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Statistiques 4Année universitaire 2015-2016
Cours de M
meChevalier
Lois de probabilité usuelles (rappels)
Généralités
Fonction de répartition d"une loi discrète
SiXest une variable aléatoire telle queX(Ω) = {x1,...,xn}, sa fonction de répartition est égale à F
X(x) = P(X?x) =?
1?i?n x i?xP(X =xi)
Fonction de répartition d"une loi continue
SiXest une variable aléatoire de densitéf, sa fonction de répartition est égale à F
X(x) = P(X?x) =?
x ∞f(t) dt
On a alorsP(X> x) = 1-FX(x)
et sa densité vautf(x) = F?X(x)
Probabilités du min et du max
Si les variablesTisont indépendantes,
P(maxT
i?x) =nΠi=1P(Ti?x)
P(minT
i?x) = 1-nΠi=1[1-P(Ti?x)]
Espérance et variance dans le cas discret
SiXest une variable aléatoire discrète,
E(X) =
k=0kP(X =k) E(X 2) =+ k=0k2P(X =k)
V(X) = E(X
2)-E(X)2
Espérance et variance dans le cas continu
SiXest une variable aléatoire continue de densitéf,
E(X) =?
∞xf(x) dx E(X 2) =? ∞x2f(x) dx
V(X) = E(X
2)-E(X)2
Propriétés de l"espérance et de la variance SiXetYsont deux variables aléatoires etaun réel,
E(aX) =aE(X)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Important : toujours calculer à l"intérieur de l"espérance avant de séparer les termes. Par exemple,
E((X-a)2) = E(X2-2aX+a2) = E(X2)-2aE(X)+a2
Si lesXisont des variables aléatoires,
E?1 nn i=1X i? =1nn i=1E(X i) et si elles sont indépendantes, V?1 nn i=1X i? =1n2n i=1V(X i)
Principalesloisdiscrètes
Loi uniforme
X(Ω) ={x1,...,xn}
P(X =xi) = 1/n
Loi de BernoulliB(p)
X(Ω) ={0,1}, paramètrep
P(X = 1) =p,P(X = 0) = 1-p
E(X) =p,V(X) =p(1-p)
Loi binomialeB(n,p)
X(Ω) ={0,...,n}, paramètrep
P(X =k) =?n
k?pk(1-p)n-k
E(X) =np,V(X) =np(1-p)
Loi hypergéométriqueH(N,n,NA)
On effectuentirages sans remise dans une urne contenant
Nobjets dontNA?nobjets de typeA.Xest le nombre
d"objets de typeAobtenus.
X(Ω) ={1,...,n}, paramètresN,netNA(p= NA/N)
P(X =k) =(NAk)(N-NAn-k)
(N k)
E(X) =np,V(X) =np(1-p)(N-n)/(N-1)
Loi de PoissonP(λ)
X(Ω) =N, paramètreλ
P(X =k) = e-λλk
k!E(X) =λ,V(X) =λ
Loi géométrique
X(Ω) =N?, paramètrep
P(X =k) = (1-p)k-1p
E(X) = 1/p,V(X) = (1-p)/p2
Principalesloiscontinues
Loi uniformeU(a,b)
X(Ω) = [a;b], paramètresaetb
f(x) =?
1/(b-a)six?[a;b]
0sinon
E(X) = (a+b)/2,V(X) = (b-a)2/12
Loi exponentielleE(λ)
X(Ω) =R+, paramètreλ
f(x) =?
1/λe-x/λsix?0
0sinon
E(X) = 1/λ,V(X) = 1/λ2
Loi normaleN(m,σ)
X(Ω) =R, paramètresm(moyenne) etσ(écart-type) f(x) =1
σ⎷2πexp?
