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Statistiques 4 Année universitaire 2015-2016
Cours de M
meChevalier Lois de probabilité usuelles (rappels)Généralités
Fonction de répartition d"une loi discrète
SiXest une variable aléatoire telle queX(
fx1;:::;xng, sa fonction de répartition est égale à F
X(x) = P(X6x) =P
16i6n x i6xP(X =xi)
Fonction de répartition d"une loi continue
SiXest une variable aléatoire de densitéf, sa fonction de répartition est égale à F
X(x) = P(X6x) =Z
x
1f(t) dt
On a alorsP(X> x) = 1FX(x)
et sa densité vautf(x) = F0X(x)
Probabilités du min et du max
Si les variablesTisont indépendantes,
P(maxT
i6x) =ni=1P(Ti6x)
P(minT
i6x) = 1ni=1[1P(Ti6x)]
Espérance et variance dans le cas discret
SiXest une variable aléatoire discrète,
E(X) =
1P k=0kP(X =k) E(X 2) =+ 1P k=0k2P(X =k)
V(X) = E(X
2)E(X)2
Espérance et variance dans le cas continu
SiXest une variable aléatoire continue de densitéf,
E(X) =Z
+1
1xf(x) dx
E(X 2) =Z +1
1x2f(x) dx
V(X) = E(X
2)E(X)2
Propriétés de l"espérance et de la variance SiXetYsont deux variables aléatoires etaun réel,
E(aX) =aE(X)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Important : toujours calculer à l"intérieur de l"espérance avant de séparer les termes. Par exemple,
E((Xa)2) = E(X22aX+a2) = E(X2)2aE(X)+a2
Si lesXisont des variables aléatoires,
E1n n P i=1X i =1n n P i=1E(X i) et si elles sont indépendantes, V1n n P i=1X i =1n 2n P i=1V(X i)Principalesloisdiscrètes
Loi uniforme
X( ) =fx1;:::;xng
P(X =xi) = 1=n
Loi de BernoulliB(p)
X( ) =f0;1g, paramètrep
P(X = 1) =p,P(X = 0) = 1p
E(X) =p,V(X) =p(1p)
Loi binomialeB(n;p)
X( ) =f0;:::;ng, paramètrep
P(X =k) =n
kpk(1p)nk
E(X) =np,V(X) =np(1p)
Loi hypergéométriqueH(N;n;NA)
On effectuentirages sans remise dans une urne contenant
Nobjets dontNA>nobjets de typeA.Xest le nombre
d"objets de typeAobtenus. X( ) =f1;:::;ng, paramètresN,netNA(p= NA=N)
P(X =k) =(NAk)(NNAnk)(
N k)
E(X) =np,V(X) =np(1p)(Nn)=(N1)
Loi de PoissonP()
X( ) =N, paramètre
P(X =k) = ekk!E(X) =,V(X) =
Loi géométrique
X( ) =N, paramètrep
P(X =k) = (1p)k1p
E(X) = 1=p,V(X) = (1p)=p2Principalesloiscontinues
Loi uniformeU(a;b)
X( ) = [a;b], paramètresaetb f(x) =(
1=(ba)six2[a;b]
0sinon
E(X) = (a+b)=2,V(X) = (ba)2=12
Loi exponentielleE()
X( ) =R+, paramètre f(x) =(
1=ex=six>0
0sinon
E(X) = 1=,V(X) = 1=2
Loi normaleN(m;)
X( ) =R, paramètresm(moyenne) et(écart-type) f(x) =1 p2exp (xm)222 six2R
E(X) =m,V(X) =2
Loi du khi-deux2nX(
) =R+, paramètren(degré de liberté)
E(X) =n,V(X) = 2n
Loi de StudentTn
X( ) =R, paramètren(degré de liberté) E(X) = 0pourn >1,V(X) =n=(n2)pourn >2Relationsentrelesprincipaleslois
Propriétés
Si les variablesXisuivent une loiB(p)et sont indé- pendantes, alors la variable nP i=1X isuit une loiB(n;p). Si les variablesXisuivent une loiP(i)et sont indé- pendantes, alors la variable nP i=1X isuit une loiP(Pi).
Si la variableXsuit une loiN(m;2), la variable
Y =aX +bsuit une loiN(am+b;a22).
Si la variableXsuit une loiN(m;2), alors la va-
riableY = (Xm)=suit une loiN(0;1). En particulier,
P(X6u) = P(Y6(um)=).
Approximations (voir chapitre 2)
Sin>30etnp <5, on peut approcher une loiB(n;p)
par une loiP(np).
Sin>30,np>5etn(1p)>5, alors on peut
approcher une loiB(n;p)par une loiN(np;np(1p)).
SiN>10n, on peut approcher une loiH(N;n;pN)
par une loiB(n;p).
Siest assez grand, on peut approcher une loiP()
par uneN(;p). Sinest assez grand, on peut approcher une loi2npar une loiN(n;p2n). Sinest assez grand, on peut approcher une loiTnpar une loiN(0;p1).
Lois normale, du2et de Student (voir chap. 1)
SiX1;:::;Xnsont indépendantes etXi N(0;1)pour
touti2 f1;:::;ng, alorsX12++ Xn2 2n. SiX N(0;1),Ysuit une loi de2àndegrés de liberté etXetYsont indépendantes, alorsZ =pnX=pYsuit une loi de Student àndegrés de liberté.Casparticuliersimportants(momentsempiriques) :
Moyenne empiriqueX
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LOIS DE PROBABILITE USUELLES´ - Université de Poitiers