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Licence 3 SIAD
Algèbre linéaire
Matrice d"une application linéaire
M. Pelini, V. Ledda
2 janvier 2018
Table des matières1 Définitions1 Définitions21.1 L"ensembleMn;p1.1 L"ensembleMn;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2 Matrice d"une application linéaire1.2 Matrice d"une application linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.3 Exemples1.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.4 Que se passe-t-il si on change de base?1.4 Que se passe-t-il si on change de base?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.5 Bijection entreL(E;F) etMn;p1.5 Bijection entreL(E;F) etMn;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2 L"espace vectorielMn;p2 L"espace vectorielMn;p6
2.1 Addition de matrices2.1 Addition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.2 Multiplication par un réel2.2 Multiplication par un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.3 L"espace vectorielMn;p2.3 L"espace vectorielMn;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3 Multiplication de matrices3 Multiplication de matrices7
3.1 Définition3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3.2 Recherche des coefficients de la matrice produit3.2 Recherche des coefficients de la matrice produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
3.3 Exemple3.3 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
3.4 Propriétés3.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
3.5 Puissance d"une matrice carrée3.5 Puissance d"une matrice carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
3.6 Le produit matriciel est-il commutatif?3.6 Le produit matriciel est-il commutatif?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
3.7 Écriture matricielle d"une application linéaire3.7 Écriture matricielle d"une application linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
4 Rang d"une matrice4 Rang d"une matrice10
4.1 Définition4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
4.2 Calcul du rang4.2 Calcul du rang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
4.3 Transposition de matrices4.3 Transposition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Matrice d"une application linéaireChapitre 41 Définitions1.1 L"ensembleMn;pDéfinition 1.On appelle matrice réelle ànlignes,pcolonnes un ensemble denpnombres réels donnés sous
la forme d"un tableau.Une telle matrice est dite de taille(n;p).M =
0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@a
11a1j::: a1n:::::::::
::: aij::: a n1anj::: ann1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA ième ligne
jème colonne Remarque 1.On noteaijle terme situé à l"intersection de la ligneiet de le colonnej. On donne toujours l"indice de ligne puis l"indice de colonne.La matrice M sera noté de manière abrégée M = (aij)16i6n;16j6pou, plus simplement, M = (aij)n;p.Définition 2.On noteMn;pl"ensemble des matrices de tailles(n;p).Exemple 1.M =0BBBBB@1435
2 0;5 101
CCCCCAest une matrice de taille (2;3) donc M2 M2;3Cas Particuliers :
Si n= 1,
M1;pdésigne l"ensemble des matrices à une ligne etpcolonnes.
On les appellentmatrices lignes. L=a11a12::: a1p
Si p= 1,
M n;1désigne l"ensemble des matrices ànlignes et une colonne.On les appellentmatrices colonnes. C =0
BBBBBBBBBBBBB@a
11 a 21:::a n11
CCCCCCCCCCCCCA
Si n=p,
On parlera dematrice carréed"ordren. L"ensembleMn;nse noteMn.Les termes en position (i;i) (lesaii, 16i6n) sont alors appêléstermes diagonaux.Définition 3.SoitM2 Mn,M =aij.
On appelletracedeM, on noteTr(M), la somme des termes diagonaux de la matrice. tr(M) =n X i=1a ii2 M. Pelini, V. Ledda Matrice d"une application linéaireChapitre 4Exemple 2.Soit A =0BBBBBBB@1 1 1
1 1 21 0 51
CCCCCCCA
A est une matrice carrée d"ordre 3 et on a Tr(A) = 1+1+5 = 7.La matrice identité
On appelle matrice identité d"ordren
la matrice carrée de taillen, ayant des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs.Elle est notée I
n.I n=0BBBBBBBBBBBBBBBBBBB@1 0::: :::0
0 10 0::: :::11
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCA
La matrice nulle
On appelle matrice nulle de taille (n;p)
la matrice dont tous les coefficients sont nuls .Elle est notée O
n;p.O n;p=0BBBBBBBB@0:::0
0:::01
CCCCCCCCA
1.2 Matrice d"une application linéaireDans la suite du chapitre,Edésigne un espace vectoriel de dimensionpetFun espace vectoriel de dimension
n(avecnetpdes entiers naturels non nuls). SoientB=fe1;:::;epgune base de E etB0=ff1;:::;fngune base de F. On considèreuune application linéaire de E dans F (u2 L(E;F)) etxun vecteur quelconque de E. xse décompose de manière unique dans la baseB:x=x1e1+:::+xpep=pP j=1xjej. On a alors :u(x) =u(x1e1+:::+xpep) =x1u(e1)+:::+xpu(ep) =pP j=1xju(ej), caruest linéaire. Doncuest entièrement déterminée paru(e1), ...,u(ep). Or lesu(ej) sont des vecteurs de F donc ils se décomposent de manière unique dans la baseB0. u(e1) =a11f1+:::+an1fn=0BBBBBBBB@a
11::: a n11CCCCCCCCA
B 0, u(ej) =a1jf1+:::+anjfn=0BBBBBBBB@a
1j::: a nj1CCCCCCCCCA
B 0, u(ep) =a1pf1+:::+anpfn=0BBBBBBBB@a
1p::: a np1CCCCCCCCCA
B 0. dans la baseB0, nous obtenons la matrice suivante :3 M. Pelini, V. Ledda Matrice d"une application linéaireChapitre 4M = 0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@a
11a12::: a1j::: a1p
a21a22::: a2j::: a2p::::::::::::
a i1ai2::: aij::: aip:::::::::::: a n1an2::: anj::: anp1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA f1
f2 fi fn u(e1)u(ej)u(ep)Le termeaijreprésente laième coordonnée deu(ej) dans la baseB0.Définition 4.La matrice obtenue est appelée matrice deurelativement aux basesBetB0.
