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La bataille de la somme
Ayoub Hajlaoui
Accrétion planétaire, en quoi consistes-tu?
De baryon en poussière, de poussière en fétu. Énoncé :(temps conseillé : 1 heure 15 min)Le titre est trompeur. Il ne s"agit pas ici d"étudier les deuxbatailles de la Première Guerre Mon-
diale qui portent ce nom (1916, 1918). Non, nous allons nous-mêmes batailler avec les sommes. Decette manière, nous aiderons un ours en peluche à vaincre lesmonstres peuplant les cauchemars de la
IRetrouvailles à l"infini
Cette petite fille est assez spéciale, et ses cauchemars aussi... Dans son premier cauchemar, unedistance d"un mètre la sépare de son nounours. Elle fait alors un pas de longueur la moitié de cette
expliquer mathématiquement que la distance qui la sépare deson nounours tend vers0? Indication : si le nounours pouvait penser à la somme d"une suite géométrique... IIQuand l"infiniment petit donne l"infiniment grandLa petite fille se réveille en sursaut. Elle pense avoir compris que si la somme positive de la partie
I convergeait, c"était parce qu"on rajoutait à chaque fois un terme de plus en plus petit et qui tendait
vers0. Mais le nounours n"en est pas si sûr... Soit(??)la suite définie pour tout?∈ℕ∗par??=∑? ?=11 ?=11+12+...+1?1) Montrer que pour tout entier?≥2, ?+1 ?1 ???≤1?2) En déduire que pour tout entier?≥1,
?+1 21???+ 1≤??
3) En déduire la limite de la suite(??). Que peut répondre le nounours à la petite fille?
IIIQuand l"infiniment petit ne donne pas l"infiniment grand Cependant, le nounours tient à rassurer la petite fille. Si onprend maintenant??=∑? ?=11 ?2, on peut montrer que la suite(??)converge. En vous inspirant de la partie précédente, montrez-le.IVDragon complexe
Ayant compris que la convergence des sommes positives dépendait du terme général de la somme
1 ?ou1?2...), la petite fille se rendort tranquillement. Pas pour longtemps... ?www.ayoub-et-les-maths.com ?ayoub.hajlaoui.scolaire@gmail.com 1Un dragon apparaît dans ses rêves, sous la forme de la suite(??)définie pour tout?∈ℕpar
?=0??cos(??), avec?un réel quelconque et?∈ [0;1[.N"écoutant que son courage, le nounours va montrer à ce dragon à quel point il est limité.
Exprimer, en fonction de?et?, la limite de la suite(??).Indication(ou épée de notrenounours): le résultatque nousconnaissons sur les sommes de suites
géométriques s"applique aussi aux suites géométriques complexesCorrection :
IRetrouvailles à l"infini
La difficultéde cettepartie, c"est de réussirà traduiremathématiquementl"énoncé, d"une manière
qui nous permettra de dérouler nos calculs. L"indication nous parle de suite géométrique. Laquelle
pouvons-nous voir? On voit bien que la longueur des pas est divisée par 2 à chaque fois...Posons(??)?≥1la suite définie pour tout?≥1par : "??est la longueur du n-ième pas de la fille".
(??)est alors une suite géométrique de raison12et de premier terme?1=12.
Ne perdons pas de vue ce que demandel"énoncé. Il va falloirintroduireuneautre suitemodélisant
la distance restante entre la fille et le nounours après chaque pas. pas de la fille". On a alors la relation suivante :∀?≥1,??= 1 - (?1+?2+...+??)Autrement dit,??= 1 -∑?
?=1??.Et là, ça doit faire tilt.. Vous savez calculer la somme de termes consécutifs d"une suite géomé-
trique. ∀?≥1,∑? ?=1??=?1×1 - (1 2)?1 -12(premier terme×1 -raisonnombre de termes1 -raison)
∀?≥1,∑? ?=1??=12×1 - (1
2)? 12= 1 - (12)?
Donc :∀?≥1, ??=1
2×1 - (1
2)? 12= 1 -?1 - (12)??
Donc??= (1
2)?. Or,-1<12<1. Donc lim?→+∞??= 0
La distance entre la fille et le nounours tend bien vers0. IIQuand l"infiniment petit donne l"infiniment grand1) Soit?≥2. La fonction?→1
?est strictement décroissante sur]0;+∞[, donc a fortiori sur [?;?+ 1].Donc pour tout?∈ [?;?+ 1],1
?≤1?Si vous avez eu cette intuition, le plus dur est fait. Il ne reste plus qu"à passer à l"intégrale, ce que
le cours nous permet.Donc∫?+1
?1 ???≤ ∫?+1 ?1???Remarquez bien que dans l"intégrale de droite,
1 ?est une constante (puisqu"on intègre par rapportà la variable?, et que?ne dépend pas de?). Rappelez-vous ce qui ce passe quand on intègre une
constante de?à?...Donc∫?+1
?1 ???≤(?+ 1 -?) ×1?. Donc :∀?≥2,∫?+1 ?1???≤1? ?www.ayoub-et-les-maths.com ?ayoub.hajlaoui.scolaire@gmail.com 22)La difficulté de cette question, c"est de voir le lien avec la première. De penser à sommer les
intégrales... ∀?≥1,∫?+1 21???=∫3
21???+∫4
31???+∫5
41???+...+∫?+1
?1???(Chasles)Or, d"après 1),∫3
21???≤12,∫4
31???≤13,...,∫?+1
?1???≤1?Donc∀?≥1,∫?+1
21???≤12+13+...+1?On rajoute1de chaque côté pour tomber sur ce que demande l"énoncé.
Donc∀?≥1,1 +∫?+1
21???≤1 +12+13+...+1? c-à-d : ∀?≥1,1 +∫?+1