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.......28
01 C C C C C C C C C C C C C C C A q(x)=l21(x)+:::+l2m(x)l2m+1(x):::l2k(x): l k+1;:::;ln(ounestladimensiondeE). dualedeB.Onadoncli=e i,pourtoutientre1etn.
0001 A: doncaN4,cequ'ilfallaitdemontrer.QED
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parAlainProute
UniversiteDenisDiderot|Paris7
Tabledesmatieres
1Applicationsbilineaires.2
1.2Exemples..........................
....................3 ................62Formesbilineaires.9
.............10 2.43Formesquadratiques.14
5Espaceseuclidiens.
24.......28
6Legroupeorthogonal.32
7TheoremesdeFregieretPascal.34
Solutiondesexercices.37
1Applicationsbilineaires.
1.1Denition.
E,etunelementquelconquedeK:
f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=f(x) f(x+x0;y)=f(x;y)+f(x0;y) f(x;y)=f(x;y) f(x;y+y0)=f(x;y)+f(x;y0) f(x;y)=f(x;y) plusprecisementcommesuit: f:EF!G y7!f(x;y)etx7!f(x;y) sontK{lineaires. vectorielssontfacilementveries.8x2E8y2Ef(x;y)=f(y;x);
8x2E8y2Ef(x;y)=f(y;x):
1.2Exemples.
RR!R (x;y)7!xySurRn,leproduitscalaireusuel:
R nRn!R (x;y)7!x:y surlesproduitsscalairesparlasuite. exemple: (f;g)7!Z 1 0 f(x)g(x)dx1.3Applicationsbilineairescontinues.
lineaires.Lesconditionssuivantessontequivalentes.
{(3)festcontinueen0=(0;0). {(4)festcontinueentoutpointdeEF.1.4Leduald'unespacevectoriel.
principalesproprietes. LK(E;K)
d'unefaconuniquesouslaforme: x=a1e1+:::+anen;B.Onadonc:
e i(x)=ai:Noterquee
1;:::;e
l(x)=l(a1e1+:::+anen) =a1l(e1)+:::+anl(en) =e1(x)l(e1)+:::+e
n(x)l(en):Onvoitdoncque:
l=l(e1)e1+:::+l(en)e
n:1;:::;e
n)estunsystemegenerateurdeE.Parailleurs,sionecrit:
0=a1e1+:::+ane
n; (e1;:::;e
n)estaussiunsuystemelibredeE. (e1;:::;e
Onremarqueraquelanotatione
lineairee e i(ej)=ij=1sii=j,0sinon.
Parailleurs,dem^emequee
EE!K1.5Applicationslineairesassociees.
noteeL(f),estl'applicationsuivante: EL(f)!L(F;G)
x7!(y7!f(x;y))L:L(E;F;G)!L(E;L(F;G))
reciproqueL1estdonneepar:L(E;L(F;G))L1!L(E;F;G)
g7!((x;y)7!g(x)(y)) toutestroislineaires. (pourtoutxdeEettoutydeF):L(f)(x)(y)=f(x;y):
suit: FR(f)!L(E;G)
y7!(x7!f(x;y))R(f)(y)(x)=f(x;y):
BNotonsBflamatricedenieci{dessus.
f(ei;"j). B f=0 B @f(e1;"1):::f(en;"1) f(e1;"n):::f(en;"n)1 C A dimensionsnetm. ELeproduitdematricessuivant:
tEjBfEi diref(ei;"j). donc: tYBfX=(f(x;y)); (x;y)=((x1;:::;xn);(y1;:::;yn))7!X i;ja i;jxiyj; matricedelaformebilineaire.1.8Changementdebase.
NoussupposonsiciqueE=F.
BetB0,onait:
X=PX0:
XdansB,etparX0dansB0,ona:
APX0=AX=P(AX)0=PA0X0
onaA0=P1AP. etB0,ona: A0=tPAP:
matricesX0etY0danslabaseB0.Alors: tY0A0X0=f(x;y)=tYAX=t(PY0)APX0=tY0tPAPX0:
Exercices
EE!K bilineairerelativementalabasecanonique. commesuit: (A;B)7!det(A+B)det(AB): l'und'entreeuxquivaut1. xetydansE: ij(x;y)=e i(x)e j(y): a)Montrerque ijestuneformebilineairesurEE. b)Calculerlamatricede ijdanslabaseB. c)Montrerquelafamille( ij)0in;0jnformeunebasedeLk(E;E;K). X i2I iXi seraappeleelabasecanoniquedeR[E]. suit:R[R]C1(R;R)B0!R
(X x2I xXx;f)7!X x2I xf(x) (Ici,IdesigneunepartieniedeR.)R[I]C0(R;R)B1!R
(X [a;b]2I [a;b]X[a;b];f)7!X [a;b]2I [a;b]Z b a f(x)dx point)deR.) d)MontrerquelenoyaudeR(B1)estreduita0. exposantsdansI)nonnul.Onconsiderel'applicationDsuivante:
C1(R;R)D!C0(R;R)
f7!f0 ouf0estladeriveedef. f)VerierqueDestR{lineaireetsurjective.R[I]D!R[R]
telleque: B0(D(P);f)=B1(P;D(f));
vecteursdelabasecanoniquedeR[I]. h)MontrerqueDetL(B1)ontlem^emenoyau.2Formesbilineaires.