On la noteM(u;B;B0).Reprenons notre vecteurx=x1e1+:::+xpep, on a vu que u(x) =x1u(e1)+:::+xpu(ep) =p X j=1x ju(ej) p X j=1x j0BBBBB@n
X i=1a ijfi1CCCCCA=p
X j=1n X i=1a ijxjfi n X i=10BBBBBB@p
X j=1a ijxj1CCCCCCAfi.Posonsy=u(x),yest un vecteur deFet donc se décompose de manière unique dans la baseB0:y=
y1f1+:::+ynfn=nP i=1yifi.En comparant cette écriture à celle deu(x)obtenue précédemment, on en déduit (unicité des coordonnées)
que :8i2 f1;:::;ng; yi=pP j=1aijxj, ou encore :8>>>>>><>>>>>>:y
1=a11x1+a12x2+:::+a1pxp
y2=a21x1+a22x2+:::+a2pxp:::
yn=an1x1+an2x2+:::+anpxpDéfinition 5.Ces équations sont appelées équations deurelativement aux basesBetB0.
Elles donnent les coordonnéesyi, dans la baseB0, de l"image d"un vecteur quelconque deE, connu par ses
coordonnéesxj, dans la baseB.1.3 ExemplesExemple 3.
M(IdE;B;B) = Ip
M(0EF;B;B0) = 0np
Exemple 4.Prenons :
E =R2muni de la base canoniqueB=(e1;e2)et F =R3muni de la base canoniqueB0=(f1;f2;f3).4 M. Pelini, V. Ledda
Matrice d"une application linéaireChapitre 4Soitu2 L(E;F) définie paru(x;y) = (2x+y;3x+2y;x+8y),
Nous allons déterminer la matrice deurelativement aux basesBetB0. Elle aura 3 lignes et 2 colonnes donc M(u;B;B0)2 M32. Calculons l"image des vecteurs de base, on obtient : u(e1) =u(1;0) = (2;3;1) =0BBBBBBB@2
3 11CCCCCCCA
B0etu(e2) =u(0;1) = (1;2;8) =0
BBBBBBB@1
2 81CCCCCCCA
B 0.On obtient donc la matrice
M(u;B;B0) =0
BBBBBBB@2 1
3 2 1 81CCCCCCCA f1
f2 f3 u(e1)u(e2)1.4 Que se passe-t-il si on change de base?
Reprenons l"exemple ci-dessus :
Choisissons comme base de E la familleB0= ("1;"2) où"1=e1+e2et"2=e2.On a alorsu("1) =u(e1)+u(e2) =0
BBBBBBB@2
3 11CCCCCCCA
B 0+0BBBBBBB@1
2 81CCCCCCCA
B 0=0BBBBBBB@3
1 71CCCCCCCA
B0etu("2) =0
BBBBBBB@1
2 81CCCCCCCA
B 0. La matrice deurelatrivement aux basesB0etB0est doncM(u;B0;B0) =0
BBBBBBB@3 1
1 2 7 81CCCCCCCA f1
f2 f3 u("1)u("2) On constate que cette matrice est différente de celle obtenue précédemment. Si on change de base, la matrice de l"application linéaire change elle aussi.1.5 Bijection entreL(E;F)etMn;p
BetB0sont deux bases fixées de E et F.
