[PDF] Applications Bilin eaires et Formes Quadratiques



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parAlainProute

UniversiteDenisDiderot|Paris7

Tabledesmatieres

1Applicationsbilineaires.2

1.2Exemples..........................

....................3 ................6

2Formesbilineaires.9

.............10 2.4

3Formesquadratiques.14

5Espaceseuclidiens.

24
.......28

6Legroupeorthogonal.32

7TheoremesdeFregieretPascal.34

Solutiondesexercices.37

1Applicationsbilineaires.

1.1Denition.

E,etunelementquelconquedeK:

f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=f(x) f(x+x0;y)=f(x;y)+f(x0;y) f(x;y)=f(x;y) f(x;y+y0)=f(x;y)+f(x;y0) f(x;y)=f(x;y) plusprecisementcommesuit: f:EF!G y7!f(x;y)etx7!f(x;y) sontK{lineaires. vectorielssontfacilementveries.

8x2E8y2Ef(x;y)=f(y;x);

8x2E8y2Ef(x;y)=f(y;x):

1.2Exemples.

RR!R (x;y)7!xy

SurRn,leproduitscalaireusuel:

R nRn!R (x;y)7!x:y surlesproduitsscalairesparlasuite. exemple: (f;g)7!Z 1 0 f(x)g(x)dx

1.3Applicationsbilineairescontinues.

lineaires.

Lesconditionssuivantessontequivalentes.

{(3)festcontinueen0=(0;0). {(4)festcontinueentoutpointdeEF.

1.4Leduald'unespacevectoriel.

principalesproprietes. L

K(E;K)

d'unefaconuniquesouslaforme: x=a1e1+:::+anen;

B.Onadonc:

e i(x)=ai:

Noterquee

1;:::;e

l(x)=l(a1e1+:::+anen) =a1l(e1)+:::+anl(en) =e

1(x)l(e1)+:::+e

n(x)l(en):

Onvoitdoncque:

l=l(e1)e

1+:::+l(en)e

n:

1;:::;e

n)estunsystemegenerateurdeE.

Parailleurs,sionecrit:

0=a1e

1+:::+ane

n; (e

1;:::;e

n)estaussiunsuystemelibredeE. (e

1;:::;e

Onremarqueraquelanotatione

lineairee e i(ej)=ij=1sii=j,

0sinon.

Parailleurs,dem^emequee

EE!K

1.5Applicationslineairesassociees.

noteeL(f),estl'applicationsuivante: E

L(f)!L(F;G)

x7!(y7!f(x;y))

L:L(E;F;G)!L(E;L(F;G))

reciproqueL1estdonneepar:

L(E;L(F;G))L1!L(E;F;G)

g7!((x;y)7!g(x)(y)) toutestroislineaires. (pourtoutxdeEettoutydeF):

L(f)(x)(y)=f(x;y):

suit: F

R(f)!L(E;G)

y7!(x7!f(x;y))

R(f)(y)(x)=f(x;y):

B

NotonsBflamatricedenieci{dessus.

f(ei;"j). B f=0 B @f(e1;"1):::f(en;"1) f(e1;"n):::f(en;"n)1 C A dimensionsnetm. E

Leproduitdematricessuivant:

tEjBfEi diref(ei;"j). donc: tYBfX=(f(x;y)); (x;y)=((x1;:::;xn);(y1;:::;yn))7!X i;ja i;jxiyj; matricedelaformebilineaire.

1.8Changementdebase.

NoussupposonsiciqueE=F.

