EXERCICES SUR LES ESPACES AFFINES EUCLIDIENS Exercice 1 [PDF] géométrie affine et euclidienne au capes
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EXERCICES SUR LES ESPACES AFFINES EUCLIDIENS
1. SUR LES GROUPES
Exercice 1(Sur les groupes).
(1) Donner la d´efinition d"un groupe.
(2) Quelle loi naturelle fait deR- {0}un groupe ? (3) Donner un exemple de groupe fini, un exemple de groupe non commutatif. (4) Montrer que l"ensemble des isom ´etries du plan affine qui conservent un carr´e (muni de la loi de composition) est un groupe (5) Donner un exemple de groupe fini et non commutatif (6) Compl ´etez Le noyauNd"un morphisme de groupesf:G→G?est un sous-groupe ........... (c"est `a dire que ............................................) L"ensemble quotientG/Npour la relation d" ´equivalence ................................... peut alorsˆetre muni d"une structure na- turelle de ............ On obtient alors un isomorphisme de groupes entreG/Net ............... (7) Construire un isomorphisme de groupes entre l"ensemble des nombres complexes de module1et le groupe quotientR/2πZ. Exercice 2(Manipulations sur les morphismes de groupes). (1) Montrer que{2,5}engendre(Z,+). (2) Existe-t-il un morphisme de groupesfde(Z,+)dans lui-mˆeme tel quef(2) = 3et f(5) = 6? (3) D ´eterminer une condition suraetbqui assure l"existence d"un morphisme de groupes fde(Z,+)dans lui-mˆeme tel quef(2) =aetf(5) =b.2. ESPACES AFFINES EUCLIDIENS
Question de coursD´emontrer que dans un espace affine euclidienEla fonctionE×E→R,(x,y)?→ ||x-y||est une fonction distance.
Exercice 3.
Montrer que dans un espace euclidien de dimension3, pour tout triplet(u,v,w)de vecteurs u?(v?w) =< u,w > v-< u,v > w. ||u?v||2+< u,v >2=||u||2||v||2.Le produit vectoriel est-il associatif ?
12 EXERCICES SUR LES ESPACES AFFINES EUCLIDIENS
Exercice 4.
Interpr
´eter g´eom´etriquement le syst`eme d"inconnue(x,y,z)?R3 ?u1x+u2y+u3z= 0 v1x+v2y+v3z= 0
D´eterminer ses solutions.
Exercice 5(Distance entre deux droites de l"espace). SoitEun espace affine euclidien de dimension3. Pour tout couple de droites(D1,D2)on appelle d(D1,D2) = inf{||y1-y2||,y1?D1,y2?D2}. (1) Calculerd(D1,D2)quandD1etD2sont concourantes. (2) Soita1?D1eta2?D2. En d´ecomposanta1-a2dans-→D1+-→D2+(-→D1+-→D2)?montrer qu"il existex1?D1etx2?D2tels qued(D1,D2) =d(x1,x2). (3) Montrer que pourz1?D1etz2?D2, d(D1,D2) =d(z1,z2)??z1-z2?-→D1?∩-→D2?. (4) Montrer que sieiest un vecteur directeur deDi d(D1,D2)2=Gram(a1-a2,e1,e2)Gram(e1,e2) o `uGram(u1,u2,···,ur) :=det(?ui,uj?)1≤i,j≤r. (5) Calculer la distance entre les deux droites donn ´ees par les´equations cart´esiennes dans un rep `ere orthonorm´e deE: M( (x y z) ?D1???x+y= 1 x+y+ 2z= 1M( (x y z) ?D2???y+z= 1 x+y-2z= 3 Exercice 6(Angle de deux demi-droites de mˆeme origine).Dans le plan euclidien orient
´eP, on consid`ere deux demi-droitesd1etd2de mˆeme originea)Rappeler la forme g´en´erale d"une matrice de rotation vectorielle dans une base orthonorm´ee
directe de-→P. Comment change cette matrice quand on change de base orthonorm´ee ? b)Montrer qu"il existe une unique rotation de centreΩqui envoied1surd2. On pourra donc d´efinir l"angle orient´e de deux demi-droites comme l"angle de la rotation qui envoie la premi`ere
sur la seconde.EXERCICES SUR LES ESPACES AFFINES EUCLIDIENS 3
Exercice 7.
Dans le plan euclidien muni d"un rep
`ere orthonorm´e on consid`ere les pointsA?1 2? et B ?-1 -1? a)D´eterminer selon la valeur derl"ensemble des pointsMdu plan tels queMA2-2MB2=r. b)D´eterminer selon la valeur derl"ensemble des pointsMdu plan tels queMA2-MB2=r.Exercice 8(Sur les homoth´eties translations).
Ontravailledansunespaceaffineeuclidien. Onrappellequeleshomoth´eties-translationssont
caract ´eris´ees par le fait qu"elles transforment toute droite en une droite parall`ele. On appelle dilatation une application affine dont la partie lin´eaire est une homoth´etie vectorielle.
b)Montrer que l"ensemble des dilatations est un sous-groupe distingu´e du groupe des applica- tions affines. c)On travaille maintenant dans le plan afine euclidienP. Montrer qu"il existe exactement deux dilatations qui transforment un cercle donn´e en un cercle donn´e.
Exercice 9(In´egalit´e isop´erim´etrique).On consid
`ere dans le plan euclidien muni d"un rep`ere orthonorm´e la courbeCd"´equation polairer=f(θ)o`ufest une fonction continue positive sur[-π2 ,π2 ]avecf(-π2 ) =f(π2 ) = 0. a)Repr´esenterCdans le cas o`uf=cos. b)On rappelle que l"aire de la surfaceSd´elimit´ee par la courbeCest donn´ee par a(S) =? π2 π2 12 f2(θ)dθ.Montrer que
a(S)≤π4 (diam(S))2.3. SUR LES ISOM´ETRIES
Exercice 10(Questions de cours).
Rappeler toutes les isom
´etries du plan euclidien et de l"espace euclidien de dimension 3, en pr´ecisant leur partie lin´eaire, leur point fixe, leur axe, leur composante`a point fixe et leur
composante de glissement.