contenantxtelquef restreinte`aI x prendsavaleurminimaleenx. -Sif (x)=0plusieurschosessontpossible. Entout cas,on ditquefaunp oint d'inflexionenx. Danslesdeuxpre mierscas onditque fadmetunextr emum localenx.Ev idement lesextr emumslocauxsontdescandidats`a ˆetredesextr emumsglobaux(surI).A prioripourlespoin td'inflextionf (x)=0 onne peut riendiree tune´ etudeplus approfondieestn´ec´essa ire: Exemple1.0.1.lesfonct ionsfsuivantesadmettentunpointd'inflex ionenx=0 -f(x)=x 4 :minimum en0. -f(x)=-x 4 :max imumen0 -f(x)=x 3 niminimum nimaximum( pasm ˆemelocal),feststrict ementcrois- sante. 21
223.ET UDEDESEX TREMAD'UNEFON CTION
2.Casde sfonctionsde deuxvari ables
Onvag´ en´er aliserladiscussionpr´ec´edenteauxfonction`ade uxva riables.Onse donnefd´efiniesurundomaineDdeR 2 etond´ esired ´eterminerles?x=(x,y)o`u f(?x)pre nddesvaleurse xtrˆeme s.Onsupposequefestdeuxfois d´eriva ble.Pourcela, ondoitco mmencerpa rdonnerl'analoguedesextr´emit ´esdeI. D´efinition3.1.Ond´ efinitl'int´erieurdeD,D commel'ensembledes?xdansDtels qu'ilexiste unebouleB(?x, r)derayon >0enti`erementcontenuedansD.Ond ´efinit lebor ddeD,∂Dcomme´etantlec ompl´ementairedeD (lespoints deDquinesont pasdansl'int´er ieur). Pourd´eter minerlesextremumsdefsurD,on proc`ede ainsi -On´etudie lesextremumsdefsurlebor d∂D:leb ord esteng´en´er allar´eunion d'uneco urbeetdepointisol´ es.L'´ etude deflelong duborde stplus simple. -Onestr amen´e`a´e tudierlesextremumsdansl'int´ erieurD
Proposition3.2.Soit?x
0 =(x 0 ,y 0 )unpoint del'int´erieurde D.Si?x 0 estunextr e- mumdefsurD alors ?f(?x 0 f x (?x 0 f y (?x 0 ))=(0 ,0).
D´efinition3.2.Unpoint?x
0 telque ?f(?x 0quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
Fonctions de plusieurs variables - e Math