BetB0,onait:

X=PX0:

XdansB,etparX0dansB0,ona:

APX0=AX=P(AX)0=PA0X0

onaA0=P1AP. etB0,ona: A

0=tPAP:

matricesX0etY0danslabaseB0.Alors: t

Y0A0X0=f(x;y)=tYAX=t(PY0)APX0=tY0tPAPX0:

Exercices

EE!K bilineairerelativementalabasecanonique. commesuit: (A;B)7!det(A+B)det(AB): l'und'entreeuxquivaut1. xetydansE: ij(x;y)=e i(x)e j(y): a)Montrerque ijestuneformebilineairesurEE. b)Calculerlamatricede ijdanslabaseB. c)Montrerquelafamille( ij)0in;0jnformeunebasedeLk(E;E;K). X i2I iXi seraappeleelabasecanoniquedeR[E]. suit:

R[R]C1(R;R)B0!R

(X x2I xXx;f)7!X x2I xf(x) (Ici,IdesigneunepartieniedeR.)

R[I]C0(R;R)B1!R

(X [a;b]2I [a;b]X[a;b];f)7!X [a;b]2I [a;b]Z b a f(x)dx point)deR.) d)MontrerquelenoyaudeR(B1)estreduita0. exposantsdansI)nonnul.

Onconsiderel'applicationDsuivante:

C

1(R;R)D!C0(R;R)

f7!f0 ouf0estladeriveedef. f)VerierqueDestR{lineaireetsurjective.

R[I]D!R[R]

telleque: B

0(D(P);f)=B1(P;D(f));

vecteursdelabasecanoniquedeR[I]. h)MontrerqueDetL(B1)ontlem^emenoyau.

2Formesbilineaires.

K.

2.1Formesbilineairesnondegenerees.

lineaireassocieeadroiteR(f)estinjective. lanondegenerescenceadroite.

Eneet,danscecas,onaL(f)=R(f).QED

{festnondegenereeagauche, {festnondegenereeadroite, h((x1;x2);(y1;y2))=x1y1x2y2dematrice10 01

1ete2sure

2).Pourtant,

puisqueL(f)etR(f)ontlem^emerang.

2.2Orthogonalite.

sif(x;y)=0. sous{espacedeEoudeE)estnoteFo. k+1(x)=0;:::;e n(x)=0impliquequexest k+1;:::;e nsont nulles.) F (F+G)?=F?\G?et(F\G)?=F?+G? precedent.QED E c'est{a{diree i. F k+1;:::;e n. autrement{dit: dim(F)+dim(Fo)=dim(E): montreletheoremesuivant. dim(F)+dim(F?)=n: ((x1;x2);(y1;y2))7!x1y1x2y2; directe. {(1)F\F?=0, {(2)E=FF?, {(3)larestrictiondefaFestnondegeneree. x x=x0+(xx0); x7!(y7!f(x;y)) f(x;x)estnul.Maisalors,xdoit^etrenul.QED degeneree. 2.4

Etuded'uneformehyperboliquesurR2.

h((x1;x2);(y1;y2))=x1y1x2y2: (d'equationx=0),pourlaquellelapenteest1. p. ladroitedepente1). p. 1x2

2>0.Onvoitdoncquelarestriction

Exercices

a)MontrerqueE=DD?. c)MontrerqueF\D?estdedimensionp1. e)MontrerqueE=FF?. basedeE,etBflamatricedefdanslabaseB. B

3Formesquadratiques.

3.1Denitionetformepolaire.

8x2Eq(x)=f(x;x):

bilineairesymetrique. g(x;y)=f(x;y)+f(y;x) 2: q(x+y)q(xy)=g(x+y;x+y)g(xy;xy) =4g(x;y): quinousdonnelaformule: g(x;y)=q(x+y)q(xy) 4; toujoursutile. ax

2(x1y2+x2y1).Parexemple,laformepolairede

laformequadratique: (x;y;z)7!7x2+6xy+5yz est

2y1z2+52y2z1:

i,etdestermesrectanglesde laformeaxixj(aveci6=j). q=l21+:::+l2ml2m+1:::l2k: (e

1)2+:::+(e

n)2; puisqu'elleenvoie(x1;:::;xn)surx2

1+:::+x2

(x;y)7!x+y 2 2 xy2 2 dierence).Noterquelesdeuxformeslineaires (x;y)7!x+y

2et(x;y)7!xy2

sontlineairementindependantes.