K.2.1Formesbilineairesnondegenerees.
lineaireassocieeadroiteR(f)estinjective. lanondegenerescenceadroite.Eneet,danscecas,onaL(f)=R(f).QED
{festnondegenereeagauche, {festnondegenereeadroite, h((x1;x2);(y1;y2))=x1y1x2y2dematrice10 011ete2sure
2).Pourtant,
puisqueL(f)etR(f)ontlem^emerang.2.2Orthogonalite.
sif(x;y)=0. sous{espacedeEoudeE)estnoteFo. k+1(x)=0;:::;e n(x)=0impliquequexest k+1;:::;e nsont nulles.) F (F+G)?=F?\G?et(F\G)?=F?+G? precedent.QED E c'est{a{diree i. F k+1;:::;e n. autrement{dit: dim(F)+dim(Fo)=dim(E): montreletheoremesuivant. dim(F)+dim(F?)=n: ((x1;x2);(y1;y2))7!x1y1x2y2; directe. {(1)F\F?=0, {(2)E=FF?, {(3)larestrictiondefaFestnondegeneree. x x=x0+(xx0); x7!(y7!f(x;y)) f(x;x)estnul.Maisalors,xdoit^etrenul.QED degeneree. 2.4Etuded'uneformehyperboliquesurR2.
h((x1;x2);(y1;y2))=x1y1x2y2: (d'equationx=0),pourlaquellelapenteest1. p. ladroitedepente1). p. 1x22>0.Onvoitdoncquelarestriction
Exercices
a)MontrerqueE=DD?. c)MontrerqueF\D?estdedimensionp1. e)MontrerqueE=FF?. basedeE,etBflamatricedefdanslabaseB. B3Formesquadratiques.
3.1Denitionetformepolaire.
8x2Eq(x)=f(x;x):
bilineairesymetrique. g(x;y)=f(x;y)+f(y;x) 2: q(x+y)q(xy)=g(x+y;x+y)g(xy;xy) =4g(x;y): quinousdonnelaformule: g(x;y)=q(x+y)q(xy) 4; toujoursutile. ax2(x1y2+x2y1).Parexemple,laformepolairede
laformequadratique: (x;y;z)7!7x2+6xy+5yz est2y1z2+52y2z1:
i,etdestermesrectanglesde laformeaxixj(aveci6=j). q=l21+:::+l2ml2m+1:::l2k: (e1)2+:::+(e
n)2; puisqu'elleenvoie(x1;:::;xn)surx21+:::+x2
(x;y)7!x+y 2 2 xy2 2 dierence).Noterquelesdeuxformeslineaires (x;y)7!x+y2et(x;y)7!xy2
sontlineairementindependantes.1,etleprobleme
d'uncarre(s'ilestnegatif). a(x1+)2+q0 degreenx2;:::;xn. x jaj 2). ax1x2.Posons:
u1=x1+x2
2etu2=x1x22:
1u22=x1x2.
u1.Eneet,danslestermes
n'apasd'inter^et.3.3Diagonalisationd'uneformequadratique.
0 B B B B B B B B B B B B B B B @+1 +10 1 10001 C C C C C C C C C C C C C C C A q(x)=l21(x)+:::+l2m(x)l2m+1(x):::l2k(x): l k+1;:::;ln(ounestladimensiondeE). dualedeB.Onadoncli=e i,pourtoutientre1etn.
LabaseBestlabasecherchee.Eneet,ona:
q(ei)=8 :l i(ei)2=1si1im, li(ei)2=1sim+1ik,0sik+1in.
Onaalorsf(ei;ej)=0,pouridierentdej.QED
3.4Signatured'uneformequadratique.
OnsupposeiciqueKestlecorpsdesreels.
h((x1;x2);(y1;y2))=x1y1x2y2; (0;n). baseBchoisie. q,onvoitqu'onaaussib=.QED quadratiques.QEDExercices
8Soitlepolyn^omeqsuivant:
q(x1;x2;x3)=x2 1+2x22+4x1x2+4x1x3+2x2x3:
tique.Determinersonrangetsasignature. A6=0. rang. rang. que'=(B7!tr(A'B)).4.1Planartinien.
laquellelamatricedeqest:10 01 e lamatricedeqest:02 20 0a a0 vecteursisotropes.Onadonclelemmesuivant.
naliteparrapportaq0.QED4.2Leplanprojectif.
P, seraappeleeladroiteal'innideA. (ilyenaundanschaquedirectionduplanane).4.3Divisionharmonique.
droitesvectoriellesdeE). M Q=0 @010 1000001 A: doncaN4,cequ'ilfallaitdemontrer.QED