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1/52/5 3/5 4/5 5/5
5. Quelques lois discretes
MTH2302D
S. Le Digabel,
Ecole Polytechnique de Montreal
A2017 (v2)
MTH2302D: Lois discretes1/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5
Plan
1. Loi de Bernoulli
2. Loi binomiale
3. Loi geometrique
4. Loi hypergeometrique
5. Loi de Poisson
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1. Loi de Bernoulli
2. Loi binomiale
3. Loi geometrique
4. Loi hypergeometrique
5. Loi de Poisson
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Epreuve de BernoulliDenition
Uneepreuve de Bernoulliest une experience aleatoire dont le resultat peut ^etre soit unsucces, soit unechec, mais pas les deux simultanement.Exemple 1 On lance une piece une fois et on note le resultat. On appelle succes le fait d'obtenir PILE et echec le fait d'obtenir FACE.Exemple 2 On choisit au hasard une piece produite en serie et on la teste pour detecter les defectuosites. La piece peut ^etre defectueuse (succes) ou conforme (echec).
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Loi de Bernoulli
Contexte
Lors d'une epreuve de Bernoulli, soitpla probabilite d'un succes et q= 1pla probabilite d'un echec.
SoitXle nombre de succes. AlorsRX=f0;1get
p
X(x) =1psix= 0,
psix= 1. SiXsuit une loi de Bernoulli de parametrepalors on note XBernoulli(p)(ou Bern(p)).MTH2302D: Lois discretes5/46
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Loi de Bernoulli (suite)
Theoreme
La fonction de repartition d'une variableXBernoulli(p)est F
X(x) =8
>:0six <0,
1psi0x <1,
1six1:MTH2302D: Lois discretes6/46
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Esperance et variance
SiXBernoulli(p), alors
1.E(X) =p.
2.V(X) =p(1p).MTH2302D: Lois discretes7/46
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1. Loi de Bernoulli
2. Loi binomiale
3. Loi geometrique
4. Loi hypergeometrique
5. Loi de Poisson
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Loi binomiale
Contexte
On eectuenrepetitions independantes d'une epreuve de Bernoulli dont la probabilite de succes estp.
SoitXle nombre de succes parmi lesnresultats.
AlorsXsuit uneloi binomialede parametresnetp, denote
XB(n;p).
On aRX=f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes9/46
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Loi binomiale (suite)
La fonction de masse d'une variable aleatoireXB(n;p)est p
X(x) =n
x p x(1p)nx pourx2 f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes10/46
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Loi binomiale (suite)
La fonction de repartition de la loi binomiale est F
X(x) =xX
k=0 n k! p k(1p)nksix2 f0;1;2;:::;ng.
Siax < a+ 1avecaentier, alorsFX(x) =FX(a).
Comme le calcul deFX(x)est fastidieux lorsque quenest grand, on utilise souvent en pratique une table de loi binomiale (disponible sur le site w ebdu cours ).Exemple 3 Prouver queFX(n) = 1.MTH2302D: Lois discretes11/46
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Autres caracteristiques
SiXB(n;p), alors :
1.E(X) =np.
2.V(X) =np(1p).
3.Mediane :~x=bnpc.
4.Mode :x=b(n+ 1)pc.Exemple 4
Demontrer que E(X) =np.MTH2302D: Lois discretes12/46
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Exemple 5
Un lot contient 20 articles parmi lesquels 4 sont defectueux. On pige avec remise 7 articles du lot.
Calculer
1.La probabilite d'observer exactement un article defectueux.
2.La probabilite d'observer au moins 4 articles defectueux.
3.La moyenne et la variance du nombre d'articles defectueux.MTH2302D: Lois discretes13/46
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Loi binomiale : calcul avec des logiciels
I
Excel :
p
X(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 0).
F
X(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 1).
I R : p
X(x) =dbinom(x,n,p).
F
X(x) =pbinom(x,n,p).MTH2302D: Lois discretes14/46
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Loi binomiale : traces enR
SoitXB(n= 50;p= 0:2).
I
Fonction de massepX(x):
x=seq(0,50,1); px=dbinom ( x=x, size=50, prob=0.2 ); plot ( x, px, type="h", xlab="x", ylab="p(x)", main="fonction de masse de XB(n=50,p=0.2)"). I
Fonction de repartitionFX(x):
x=seq(0,50,0.1);
Fx=pbinom ( q=x, size=50, prob=0.2 );
plot ( x, Fx, type="s", xlab="x", ylab="F(x)", main="fonction de repartition de XB(n=50,p=0.2)").MTH2302D: Lois discretes15/46
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0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 fonction de masse de X~B(n=50,p=0.2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes16/46
1/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050
0.0 0.2quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
LOIS DE PROBABILITE USUELLES´ - Université de Poitiers