1,etleprobleme

d'uncarre(s'ilestnegatif). a(x1+)2+q0 degreenx2;:::;xn. x jaj 2). ax

1x2.Posons:

u

1=x1+x2

2etu2=x1x22:

1u2

2=x1x2.

u

1.Eneet,danslestermes

n'apasd'inter^et.

3.3Diagonalisationd'uneformequadratique.

0 B B B B B B B B B B B B B B B @+1 +10 1 100
01 C C C C C C C C C C C C C C C A q(x)=l21(x)+:::+l2m(x)l2m+1(x):::l2k(x): l k+1;:::;ln(ounestladimensiondeE). dualedeB.Onadoncli=e i,pourtoutientre1etn.

LabaseBestlabasecherchee.Eneet,ona:

q(ei)=8 :l i(ei)2=1si1im, li(ei)2=1sim+1ik,

0sik+1in.

Onaalorsf(ei;ej)=0,pouridierentdej.QED

3.4Signatured'uneformequadratique.

OnsupposeiciqueKestlecorpsdesreels.

h((x1;x2);(y1;y2))=x1y1x2y2; (0;n). baseBchoisie. q,onvoitqu'onaaussib=.QED quadratiques.QED

Exercices

8Soitlepolyn^omeqsuivant:

q(x1;x2;x3)=x2 1+2x2

2+4x1x2+4x1x3+2x2x3:

tique.Determinersonrangetsasignature. A6=0. rang. rang. que'=(B7!tr(A'B)).

4.1Planartinien.

laquellelamatricedeqest:10 01 e lamatricedeqest:02 20 0a a0 vecteursisotropes.

Onadonclelemmesuivant.

naliteparrapportaq0.QED

4.2Leplanprojectif.

P, seraappeleeladroiteal'innideA. (ilyenaundanschaquedirectionduplanane).

4.3Divisionharmonique.

droitesvectoriellesdeE). M Q=0 @010 100
0001 A: doncaN4,cequ'ilfallaitdemontrer.QED

4.4Coniques,p^olesetpolaires.

matricedeqest:0 @100 010 0011 A: q

0(x;y;z)=ax2+by2+cz2+dxy+eyz+fzx:

e=0.Onadonc: q

0(x;y;z)=a(x2+y2z2)+dxy:

Enn,levecteur(1;1;p

p^oledecettedroiteparrapporta). ceplanartinien). quipermetdeconstruirelapolairedex.

Exercices

ab2D.

2)sietseulementsiC

estparallelea.

DestlemilieudusegmentAB.

formepolairef:EE!R. ,silarestrictiondeqaFestdegeneree.On ditqueFesttotalementisotrope estunvecteurxtelque q(x)=0.

Onrappellequ'uneisometrie

8x2E8y2Ef(g(x);g(y))=f(x;y).

isotrope. orthogonaleautourdeF". g:E!E,tellequeg(x)=y.

F.MontrerqueF\D?estnonisotrope.

vecteurydeErepresente

Eestrepresentable.

deFdansE,uneapplicationlineaire sur2nk. aucasoup(x)=x. engendreeparx.

OnsupposedeplusqueFn'estpasreduita0.

estrepresentableparunvecteurydeE.

Eestmaximal

isometrie:E!Etelleque(F)=G. delaformequadratiqueq,et dedimensioninf(;).Endeduireque=inf(;). etE=F1F2G(decompositiondeWitt).

5Espaceseuclidiens.

5.1Produitsscalaires.

SoitEunespacevectorielreel.

(x;y)7!x:y=x1y1+:::+xnyn symetrique,etx:x=x2

1+:::+x2

pourtoutsous{espaceFdeE,onaFF?=E. e i:ei=1pourtouti. px:x. y=x(e1:x)e1:::(en1:x)en1: equotesdbs_dbs41.pdfusesText_41