Chapitre 5 Applications linéaires

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Chapitre 5. Applications linéaires

§1 Applications linéaires.

SoientE,Fdeux sous espaces vectoriel. Les applications les plus simplesf:E→Fsont linéaires.

Definition :f:E→Fest

linéairesi, pour tout?u,?v?Eet tout

λ?R, on a

f(?u+?v) =f(?u) +f(?v),f(λ?u) =λ·f(?u). Exemple :A?u=?v. On varie?udansRnet on obtient une application, linéaire. Théorème.Toute application linéaire s"écrit sous la forme d"un u?→A?uavec un certain choix deA. Pour retrouver la matrice, il suffit de tester sur la base canonique, puis appliquer linéairement. On utiliseEpour désigner la base canonique(?e1,···,?en): deRn. Voici

4 écrituresd"un vecteur?wdansRn:?w=(((((x

1 x 2... x n))))) =x1?e1+x2?e2+···+xn?en= (?e1,···,?en)(((((x 1 x 2... x n))))) =E(((((x 1 x 2... x n))))) On appliquef:f(?w) =f(x1?e1+x2?e2+···+xn?en)par linéarité= x

1f(?e1) +x2f(?e2) +···+xnf(?en) =

(f(?e1),···,f(?en))(((((x 1 x 2... x n))))) = (f(?e1,···,?en))(((((x 1 x 2... x n))))) =EA(((((x 1 x 2... x n))))) Géométriquement : on considèrefcomme une transformation de R nqui transforme un groupe de points en un autre groupe de points. Par exemple il transforme un point/droite/plan à unautre.

Exemples

1. f(?x y? ) =?1 00 0?? x y? =?x 0? est laprojection orthogonaledu plan sur l"axe des abscisses.

2.f(?x

y? ) =I2?x y? +?21? =?x+2 y+1? est unetranslationdu plan.

3.SoitRθ=?cosθ-sinθ

sinθcosθ? . Par calcul : R

θ?rcosφ

rsinφ? =?rcos(θ+φ) rsin(θ+φ? En utilisant les coordonnées polaires du plan on voit queRθ represente unerotationd"angleθ(orienté) du plan.

4.Rπ2?

x y? =?0-1 1 0?? x y? =?-y x? est bien la rotation de

π/2=90odans le sens direct.

5.f(?x

y? ) =?1 00-1?? x y? =?x -y? est la symétrie par rapport à l"axe des abscisses.

6.f(?x

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