Cours de Mathématiques

Quels sont les tomes de la Terminale C ?

Terminale C (1967) Cagnac, Ramis, Commeau, Traité de mathématiques spéciales, prépas - tome 1 : Algèbre (1970). Cagnac, Ramis, Commeau, Traité de mathématiques spéciales, prépas - tome 2 : Analyse (1972). Cagnac, Ramis, Commeau, Traité de mathématiques spéciales, prépas - tome 3 : Géométrie (1971).

Que faut-il savoir sur les mathématiques ?

Sans les mathématiques, il n’y a ni art ni science. La discipline nécessaire pour relever tous les défis est étroitement liée à l’étude des mathématiques. Voulez-vous en savoir plus ? Explorez les titres de cette section. 1. Livres de Mathématiques Générales 2. Livres d'Algèbre

Qu'est-ce que les mathématiques ?

Les mathématiques sont une science fondée sur la logique, dans laquelle des symboles sont utilisés pour créer des théories et des déductions sur la base de règles spécifiques, de définitions, de postulats ou d’axiomes.

Pourquoi les mathématiques sont-elles importantes ?

Les mathématiques sont essentielles pour explorer d’autres branches de la connaissance. Sans les mathématiques, il n’y a ni art ni science. La discipline nécessaire pour relever tous les défis est étroitement liée à l’étude des mathématiques. Voulez-vous en savoir plus ? Explorez les titres de cette section. 1. Livres de Mathématiques Générales 2.

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Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron

Équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 68

Équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 70

inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 74

u,AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 116

Calcul algébrique avec les coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 116

Norme d'un vecteur, distance entre deux points dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . 117

Interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 122

Quelques exemples d'applications linéaires fort utiles pour ce qui vient... . . . . . . . . . . . . . . 123

Interprétation géométrique de l'équation normale . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Position relative de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 129

Deux méthodes de calcul de la distance d'un point à un plan . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

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Pourquoi les mathématiques sont-elles importantes ?

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23 mars 2011

Table des matières1 Nombres complexes19

1.1 Le corpsCdes nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 20

1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.2 Construction deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.3 Propriétés des opérations surC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 Parties réelle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.1 Partie réelle, partie imaginaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Représentation géométrique des complexes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1 Représentation d'Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2 Interprétation géométrique de quelques opérations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Module d'un nombre complexe, inégalités triangulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Nombres complexes de module1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.1 GroupeUdes nombres complexes de module1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.1 Argument d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 Racinesn-ièmes de l'unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 33

1.8 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8.1 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.9 Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 37

1.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 37

1.9.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 38

1.10 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10.1 Translations, homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 38

1.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.11.1 Forme algébrique - Forme trigonométrique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.11.2 Polynômes, équations, racines de l'unité . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.11.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.11.4 Application des nombres complexes à la géométrie . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.11.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2 Géométrie élémentaire du plan62

2.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.2 Produit d'un vecteur et d'un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.3 Vecteurs colinéaires, unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 64

2.2 Modes de repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2.1 Repères Cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2.2 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 67

2.2.3 Repères polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 70

2.3.2 Interprétation en terme de projection . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.3.4 Interprétation en termes de nombres complexes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 72

2.4.2 Interprétation en terme d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4.3 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4.4 Interprétation en terme de nombres complexes . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4.5 Applicationdudéterminant: résolutiond'unsystèmelinéairede Cramer dedeuxéquationsà deux

2.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.1 Préambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.2 Lignes de niveau deMu.AM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.3 Lignes de niveau deMdet

2.5.4 Représentation paramétrique d'une droite . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.5.5 Équation cartésienne d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.5.6 Droite définie par deux points distincts . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5.7 Droite définie par un point et un vecteur normal . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5.8 Distance d'un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5.9 Équation normale d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.5.10 Équation polaire d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.5.11 Intersection de deux droites, droites parallèles . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 81