[PDF] Feuille 1 Fonctions réciproques & Dérivabilité



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Feuille 1 Fonctions réciproques & Dérivabilité

Université d"Orléans 2009-2010

Licence de Mathématiques

2MT01Feuille 1

Fonctions réciproques & DérivabilitéQuelques Rappels Exercice 1Soitfune application continue d"un intervalle

IdeRdansR.

1. Rappeler la nature "topologique" def(I).

2. Montrer que sifest strictement monotone, alorsfdé-

finie une bijection deIsurf(I). La réciproque est-elle vraie? Si oui, donner une démonstration, si non, donner un contre exemple.Exercice 2-Vrai ou Faux- Soitfune fonction définie surR, et à valeurs dansR, et Iun intervalle inclus dans le domaine de définition def.

1. Sifest continue alorsf(I)est un intervalle de même

nature queI.

2. Sif(I)est un intervalle alorsfest continue.

3. Sifest continue, alorsf:I!f(I)est une bijection.

4. Sif:I!f(I)est bijective et si sa réciproque est conti-

nue, alorsfest continue et strictement monotone sur I.

5. Sifest continue, dérivable et strictement monotone sur

I, alorsf:I!f(I)est une bijection et sa réciproque est dérivable. DérivabilitéExercice 3Soitfetgdeux fonctions définies sur un in- tervalleIR. On suppose quefetgsont dérivables en x 02I.

1. En revenant à la définition, montrer quef+getfgsont

dérivables enx0, et calculer leur dérivée.

2. En déduire que sif0(x0)6= 0, alors1f

est dérivable en x

0, et calculer sa dérivée.Exercice 4En revenant à la définition donner le domaine

de dérivabilité et calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. La fonctionx7!xndéfinie surR, avecn>1. Que se

passe-t-il pourn61?

2. La fonctionx7! jxj.

3. La fonctionx7!pxdéfinie sur[0;+1[.Exercice 5

1. Rappeler la formule donnant la dérivée d"une fonction

composée.

2. Donner le domaine de définition, de continuité et

de dérivabilité des fonctions suivantes, puis calculer les dérivées :x7! jx3+ 1j,x7!cos(lnx),x7!px

33x22x4,x7!ln(x2+x2)1

Fonctions exponentielles, logarithmes et puissancesExercice 6Étant donné2R, on noteEl"équation.

(E)8x2Rf0(x) =f(x)etf(0) = On rappelle queexpest une solution de l"équationE1.

1. Montrer que pour toutdansRl"équationEadmet

une unique solution que l"on écrira en fonction deexp.

2. Étant donnéa2R, on poseFa(x) = exp(x+a).

(a) Montrer queFaest solution d"une équationE pour unque l"on déterminera. (b) En déduire une relation bien connue vérifiée par exp.

3. (a) Montrer queexpest une fonction strictement crois-

sante. (b)Calculerles limites deexpen+1puis en12. (c) En utilisant le théorème des accroissements finis appliqué àexpsur[0;x], montrer queexpx > x+1 pourx>0. (d) Déduire de cette inégalité le fait que lim x!1exp(x)x n= +1 8n2ZExercice 7Pour chacune des fonctions suivantes, on déter- minera les domaines de définition, de continuité et de dériva- bilté. On calculera la dérivée et on étudiera leurs variations.

Enfin on calculera la limite en0.

a)((x1)(x2)(x3))5=2b)x7!xlnx c)x7! 1px px :Exercice 8Résoudre les équations suivantes 6

2x3x+1= 864;7x+27x3= 343et9:32x82:3x+9 = 0:Exercice 9Soitaun nombre strictement positif.

1. Étudier et dessiner le graphe de la fonctionfdéfinie sur

Rparf(x) =ax:

2. Soitbun nombre strictement positif. Montrer que

l"équationax=badmet une unique solution réelle; vérifier qu"elle est positive siaetbsont tous deux plus grands ou plus petits que1, négative dans le cas contraire. Comment est habituellement notée la solu- tion?

3. Déterminer la valeur des nombres suivants :

log

39; log100;1; log3181

; log51:1. Comparaît avec la fonctionx7!ln(x1) + ln(x+ 2).

