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p=P(X= 1);

1p=P(X= 0):

I

P(X=x) =px(1p)1x????x2 f0;1g?

I

P(X=x) =px(1p)1x(x)?

????=0+1? I I I I I I I I Mois

Probabilités

35404550556065

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 ?? ????S=X1++Xn?

P(S=s) =n!(ns)!s!px(1p)ns;

????s= 0;1;;n I

E(S) =np;V(S) =np(1p):

I I I I I p

P(S= 0) = (1p1)(1p2j0) = 15=24;

P(S= 1) =p1(1p2j1) + (1p1)p2j0= 1=4;

P(S= 2) =p1p2j1= 1=8;

Probabilités

0246810

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Binomiale n=100, p=0.3

Probabilités

1020304050

0.00 0.05 0.10

0.15?? ?S! 1???

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Densité de la loi normale centrée réduite 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0246810

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Probabilités (X100)

0.10.20.30.40.5

0 5 10 15

Binomiale/1000 (n=1000, p=0.3)

Probabilités (X10000)

0.240.260.280.300.320.340.36

0 50
100
150
200
?? ?S=n!p???

X???S=n??

S=n= (X1++Xn)=n?

I

E(S=n) =p?

I

V(S=n) =p(1p)=n?

I

E(S=n) =E(X) =m?

I

V(S=n) =V(X)=n=2=n?

?? ???????S=n????? ?? ????? ?????? ?? ?? ??????? ?? ??p? pn Xm

L! N(0;1);

X= (X1++Xn)=n=S=n?

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Densité originale et loi normale associée

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Densité ''moyennisée'' par 2 et loi normale associée 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Densité ''moyennisée'' par 5 et loi normale associée 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Densité ''moyennisée'' par 30 et loi normale associée U=pn

S=nppp(1p)! N(0;1);

U N(0;1):

U=pn

S=nppp(1p)! N(0;1):

???? ?n??????

S=n N(p;p(1p)=n);

S N(np;np(1p)):

np >5??np(1p)>5? ?? ??? ??????? ? ??????? ???S >5??

S(1S=n)>5?

jP(Uu)P(N(0;1)u)j (1p)2+p22 pnp(1p); ??U=pn

S=nppp(1p)?

10 10 102
1022
1024
102
1 101
10 10 102
103
104
10 13 101
101
101
101
101
101
101
101
11 ??X N(m;2)????? I

Xm N(0;2)?

I

X= N(m=;1)?

I (Xm)= N(0;1)? I

X+Y N(m1+m2;21+22)?

I

XY N(m1m2;21+22)?

??X1;;Xd???? ?????? N(0;1)????? I

T=X21++X2d2d?

I XpT=d

Studentd?

I

U=kV=p

Fisherk;p?

?? ???????X1;;Xn?????? ?? ???B(p)? I I X

1;;Xn?

pn

S=nppp(1p)! N(0;1) (en loi);

S=n!p(en probabilite);

T=pn

S=nppS=n(1S=n) N(0;1):

P(u N(0;1)u) = 0:95

?n??????? P(upn

S=nppS=n(1S=n)u) = 0:95

P Sn

1:96qS

n (1Sn )pn pSn + 1:96qS n (1Sn )pn = 0:95j |{z} j|{z} |{z} j

1:96qS

n (1Sn )pn Sn +1:96qS n (1Sn )pn ?n??????? P(upn

S=nppS=n(1S=n)u) = 0:95

P Sn

1:96qS

n (1Sn )pn pSn + 1:96qS n (1Sn )pn = 0:95j |{z} j|{z} |{z} j

1:96qS

n (1Sn )pn Sn +1:96qS n (1Sn )pn I IqS n (1Sn )pn I

IC(p;0:95) = [S=n1:96pS=n(1S=n)pn

I I

IC(p;0:95)[S=n1pn

I I H

0:p=p0= 1=2 (malade)V S H1:p=p1= 1=4 (sain)

I I H H H H

P(S= 0;1;2)'0:055?? ???????H0?????S????0;1??2?

P(S= 0;1;2)'0:055?? ???????H0?????S????0;1??2?

P(S= 0;1;2)'0:055?? ???????H0?????S????0;1??2?

I I ????H1?P(S= 3;4;;10)'0:71 ????H1?P(S= 3;4;;10)'0:71

P(erreur) =P(erreur\H0) +P(erreur\H1)

=P(erreurjH0)P(H0) +P(erreurjH1)P(H1) = 0:055q+ 0:71(1q) =8 :0:64q= 0:1

0:38q= 0:5

0:07q= 0:9

?n= 1?? I I

P(pile\H1[face\H0) = (1=4q+1=2(1q)) = 1=2q=4

I I ?????? ??????? ? P(T\H0[T\H1) = 1=2 +q=4

5101520253035

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Avec 50 observations

Density|{z} |{z}

????H1????H0

5101520253035

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Avec 50 observations

Density|{z} |{z}

????H1????H0 ???????N(0;1)???

Z(t) =Eexp(itZ)= exp(t2=2);

??Z N(0;1)? exp(t2=2)????? ?? ??? ??S=n???? ???? ?? ??? ??????? ??????? Xtpn ='Xpn (t);

X1+X2(t) ='X1(t)'X2(t);

X1+X2(t) ='X(t)2

0X(0) =iE(X)

00X(0) =E(X2):

?????? ?????? ????? ?????? ?? ?????? ???Xi? U=pn S=nm =S=pn:

U(t) ='Spn

(t) ='Stpn ='X1++Xntpn ='X1tpn 'Xntpn ='Xtpn n 'Xtpn n='X(0) +itpn '0X(0) + (i2)t22n'00X(0) +o(1=n)n

1t22n+o(1=n)n

!exp(t2=2) (quandn! 1) X

1;;Xn??Y1;;Yk? ?? ????? ?

H

0:pX=pYV S H1:pX6=pY

S

X=nN(pX;pX(1pX)=n)

S

Y=kN(pY;pY(1pY)=k):

S

X=nSY=kN(pXpY;V)

????V=SX=n(1SX=n)n +SY=k(1SY=k)k ??????? ??????? ??????? ??T

T=SX=nSY=kpV

?? ?????? ????? ?? ??????? ?? ???H0? U=pn Xmp ! N(0;1);

X N(m;2=n):

U=pn Xm ! N(0;1) (en loi);

S!(en probabilite);

T=pn XmS N(0;1):

P(uTu)0:95;

????m

IC(p;0:95) = [X1:96Spn]

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