[PDF] Sixième FICHE : les nombres entiers ( deuxième partie )

Un nombre B est un diviseur du nombre A si lorsqu'on divise A par B, on obtient un nombre entier sans qu'il n'y ait de reste. Si A est un multiple de B, alors B est un diviseur de A. 48 est un multiple de 6 car on peut trouver 48 en multipliant 6 par un nombre entier : 6 × 8 = 48.
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Un nombre B est un diviseur du nombre A si lorsqu'on divise A par B, on obtient un nombre entier sans qu'il n'y ait de reste. Si A est un multiple de B, alors B est un diviseur de A. 48 est un multiple de 6 car on peut trouver 48 en multipliant 6 par un nombre entier : 6 × 8 = 48.
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THIAUDE Philippe-Niveau SIXIÈMEെThème NOMBRES ENTIERS ( deuxième partie )െpage 1 sur 2

Sixième FICHE : les nombres entiers ( deuxième partie )

I. Multiplication de nombres entiers

Définition

Lesnombresque l'on multiplie s'appellent lesfacteurs, et le résultat de la multiplication s'appelle leproduit: Calcule12 × 50et donne un nom à chacun des nombres intervenant dans l'égalité obtenue. En posant sur la feuille la multiplication de12par50on obtient600, on peut donc écrire :12 × 50 = 600; les nombres12et50sont les deuxfacteurs, et600est le produitde12par50.

Propriétés de la multiplication

Dans une multiplication,on a le droitderegrouperdes facteurs et aussi dechanger la placedes facteurs. Exemple࢔°૛Calcule astucieusement 4 × 71 × 25.

II. Division euclidienne d'un entier par un autre

Règle

Définition de la division euclidienne

La division euclidienne d'un nombre entier non nulܽpar un nombre entier non nulܾ plus petit s'écrit en ligne : dividendeࢇ= (diviseur࢈×quotientࢗ)+ reste, avec࢘restePose la division euclidienne de39par 5. Quand on pose sur la feuille la division euclidienne de39par5, on obtient7pour quotient et4pour reste, donc :39=(૞×ૠ)+4,avec<5.4 Certaines égalités vraiesnetraduisentpasune division euclidienne !

Considérons l'écriture:39 =(5 × 6)+ 9.

Le nombre9n'est pasplus petit que5, donc cette écriturene traduit pasla division euclidienne de39par5.

Considérons l'écriture:11 = 6 × 1,5 + 2.

Comme1,5n'est pas un nombre entier, cette égaliténe traduit pasla division euclidienne de11par6.

Exemple࢔°૛

Un fleuriste possède101roses et il veut préparer des corbeilles de 12 roses chacune. Combien de corbeilles au plus peut-il ainsi préparer et combien de roses lui restera-t-il ? On cherche combien de fois on peut reporter12dans101, ce qui revient à calculer le quotient de la division euclidienne de101par12: Le quotient de la division euclidienne de101par12est8et le reste est12.

III. Divisibilité

A. Multiples et diviseurs d'un nombre entier

B. Les critères de divisibilité à connaître4 Les cinq critères de divisibilité que tu dois connaître est : 0, 2, 4, 6 ou 8.

THIAUDE Philippe-Niveau SIXIÈMEെThème NOMBRES ENTIERS ( deuxième partie )െpage 2 sur 2

est : 0 ou 5. de ses des deux derniers chiffresest divisible par4. est unmultiple de 3. » Règle݊°5Un nombre entier estdivisible par 9lorsque lasomme de ses chiffres est un multiple de9. ExempleOn considère le nombre32928. Est-il divisible par 2, 5, 4, 3, 9 ? Le chiffre des unités de32928est 8, donc32928est divisible par 2. Le chiffre des unités de32 928n'est ni 0 ni 5, donc32928n'est pas divisible par 5. Comme28, nombre formé à partir des deux derniers chiffres de32 928, est un multiple de4, on en déduit que32 928est un multiple de4. La somme des chiffres de32928est :3 + 2 + 9 + 2 + 8soit24et comme24est un multiple de3on en déduit que32928est divisible par3. La somme des chiffres de32928est24et comme24n'est pas un multiple de9on en déduit que32928n'est pas divisible par9.

La règle de la somme des chiffres n'existeque pour tester la divisibilité par૜et celle parૢ.

Par exemple, la somme des chiffres du nombre95est9 + 5soit14qui est un multiple de7, mais95luin'estpasdivisible par7!

IV. Opérations sur les durées

A. Conversion en minutes ou en secondes

B. Conversion en heures, minutes et secondes

ExempleCombien y a-t-il d'heures, minutes et secondes dans 41 000 s ? D'abord, on pose la division euclidienne de41 000par3600pour obtenir le nombre d'heures. Après avoir écrit cette division euclidienne sur la feuille, on obtient :

41000 = 3600 × 11 + 1400

On pose la division euclidienne de1 400par60, et on obtient :1 400 = 60 × 23 + 20

C. Addition de durées

ExempleUn match dure 3 h 38 min et le suivant dure 2 h 49 min. Quelle est la durée totale de ces deux matchs ? On ajoute les heures entre-elles et les minutes entre-elles.

38݉݅݊+ 49݉݅݊= 87݉݅݊

La durée totale est :

ͷ݄87݉݅݊ൌͷ݄൅ͺ͹݉݅݊ൌͷ݄൅͸Ͳ݉݅݊+ 27݉݅݊ൌͷ݄൅ͳ݄൅ʹ͹݉݅݊.

soit finalement :͸݄27݉݅݊.

Méthode࢔°૛

On converti tout en minutes, on ajoute ensuite les durées ainsi exprimées, et enfin on exprime le résultat en heure et minutes :

͵݄38݉݅݊= 3 × 60݉݅݊+ 38݉݅݊= 180݉݅݊+ 38݉݅݊= 218݉݅݊

ʹ݄49݉݅݊= 2 × 60݉݅݊+ 49݉݅݊= 120݉݅݊+ 49݉݅݊= 169݉݅݊

On ajoute les deux durées :218݉݅݊+ 169݉݅݊= 387݉݅݊. On pose la division euclidienne de387par60:387 = 60 × 6 + 27. D'où :387݉݅݊= 60݉݅݊× 6 + 27݉݅݊ൌ͸݄27݉݅݊. La durée totale des deux matchs est :6݄27݉݅݊.

D. Soustraction de durées

On convertie tout en minutes, on calcule sur les minutes, puis on exprime le résultat en݄et݉݅݊.

ͳͷ݄27݉݅݊= 15 × 60݉݅݊+ 27݉݅݊= 900݉݅݊+ 27݉݅݊= 927݉݅݊

ͳͺ݄14݉݅݊= 18 × 60݉݅݊+ 14݉݅݊= 1080min+14݉݅݊= 1094݉݅݊

1 094݉݅݊െͻʹ͹݉݅݊= 167݉݅݊.

En posant la division euclidienne de167par60on obtient :167 = 2 × 60 + 47.

Le film a duréʹ݄47݉݅݊.

Méthode࢔°૛

Deͳͷ݄ʹ͹àͳ͸݄il y a60݉݅݊െʹ͹݉݅݊= 33݉݅݊. Deͳ͸݄àͳͺ݄il y aʹ݄.

Au total, il y a33݉݅݊etʹ݄et14݉݅݊donc :ʹ݄47݉݅݊.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47