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27 janvier 2020
Feuille d"exercices "Dérivées Partielles»Exercice 1 : Fonctions exponentielles
On considère la fonctionf:R2!Rdéfinie par(x;y)7!x2+y2x pour(x;y)6= (0;0)etf(0;0) = 1. Pour y0fixé, calculer la limite dex7!f(x;y0)en0. Pour x0fixé, calculer la limite dey7!f(x0;y)en0. Calculer les déri véespartielles de fen tout point deR2n(0;0).Pour y0fixé,
lim x!0+x2+y20x
0siy0= 0
+1siy06= 0Pour x0fixé et différent de0
lim y!0+x20+y2x
0=x0Les déri véespartielles sont données en déri vantsles fonctions partielles, comme vu en cours.
On a donc
@f@x (x;y) =d x2+y2x dx = 2xy2x 2@f@y (x;y) =d x2+y2x dy =2yxExercice 2 : Composées
Soitf:R3!Rune fonction de classeC1(c"est à dire dont toutes les dérivées partielles existent et
sont continues). On considère la fonctiong:R3!Rdéfinie par g(x;y;z) =f(xy;yz;zx)Montrer que@g@x
+@g@y +@g@z = 0On va calculer les dérivées partielles degà partiel des différentielles totales en identifiant les termes.
On poseu= (xy),v=yzetw=zx. On alors
dg=df=@f@u du+@f@v dv+@f@w dw @f@u @u@x dx+@u@y dy+@u@z dz @f@v @v@x dx+@v@y dy+@v@z dz @f@w @w@x dx+@w@y dy+@u@w dz @f@u [dxdy] +@f@v [dydz] +@f@w [dzdx] @f@u @f@w dx+@f@v @f@u dy+@f@w @f@v dz 1Par identification
@g@x =@f@u @f@w @g@y =@f@v @f@w @g@z =@f@w @f@u d"où on déduit le résultat.Exercice 3 :Dérivée d"ordre 2
Calculer les dérivées partielles aux ordres 1 et 2 de la fonctionfdéfinie surR2n f(0;0)gpar f(x;y) =x3y3x 2+y2Exercice 4 :Dérivée d"ordre 2
Soitfune fonction de classeC2(c"est à dire dont les dérivées secondes existent et sont continues)
telle que pour tout(x;y)2R2, on af(x;y) =f(y;x).Donner un e xemplede tel lefonction
Montrer que la fonc tionfvérifie@2f@y@x
(a;a) = 0pour touta2R. Les fonctions suivantesf(x;y) =xy,f(x;y) =x2y2,f(x;y) = ln(jx=yj)pourx6= 0ety6= 0 vérifient toute l"égalité.La difficulté principale de l"exercice consiste à ne pas confondre lexde@x(dérivée partielle par
rapport à la première coordonnée) et lexcomme variable muette qui désigne un nombre réel. Pour
éviter de se tromper, on va considérer quefest une fonction deuetv(avecu=xetv=y) et réserver
les notations@xet@ypour les dérivées partielles par rapport aux première et deuxième coordonnée.
On sait que pour tout(u;v)2R2, on af(u;v) =f(v;u). En dérivant cette relation par rapport àv et en se ramenant à la définition des dérivées partielles on obtient : f(u;v) =f(v;u))d[f(u;v)]dv =d[f(v;u)]dv )@f@y (u;v) =@f@x (v;u) En dérivant la relation ainsi obtenu par rapport àuon obtient @f@y (u;v) =@f@x (v;u))dh @f@yquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2