2. On pourra utiliser la relation démontrée dans la question précédente.

4. Sibetcsont deux nombres strictement positifs, montrer

que log a(bc) = logab+logacetlogabc = logablogac:

5. Sibest un nombre strictement positif etcun nombre

réel, montrer que log abc=clogab:

6. Comparer les nombreslog45etlog116

125

Exercice 10Résoudre les équations

ln(x+1)+ln(x1)ln(x2) = ln8,12 log10x+12 log10(3x+

5) = 1etxpx

=px x:Exercice 11Résoudre les inéquations log

10(2x27x+ 103)>2;ln(x27x+ 11)<0et

(x2+x+ 1)x<1:Exercice 12Résoudre les systèmes d"équations suivants : log10x+ log10y= 1 x+y= 7;22x+1+ 2:32y= 290 2 x:3y= 72:

Fonctions trigonométriquesExercice 13

1. Montrer quecos : [0;]![1;1]est une bijection.

On noteArccossa réciproque. CalculerArccos(1),

Arccos(1)ainsi queArccos(12

). Donner le domaine de dérivabilité deArccoset calculer sa dérivée.

2. Montrer quesin : [2

;2 ]![1;1]est une bijec- tion. On noteArcsinsa réciproque. CalculerArcsin(0),

Arcsin(1)ainsi queArcsin(12

). Donner le domaine de dérivabilité deArcsinet calculer sa dérivée.

3. Montrer quetan :]2

;2 [!Rest une bijection. On note Arctansa réciproque. CalculerArctan(1),Arctan(0) ainsi quelimx!+1Arctan(x). Donner le domaine de

dérivabilité deArctanet calculer sa dérivée.Exercice 14Calculer la dérivée de la fonctionfdéfinie sur

R parf(x) = Arctanx+Arctan1x . Que peut-on en déduire concernantf?Exercice 15Simplifier l"expressionArcsin(sin(2x))pour x2[0;2 ]. Dessiner le graphe de la fonctionf:R!Rdéfinie parf(x) = Arcsin(sin(2x)).Exercice 16Résoudre dansRles équations suivantes

Arcsinx= 2Arctanxet

ArcsinxArccosx= 2Arctan 2x2

.Exercice 17On considère la fonctiongdéfinie pourx2R parg(x) = Arctanx+ 1x.

1. Dresser le tableau des variations deg.

2. Montrer quegréalise une bijection deRsurR. On note

hsa réciproque.3. Calculerg(0),g(1),h(1)eth(4

4. Montrer quehest une fonction dérivable surRnf1g, et

que pour tout pointxdans cet ensemble on a

1 +h0(x) +1h

2(x)= 0Exercice 18Examen 2006/2007

On considère la fonctionf:x7!Arccos3x

+ 1

1. Donner l"ensemble de définition def.

2. En quels points la fonctionfest-elle continue?

3. En quels points la fonctionfest-elle dérivable?

4. Donner la dérivée def.Exercice 19Soitfla fonction définie pourx2Rpar

f(x) =x36 +x3 +13 . On définit par récurrence la suite(un)en posantu0= 0etun+1=f(un).

1. Établir le tableau des variations defet montrer que

f([0;34 ])[0;34 ]. En déduire quefadmet dans cet in- tervalle au moins un point fixe.

2. Montrer que la suite(un)est convergente et que sa li-

mitelest un point fixe defcompris entre0et34

3. Montrer que pour tout entiernon a :06lun+16

23
(unl). En déduire l"encadrement :06lun6(23 )n.

Comment peut-on choisirnpour queunsoit une valeur

approchée delà102près?

4. Soit le polynômeP(x) =x34x+2. Montrer quelest

l"unique racine dePdans l"intervalle[0;1].Exercice 20SoitFune fonction continue et dérivable sur I, intervalle ouvert, non vide et non majoré deR. On note fla dérivée deFsurIet on suppose quefest strictement décroissante.

1. Montrer que pour toutx2Ion a les inégalités :

f(x+ 1)< F(x+ 1)F(x)< f(x).

2. On suppose que12I. Montrer que pour tout entier

n>1on a

F(n+ 1)F(1)< f(1) +f(2) +f(3) ++f(n)<

f(1) +F(n)F(1).

Pour tout entiern>1on définitun=f(1) +f(2) +

+f(n)F(n).

3. Montrer que(un)est décroissante.

4. On suppose que la suite(F(n+ 1)F(n))admet une

limite finieL. Montrer que(un)est convergente.

5. Appliquer ces résultats avecI=]0;+1[etF(x) = lnx

puisF(x) =xavec0< <1.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2