[PDF] Construcción de bases en el núcleo e imagen de una



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Construcción de bases en el núcleo e imagen de una

Construccion de bases en el nucleo e imagen

de una transformacion lineal Objetivos.Estudiar el algoritmo para construir una base del nucleo y una base de la imagen de una transformacion lineal. Requisitos.Denicion del nucleo y de la imagen y sus propiedades basicas, eliminacion de Gauss, construccion de una sublista basica de una lista de vectores, solucion de un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

1. Ejercicio.SeaT2 L(V;W) una transformacion lineal inyectiva y seanv1;:::;vk

algunos vectores linealmente independientes del espacioV. Demuestre que los vectores

T(v1);:::;T(vk) son linealmente independientes.

2. Proposicion (la imagen de una transformacion lineal esta generada por las

imagenes de los vectores que generan al dominio).SeaT2 L(V;W), dondeVes de dimension nita. Seana1;:::;analgunos vectores deVtales que `(a1;:::;an) =V:

Entonces

im(T) =`(T(a1);:::;T(an)): Demostracion.Demostremos que`(T(a1);:::;T(an))im(T). De la decion de im(T) sigue que

T(a1);:::;T(an)2im(T):

Como im(T) es un subespacio deW, toda combinacion lineal deT(a1);:::;T(an) tambien pertenece a im(T), es decir,`(T(a1);:::;T(an))im(T). Demostremos que im(T)`(T(a1);:::;T(an)). Seaw2im(T). Entoncesw=T(v) para algunv2V. Comoa1;:::;angeneran aV, existen escalares1;:::;n2Ftales que v=nX k=1 kak: AplicandoTa ambos lados de esta igualdad obtenemos que w=T(v) =nX k=1 kT(ak)2`(T(a1);:::;T(an)):Construccion de bases en el nucleo e imagen, pagina 1 de 6

3. Corolario (construccion de una base de la imagen).SeaT2 L(V;W), donde

Ves de dimension nita. Seana1;:::;an2Vtales que`(a1;:::;an) =V(en particular, a

1;:::;anpuede ser una base deV). Entonces:

1. C ualquiersublista b asicade ( T(a1);:::;T(an)) es una base de im(T). 2. d im(im(T)) = r(T(a1);:::;T(an)). 3. d im(im(T))dim(V).

4. Denicion (el rango de una transformacion lineal).SeanVyWespacios vec-

toriales sobre un campo y seaT2 L(V;W). Entonces elrangodeTse dene como la dimension de la imagen deT: r(T):= dim(im(T)):

5. Contruccion de una base de la imagen de una transformacion lineal usando

la matriz asociada.SeaT2 L(V;W), seaAuna base deVy seaBuna base deW. Supongamos que en la matrizTB;Alas columnas conndicesj1;:::;jrforman una sublista basica. Entonces los vectoresT(aj1);:::;T(ajr) forman una base en im(T). En particular, r(T) = r(TB;A).

6. Construccion de una base del nucleo de una transformacion lineal usando

su matriz asociada.SeanV;Wespacios vectoriales de dimensiones nitas y seaT2 L(V;W). SeanAuna base deVyBuna base deW. Denotemos a la matrizTB;AporC. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales homogeneas Cx=0: y denotemos por (u1;:::;us) a una base de su conjunto solucion. Entonces los vectores deVque tienen vectores de coordenadasu1;:::;usforman una base de ker(T). Construccion de bases en el nucleo e imagen, pagina 2 de 6

7. Ejemplo (construccion de bases del nucleo y de la imagen).Dada la matriz de

transformacion linealT:V!Wen basesB= (b1;b2;b3) yA= (a1;a2;a3;a4), construir bases de su nucleo e imagen. Hacer las comprobaciones. T B;A=2

423 1 2

1 10 05

3 4 213

5 Solucion.Primero transformemos la matriz dadaTB;Aen una matriz pseudoescalonada reducida usando operaciones elementales por las: 2

423 1 2

1 10 05

3 4 213

5

R3=2R1!2

423 1 2

1 10 05

1 10 053

5R

3=R2R1+=2R2R2=1!2

40 1718110 0 5

0 0 0 03

5 Los elementos pivotes estan en las columnas 1 y 3. Por lo tanto, las columnas 1 y 3 forman un subsistema basico de la matrizTB;A. Por consequencia, los vectores

T(a1) = 2b1b2+ 3b3; T(a3) =b1+ 2b3

forman una sublista basica del sistema (T(a1);T(a2);T(a3);T(a4)) y una base del espacio im(T) generado porT(a1);T(a2);T(a3);T(a4). Para construir una base del nucleo, consideremos el sistema de ecuaciones lineales homogeneasTB;Ax=0. Usando la forma pseudoescalonada reducida de la matrizTB;A escribimos la solucion general: 2 6

6410x25x4

x 2

17x2+ 8x4

x 43
7

75=x22

6 6410
1 17 03 7

75+x42

6 645
0 8 13 7 75:

Los vectores

u 1=2 6 6410
1 17 03 7

75; u2=2

6quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2