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DERNIÈRE IMPRESSION LE12 octobre 2017 à 9:08
Composition de fonctions, dérivées
successives et fonction réciproque
Table des matières
1 Dérivée de la composée2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Variation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Le théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Dérivées successives5
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Relation de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Interprétation de la dérivée seconde. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Dérivée de la fonction réciproque7
3.1 Fonction réciproque d"une fonction monotone. . . . . . . . . . . . 7
3.2 Représentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE
1 Dérivée de la composée
1.1 Définition
Définition 1 :Fonction composée defparg
On appelleg◦fdéfinie surDfpar :g◦f(x) =g[f(x)] Remarque :Celarevientàappliquersuccessivementlafonctionfetlafonctiong. x f----→y=f(x)g----→z=g(y) =g[f(x)]=g◦f(x) Cela nécessite la conditionf?Df??Dg, i.e. :?x?Df,f(x)?Dg. soit les fonctionsfetgdéfinies respectivement parf(x) =x+3 etg(x) =lnx. La fonctiong◦fest telle queg◦f(x) =ln(x+3) La fonctionfest définie surR, mais comme on applique ensuite la fonction ln, il est nécessaire d"avoirf(x)>0, soitx+3>0?x>-3.
On réduit doncDfà]-3 ;+∞[
?La composée de deux fonctions n"est pas une opération commutative. En effet dans la plupart des casg◦f?=f◦gcomme sur l"exemple suivant : Soit les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =x-2 etg(x) =4x+3. Les deux fonctions étant définies surR, les fonctionsg◦fetf◦gsont donc aussi définies surR. On a alors : g◦f(x) =g(x-2)=4(x-2) +3=4x-5 f◦g(x) =f(4x+3)= (4x+3)-2=4x+1 Exemple :Décomposer les fonctionsf1,f2etf3suivantes en fonctions élémen- taires en précisant leur ensemble de définition : f
1(x) =1
3x-1f2(x) =?4-x2f3(x) =ln(ex+2)
f1est définie surR-?13?
et l"on décomposef1=h◦gavec : g(x) =3x-1 eth(x) =1 x f2est définie sur[-2 ; 2]et l"on décomposef2=k◦h◦gavec : g(x) =x2h(x) =4-xetk(x) =⎷ x f3est définie surRet l"on décomposef3=k◦h◦gavec : g(x) =exh(x) =x+2 etk(x) =lnx Remarque :La composition de fonctions est une opération associative : h◦(g◦f) = (h◦g)◦f=h◦g◦f
PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE
1.2 Variation d"une fonction composée
Théorème 1 :Soit les fonctionsfetgdéfinies respectivement sur I etf(I). Sifetgontmême variationresp.t sur I etf(I)alors la fonctiong◦fest croissantesur I. Sifetgont desvariations opposésresp. sur I etf(I)alors la fonctiong◦f estdécroissantesur I. Démonstration :Nous ferons la démonstration pour une fonctionfcroissante sur I et une fonctiongdécroissante surf(I). fest croissante sur I :?x1,x2?I,x1
On a donc :?x1,x2?I,x1g[f(x2)] La fonctiong◦fest décroissante sur I.
Exemple :Soit la fonctionhdéfinie sur]-∞;1]parh(x) =⎷ 1-x 1) Décomposerhen deux fonctions élémentaires.
2) Déterminer les variations deh.
1) La fonctionhse décompose eng◦f, avec :f(x) =1-xetg(x) =⎷x
2) On sait que la fonction :
fest décroissante sur]-∞; 1]etf(]-∞; 1]) = [0 ;+∞[ gest croissante sur[0 ;+∞[
d"après le théorème des fonctions composées,hest décroissante sur]-∞; 1] ?Il n"est donc pas nécessaire pour ce cas particulier de déterminer le signe de la dérivée pour connaître les variations de la fonctionh. 1.3 Le théorème
Théorème 2 :Soituetvdeux fonctions dérivables respectivement sur les intervalles I et J tel queu(I)?J. Soit la fonctionfdéfinie sur I par :f=v◦u
La fonctionfest dérivable sur I et :f?=u?×v?◦u. Démonstration :Soitaun point de I etxun point de I du voisinage dea. Calculons le taux de variation de la fonctionfena. PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE
f(x)-f(a) On poseX=u(x)etA=u(a), on a donc :
f(x)-f(a) x-a=v(X)-v(A)X-A×u(x)-u(a)x-a SurIlafonctionuestcontinuecardérivable,donc limx→aX=limx→au(x) =u(a) =A. Commeuetvsont dérivables respectivement sur I et J, on passe à la limite : lim X→Av(X)-v(A)
X-A=v?(A)
lim x→au(x)-u(a) x-a=u?(a)???? Par produit, on a :
lim x→af(x)-f(a)x-a=u?(a)×v?(A) La fonctionfest dérivable en tout point de I, commeA=u(a), on a alors : f ?=u?×v?◦u. 1.4 Applications
Déterminer la dérivée de la fonctionf(x) =cos?x-12x+1? On décompose la fonctionfen :???u(x) =x-1
2x+1 v(x) =cosx La fonctionuest une fonction rationnelle donc dérivable surR-? -1 2? La fonctionvest dérivable surR.
La fonctionfest donc dérivable surR-?
-1 2? . On dérive alors la fonc- tionf: f ?(x) =u?(x)×v?◦u(x) =(2x+1)-2(x-1) (2x+1)2×? -sin?x-12x+1?? -3 (2x+1)2sin?x-12x+1? Soit la fonctionfdéfinie pour toutx?=1 par :f(x) =x2+1x-1quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
Chapitre 15 : Dérivée des réciproques des fonctions