-(x-m)22σ2? six?R
E(X) =m,V(X) =σ2
Loi du khi-deuxχ2nX(Ω) =R+, paramètren(degré de liberté)
E(X) =n,V(X) = 2n
Loi de StudentTn
X(Ω) =R, paramètren(degré de liberté)
E(X) = 0pourn >1,V(X) =n/(n-2)pourn >2
Relationsentrelesprincipaleslois
Propriétés
Si les variablesXisuivent une loiB(p)et sont indé- pendantes, alors la variable n? i=1X isuit une loiB(n,p). Si les variablesXisuivent une loiP(λi)et sont indé- pendantes, alors la variable n? i=1X isuit une loiP(?λi). Si la variableXsuit une loiN(m,σ2), la variable
Y =aX +bsuit une loiN(am+b,a2σ2).
Si la variableXsuit une loiN(m,σ2), alors la va- riableY = (X-m)/σsuit une loiN(0,1). En particulier,
P(X?u) = P(Y?(u-m)/σ).
Approximations (voir chapitre 2)
Sin?30etnp <5, on peut approcher une loiB(n,p)
par une loiP(np).
Sin?30,np?5etn(1-p)?5, alors on peut
approcher une loiB(n,p)par une loiN(np,np(1-p)).
SiN?10n, on peut approcher une loiH(N,n,pN)
par une loiB(n,p). Siλest assez grand, on peut approcher une loiP(λ) par uneN(λ,⎷ Sinest assez grand, on peut approcher une loiχ2npar une loiN(n,⎷ 2n). Sinest assez grand, on peut approcher une loiTnpar une loiN(0,⎷ 1).
Lois normale, duχ2et de Student (voir chap. 1)
SiX1,...,Xnsont indépendantes etXi?N(0,1)pour
touti? {1,...,n}, alorsX12+···+ Xn2?χ2n. SiX?N(0,1),Ysuit une loi deχ2àndegrés de liberté etXetYsont indépendantes, alorsZ =⎷ nX/⎷Ysuit une loi de Student àndegrés de liberté.
Casparticuliersimportants(momentsempiriques) :
Moyenne empirique
Xn=1nn
i=1X i
Variance empirique
S 2 n=1 n-1n i=1(X i-Xn)2
SiX1,...,Xnsont indépendantes etXi?N(0,1)pour
touti? {1,...,n}, alorsYn=n? i=1X i2?χ2n. SiX1,...,Xnsont indépendantes etXi?N(m,σ)pour touti? {1,...,n}, alorsZn=n? i=1(X i-m)2/σ2?χ2n. SiX1,...,Xnsont indépendantes etXi?N(m,σ)pour touti? {1,...,n}, alors (n-1)Sn2/σ2?χ2n-1 (car lesXi-
Xnsont liées par une relation : leur somme
vaut0puisque
Xn=?Xi/n).
SiX1,...,Xnsont indépendantes etXi?N(m,σ)pour touti? {1,...,n}, alorsTn=⎷ nXn-m
Sn?T(n-1).
Utiliserlestablesstatistiques
Loinormalecentréeréduite
La table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite donne les valeurs deP(X?u)pourupo- sitif donné. Pour déterminer d"autres valeurs, on utilise les formules suivantes :
P(X> u) = 1-P(X?u)
P(u P(|X|?u) = P(-u?X?u)
P(|X|?u) = 2P(X?u)
P(X 2?u) = P(|X|?⎷
u) Pourunégatif, on utilise
P(X?u) = P(X>-u) = 1-P(X?-u)
On peut également utiliser la table " à l"envers », pour déterminerutel queP(X?u) =ppourpdonné. Loideχ2
La table de la loi deχ2donne la valeurutelle que P(X?u) =ppourpdonné. Pour déterminerutelle que P(X?u) =ppourpdonné, on utilise la formule
P(X> u) = 1-P(X?u) = 1-p
et on cherche dans la table la valeurucorrespondant à1-p.
Lorsque l"on cherche deux valeursu1etu2telles que
P(u1?X?u2) =p, on considère un intervalle symé- trique et on chercheu1etu2tels queP(X?u2) =p/2 etP(X?u1) = 1-P(X< u1) = 1-p/2. LoideStudent
La table de la loi de Student donne la valeur deutelle queP(|X|> u) =ppourpdonné. Pour trouver la valeur deutelle queP(-u?X?u) =ppourpdonné, on cherche la valeur deutelle queP(|X|> u) = 1-p.Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40