Soit M2 Mnp, on peut construire une application linéaireude E dans F de la manière suivante : Pour toutj2 f1;:::;pg,u(ej) a pour coordonnées dans la basesB0, lajème colonne de M. L"applicationuest ainsi entièrement déterminée et unique. De plus M(u;B;B0) = M. À toute matriceMdeMnp, on peut associer une unique application linéaireudeEdansFtelle queM(u;B;B0) = M.Réciproquement, on vient de voir qu"à toute application linéaireudeEdansF, on associe une unique
matrice M telle que M(u;B;B0) = M.L"application
(L(E;F)! Mn;p u7!M(u;B;B0)est donc une bijection.5 M. Pelini, V. Ledda Matrice d"une application linéaireChapitre 42 L"espace vectorielMn;p Dans ce paragraphe, E et F désignent des espaces vectoriels de dimensionpetn.B= (e1;:::;ep) est une base de E.
B0= (f1;:::;fn) est une base de F.
2.1 Addition de matrices
Soient A = (aij) et B= (bij) des éléments deMnp.On note :
ul"unique application linéaire de E dans F telle que A = M(u;B;B0)vl"unique application linéaire de E dans F telle que B= M(v;B;B0)Définition 6.On définit la matriceA+Bde la manière suivante :A+B= M(u+v;B;B0)Recherchons les coefficients de cette matrice. Pour cela, il faut exprimer(u+v)(ej)(8j2 f1;:::;pg) dans la
baseB0.Par définition de A et B, on au(ej) =nP
i=1aijfietv(ej) =nP i=1bijfi.On en déduit que : (u+v)(ej) =u(ej)+v(ej) =nP
i=1aijfi+nP i=1bijfi=nP i=1(aij+bij)fi. Donc A+B est la matrice de terme généralaij+bij. Cela signifie, tout simplement, que l"addition de matrices se fait "terme à terme".Exemple 5.
Calculer :
0BBBBBBB@3 1
1 2 7 81CCCCCCCA+0
BBBBBBB@1 1
1 2 4 11CCCCCCCA
2.2 Multiplication par un réel
Soient A = (aij) un élément deMnpetun réel.On noteul"unique application linéaire de E dans F telle que A = M(u;B;B0).Définition 7.On définit la matriceAde la manière suivante :A = M(u;B;B0)
Recherchons les coefficients de cette matrice. Pour cela, il faut exprimer(u)(ej)(8j2 f1;:::;pg) dans la base
B0.Par définition de A , on au(ej) =nP
i=1aijfi.On en déduit que : (u)(ej) =u(ej) =
nP i=1aijfi! =nP i=1(aij)fi.DoncA est la matrice de terme généralaij.
Cela signifie, tout simplement, que la multiplication d"une matrice par un réel se fait "terme à terme".6 M. Pelini, V. Ledda
Matrice d"une application linéaireChapitre 4Exemple 6.Calculer :
3 2 5 1 8!2.3 L"espace vectorielMn;pOn peut démontrer que l"ensembleMnpmuni des lois+etest un espace vectoriel surR(Il suffit de vérifier
les huit propriétés de la définition).Soienti2 f1;:::;ngetj2 f1;:::;pg, on noteijla matrice ayant un 1 en position (i;j) et des 0 ailleurs.
La famille formée des matricesijest une famille libre et génératrice, donc une base deMnp. On en déduit
queMnpest de dimensionnp. De plus, par définition des lois+et, l"applicationM: (L(E;F)! Mnp u7!M(u;B;B0) est linéaire (En effetM(u+v) = M(u)+M(v) et M(u) =M(u)).
Or nous avons vu précédemment qu"elle est bijective. C"est donc un isomorphisme d"espaces vectoriels.
On en déduit, en particulier, que dimL(E;F) =np= dim(E)dim(F).3 Multiplication de matrices
3.1 Définition
Soient A = (aij)npun élément deMnpet B= (bjk)pqun élément deMpq.On note :
ul"unique application linéaire deRpdansRntelle que A = M(u;B;B0) vl"unique application linéaire deRqdansRptelle que B= M(v;B00;B) où :B= (e1;:::;ep) est une base deRp,
B0= (f1;:::;fn) est une base deRn,
B00= (g1;:::;gq) est une base deRq.Définition 8.On définit la matriceABde la manière suivante :AB= M(uv;B00;B0)Remarque 2.
C elaa bien un sens de considérer uv. En effet, on a R qv!Rpu!Rndoncuv:Rq!Rn La définition justifie, a posteriori, les tailles des ma tricesA et B .En effet, pour pouvoir définir le produitAB, il faut pouvoir composer les applicationsuetv. Il faut
donc que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.Le prod uitd"une ma tricede taille ( n;p) par une matrice de taille (p;q) est une matrice de taille (n;q)7 M. Pelini, V. Ledda
Matrice d"une application linéaireChapitre 43.2 Recherche des coefficients de la matrice produitOn cherche à déterminer la matrice deuvrelativement aux basesB00etB0. Pour cela, il faut exprimer
uv(gk) (8k2 f1;:::;qg) dans la baseB0.