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![Construcción de bases en el núcleo e imagen de una Construcción de bases en el núcleo e imagen de una](https://pdfprof.com/Listes/17/17694-17ker_image_bases_es.pdf.pdf.jpg)
Construccion de bases en el nucleo e imagen
de una transformacion lineal Objetivos.Estudiar el algoritmo para construir una base del nucleo y una base de la imagen de una transformacion lineal. Requisitos.Denicion del nucleo y de la imagen y sus propiedades basicas, eliminacion de Gauss, construccion de una sublista basica de una lista de vectores, solucion de un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.1. Ejercicio.SeaT2 L(V;W) una transformacion lineal inyectiva y seanv1;:::;vk
algunos vectores linealmente independientes del espacioV. Demuestre que los vectoresT(v1);:::;T(vk) son linealmente independientes.
2. Proposicion (la imagen de una transformacion lineal esta generada por las
imagenes de los vectores que generan al dominio).SeaT2 L(V;W), dondeVes de dimension nita. Seana1;:::;analgunos vectores deVtales que `(a1;:::;an) =V:Entonces
im(T) =`(T(a1);:::;T(an)): Demostracion.Demostremos que`(T(a1);:::;T(an))im(T). De la decion de im(T) sigue queT(a1);:::;T(an)2im(T):
Como im(T) es un subespacio deW, toda combinacion lineal deT(a1);:::;T(an) tambien pertenece a im(T), es decir,`(T(a1);:::;T(an))im(T). Demostremos que im(T)`(T(a1);:::;T(an)). Seaw2im(T). Entoncesw=T(v) para algunv2V. Comoa1;:::;angeneran aV, existen escalares1;:::;n2Ftales que v=nX k=1 kak: AplicandoTa ambos lados de esta igualdad obtenemos que w=T(v) =nX k=1 kT(ak)2`(T(a1);:::;T(an)):Construccion de bases en el nucleo e imagen, pagina 1 de 63. Corolario (construccion de una base de la imagen).SeaT2 L(V;W), donde
Ves de dimension nita. Seana1;:::;an2Vtales que`(a1;:::;an) =V(en particular, a1;:::;anpuede ser una base deV). Entonces:
1. C ualquiersublista b asicade ( T(a1);:::;T(an)) es una base de im(T). 2. d im(im(T)) = r(T(a1);:::;T(an)). 3. d im(im(T))dim(V).4. Denicion (el rango de una transformacion lineal).SeanVyWespacios vec-
toriales sobre un campo y seaT2 L(V;W). Entonces elrangodeTse dene como la dimension de la imagen deT: r(T):= dim(im(T)):5. Contruccion de una base de la imagen de una transformacion lineal usando
la matriz asociada.SeaT2 L(V;W), seaAuna base deVy seaBuna base deW. Supongamos que en la matrizTB;Alas columnas conndicesj1;:::;jrforman una sublista basica. Entonces los vectoresT(aj1);:::;T(ajr) forman una base en im(T). En particular, r(T) = r(TB;A).6. Construccion de una base del nucleo de una transformacion lineal usando
su matriz asociada.SeanV;Wespacios vectoriales de dimensiones nitas y seaT2 L(V;W). SeanAuna base deVyBuna base deW. Denotemos a la matrizTB;AporC. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales homogeneas Cx=0: y denotemos por (u1;:::;us) a una base de su conjunto solucion. Entonces los vectores deVque tienen vectores de coordenadasu1;:::;usforman una base de ker(T). Construccion de bases en el nucleo e imagen, pagina 2 de 67. Ejemplo (construccion de bases del nucleo y de la imagen).Dada la matriz de
transformacion linealT:V!Wen basesB= (b1;b2;b3) yA= (a1;a2;a3;a4), construir bases de su nucleo e imagen. Hacer las comprobaciones. T B;A=2423 1 2
1 10 05
3 4 213
5 Solucion.Primero transformemos la matriz dadaTB;Aen una matriz pseudoescalonada reducida usando operaciones elementales por las: 2423 1 2
1 10 05
3 4 213
5R3=2R1!2
423 1 2
1 10 05
1 10 053
5R3=R2R1+=2R2R2=1!2
40 1718110 0 5
0 0 0 03
5 Los elementos pivotes estan en las columnas 1 y 3. Por lo tanto, las columnas 1 y 3 forman un subsistema basico de la matrizTB;A. Por consequencia, los vectoresT(a1) = 2b1b2+ 3b3; T(a3) =b1+ 2b3
forman una sublista basica del sistema (T(a1);T(a2);T(a3);T(a4)) y una base del espacio im(T) generado porT(a1);T(a2);T(a3);T(a4). Para construir una base del nucleo, consideremos el sistema de ecuaciones lineales homogeneasTB;Ax=0. Usando la forma pseudoescalonada reducida de la matrizTB;A escribimos la solucion general: 2 66410x25x4
x 217x2+ 8x4
x 437
75=x22
6 64101 17 03 7
75+x42
6 6450 8 13 7 75:
Los vectores
u 1=2 6 64101 17 03 7