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Enoncés : Stephan de Bièvre
Corrections : Johannes HuebschmannExo7
Dérivées partielles et directionnelles
Exercice 1
Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, le domaine de définitionDf. Pour chacune des fonctions,
calculer ensuite les dérivées partielles en chaque point du domaine de définition lorsqu"elles existent:
1.f(x;y) =x2exp(xy),
2.f(x;y) =ln(x+px
2+y2),
3.f(x;y) =sin2x+cos2y,
4.f(x;y;z) =x2y2pz.
Soitfla fonction surR2définie parf(x;y) =xcosy+yexpx. 1.Calculer ses déri véespartielles.
2.Soit v=(cosq;sinq),q2[0;2p[. CalculerDvf(0;0). Pourquelle(s)valeursdeqcettedérivéedirectionnelle
defest-elle maximale/minimale? Que cela signifie-t-il? Soitf:R!Rdérivable. Calculer les dérivées partielles de : g(x;y) =f(x+y);h(x;y) =f(x2+y2);k(x;y) =f(xy)Soitf:R2!R, définie par
f(x;y) =xsijxj>jyj f(x;y) =ysijxj2+y2si(x;y)6= (0;0);
f(0;0) =0 Étudier la continuité def. Montrer quefest de classeC1.Indication pourl"exer cice1 NPour calculer les dérivées partielles par rapport à une variable, interpéter les autres variables comme paramètres
et utiliser les règles de calcul de la dérivée ordinaires.Indication pourl"exer cice2 NInterpréter la dérivée directionnelle à l"aide de l"intersection du graphe de la fonction avec un plan convenable.
Indication pour
l"exer cice3 NPourcalculerlesdérivéespartiellesparrapportàunevariable, interpréterlesautresvariablescommeparamètres
et utiliser les règles de calcul de la dérivée ordinaires.Indication pourl"exer cice4 NDistinguer tout de suite la partie triviale et la partie non triviale de l"exercice.
Indication pour
l"exer cice5 NIl est évident que, en tout point(x;y)distinct de l"origine, la fonctionfest continue et que les dérivées partielles
y existent et sont continues. Il suffit de montrer quefest continue en(0;0)et que les dérivées partielles y
existent et y sont continues.2Correction del"exer cice1 N1.Df=R2.
2.Df=f(x;y);x>0 ouy6=0g R2.
2+y2x+px
2+y2=1px
2+y22+y2x+px
2+y2=yx
px2+y2+x2+y2
3.Df=R2.
4.Df=f(x;y;z);z6=0g R3.
pzCorrection de
l"exer cice 2 N1. quand sinq=cosq=p2 2 , c.a.d. quandq=p4 , et minimale quand sinq=cosq=p2 2 , c.a.d. quand q=54 p.Signification géométrique: Le plan engendré par le vecteur(cosq;sinq;0)et l"axe deszrencontre le
graphez=f(x;y)en une courbe. Cette courbe est de pente maximale en valeur absolue pour cosq= sinq=p2 2 et cosq=sinq=p2 2 (même plan). Les deux signes s"expliquent par les deux orientations possibles de cette courbe (sens du paramétrage).Correction del"exer cice3 N3 jxj