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2 FONCTION RÉCIPROQUE
2 Fonction réciproque
2.1 Bijection
Définition 1(Ensemble image).
Soitfune fonction définie surDf. SoitI?Df. On notef(I)l"ensemble imagedeIparfdéfini par : f(I) ={y?R|?x?I,f(x) =y}Exemple 2.
Si on considèref(x) =x2, alors :
? f(R) =R+ ? f(R-) =R+ ? f([1,4[) = [1,16[ ? f(]-2,3]) = [0,9] Définition 3(Fonction injective, surjective et bijective). Soitf:Df→Eune fonction définie surDfet à valeur dansE. On dit quefest : ?injectivedeDfdansEsi et seulement si pour toutydansEil existeau plus unantécédent de yparf. Ce qui s"écrit encore : ?(x1,x2)?D2f, f(x1) =f(x2)?x1=x2 ?surjectivedeDfdansEsi et seulement si pour toutydansEil existeau moins unantécédent deyparf. Ce qui s"écrit encore : ?y?E,?x?Dftel quef(x) =y ?bijectivedeDfdansEsi et seulement si elle est injectiveetsurjective deDfdansE. Dans ce cas, pour toutydansEil existeexactement unantécédent deyparf.Exemples 1.
1. La fonctionf:?
R +→R x?→x2est injective. En effet, pour toutx1?R+etx2?R+, f(x1) =f(x2)?x21=x22?x1=x2oux1=-x2 or commex1etx2sont positifs, on a forcémentx1=x2.2. La fonctionf:?
R→R+
x?→x2est surjective. En effet, pour touty?R+,f(⎷ y) = (⎷y)2=y, ce qui signifie que yest un antécédent deyparf.3. La fonctionf:?
R +→R+ x?→x2est surjective. En reprenant les deux raisonnements précédents, on a bien quefest injective et surjective.IUT de Cachan GEII2 - Mathématiques
2021-2022 Semestre 21
2.1 Bijection2 FONCTION RÉCIPROQUE
Théorème 4(des valeurs intermédiaires (TVI)). SoitIun intervalle et soitfun fonction continue surI. Alorsf(I), l"ensemble image deIparf, est un intervalle. -11 23451 2 3 4 5 6-1
I f(I)Corollaire 5.
Soitfune fonction définie et continue sur l"intervalle[a,b]telle que : f(a)×f(b)<0 L"équationf(x) = 0admet au moins une solution sur l"intervalle[a,b].Remarques.
1. Il n"y a pas forcément unicité de la solution
2. La réciproque est fausse
Proposition 6.
Soitfune fonction définie et continue sur un intervalleI. Sifest strictement monotone surIalorsf est bijective deIdansf(I).Exemple 7.
Soitf(x) =x-1
x-2.La fonctionfest définie et dérivable sur]- ∞,2[?]2,+∞[. Pour toutx?]- ∞,2[?]2,+∞[,
f ?(x) =-1 (x-2)2<0La fonctionfest donc strictement décroissante sur l"intervalle]- ∞,2[et sur l"intervalle]2,+∞[.
Commelimx→2f(x) = +∞etlimx→∞f(x) = 1, on af(]- ∞,2[) =f(]2,+∞[) =]1,+∞[, et on en déduit que
fest bijective de]- ∞,2[dans]1,+∞[et de]2,+∞[dans]1,+∞[.IUT de Cachan GEII2 - Mathématiques
2021-2022 Semestre 22
2.2 Fonction réciproque2 FONCTION RÉCIPROQUE
2.2 Fonction réciproque
Définition 8(Fonction réciproque).
Soitfune fonction bijective deDdansE. On appellefonction réciproquedef, la fonction, notéef-1, définie deEdansDpar : ?x?E, f-1(x) =b?f(b) =xCeci signifie quef-1est la fonction qui donne l"antécédent dexparf(cet antécédent est unique puisque
fest supposée bijective).Exemples 2.
1.f(x) =exest définie et bijective deRdans]0,+∞[.
Pour toutx?R,ln(ex) =x, doncf-1(x) = ln(x)de]0,+∞[dansR.2.g(x) =x2est définie et bijective deR+dansR+.
Pour toutx?R+,⎷
x2=|x|=x, doncg-1(x) =⎷xdeR+dansR+.Remarque.
Attention a ne pas confondre la fonction réciproque def, notéef-1(x), et l"inverse def(x), noté
(f(x))-1=1 f(x).Méthode
Pour déterminer l"expression de la fonction réciproquef-1, il faut trouverxtel quef(x) =y. L"expression
dexsera alors donnée en fonction dey.Exemple 9.
Soitf(x) =x-1
x-2avecx?]2,+∞]. On a vu dans l"exemple 7 quefest bijective de]2,+∞[dans]1,+∞[. Soity?]1,+∞[tel que : f(x) =y?x-1 x-2=y ?x-1 =y(x-2) =xy-2y ?x-xy= 1-2y(on isole les termes avec desxà gauche et les termes sansxà droite) ?x(1-y) = 1-2y ?x=1-2y 1-yDoncf-1(y) =1-2y
1-ysur]1,+∞[.
Proposition 10.
Soitfune fonction bijective deDdansE. Alors :
1.?x?D,f-1◦f(x) =x.
2.?x?E,f◦f-1(x) =x.
3.? ?D,(f-1)-1(x) =f(x).
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2021-2022 Semestre 23
2.3 Arccos - Arcsin - Arctan2 FONCTION RÉCIPROQUE
4. Les courbes représentative des fonctionsfetf-1, notées respectivementCfetCf-1, sont la symétrie
l"une de l"autre par rapport à la droite d"équationx=y. -11 2341 2 3 4-1
Cf Cf-1 y=x Si de plus la fonctionfest dérivable et quef?(x)?= 0pour toutx?D, alorsf-1est dérivable surEet pour toutx?E, (f-1)?(x) =1 f?◦f-1(x)Remarque.
Les points 1. et 2. permettent de montrer qu"une fonctiongest la réciproque def.Exemple 11.
Soientf(x) =x2+ 2x+ 2définie sur]-1,+∞[etg(x) =⎷ x-1-1définie sur]1,+∞[.fest définie et dérivable sur l"intervalle]-1,+∞[. Pour toutx?]-1,+∞[,f?(x) = 2x+ 2>0, donc
fest strictement croissante, elle est donc bijective de]-1,+∞[dansf(]-1,+∞[) =]1,+∞[.