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Courbes paramétrées
Plan du chapitre
I -Quelques généralités....................................................................................page 2
1)Arcs paramétrés ..........................................................................................page 2
2)Tangente en un point régulier .............................................................................page 2
2-a)Arcs de classeC1................................................................................... page 2
2-b)Vecteur dérivé en un point. Points réguliers ......................................................... page 3
2-c)Tangente en un point régulier ....................................................................... page 3
2-d)Normale en un point régulier un arc plan ............................................................ page 4II -Exemples d"études.....................................................................................page 6
c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.frLa géométrie a pratiquement disparu des programmes de classes préparatoires scientifiques. Le programme officiel ne
prévoit que très peu de choses sur le sujet des " courbes paramétrées ».I - Quelques généralités
1) Arcs paramétrés
Définition 1.SoitEunR-espace vectoriel de dimension finien?N?. Unarc paramétrédeEest une application d"une partieDdeRà valeurs dansEdu typeγ:D→E t?→γ(t). QuandEest un plan, on dit que l"arc est unarc plan. LesupportΓde l"arcγest l"ensemble des pointsγ(t),t?D.On a une interprétation cinématique de la notion d"arc paramétré. Sitest le temps qui passe,γ(t)s"interprète comme
unpoint en mouvement.γ(t)est la position du pointγà l"instantt. Le support de l"arct?→γ(t)s"appelle plutôt la
trajectoiredu pointγ.La letteγest utilisée en référence au nomΓdonné au support. On peut aussi utiliser la lettreMqui est plus classique
pour désigner un point :D→E t?→M(t).Par exemple, l"applicationγ:R→R2
t?→(cost,sint)est un arc paramétré deR2. Son support est le cercle de centre(0,0)et de rayon1(si on a muniR2de sa structure euclidienne canonique). La version complexe de cet arc est l"application
γ:R→C
t?→eit.On note que la seule donnée du support ne suffit pas à comprendrel"arc paramétré. Par exemple, le seul dessin
1 -11-1ne permet pas de comprendre que le pointγ(t)a parcouru ce cercle une infinité de fois à vitesse constante.L"arc
1:R→R2
t?→?cos?t2?,sin?t2??est un autre arc ayant le même support. Le cercle de centre(0,0)et de rayon1
est parcouru de plus en plus vite quandtcroît à partir de1.2) Tangente et normale en un point régulier
a) Arcs de classeC1 Définition 2.SoitIun intervalle deR. Quand l"applicationγ:I→E t?→γ(t)est de classeC1surD, on dit que l"arc paramétréγest de classeC1surD. On sait d"après le chapitre précédent que c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.2 http ://www.maths-france.fr Théorème 1.SoitB= (e1,...,en)une base deE. Si pour touttdeI, on poseγ(t) =x1(t)e1+...+xn(t)en,
où lesxk,k??1,n?, sont des applications deIdansR, alorsγest de classeC1surIsi et seulement si pour tout
k??1,n?,xkest de classeC1surIet dans ce cas, pour touttdeI, ?(t) =x?1(t)e1+...+x?n(t)en, b) Vecteur dérivé en un point. Points réguliersLevecteur dérivéent0?Ide l"arcI→E
t?→M(t), de classeC1surI, se note-----→dM dt(t0)ou--→dMdt(t0)(auquel cas la notation --→dM dtdésigne une fonction deIdansE) ou plus simplementdMdt(t0). Par définition, --→dM dt(t0) =limt→t01t-t0(M(t) -M(t0)) =limt→t01t-t0--------→M(t0)M(t).Définition 3.Un pointM(t0)d"un arcI→E
t?→M(t), de classeC1surIest ditrégulier(resp.singulier) si et seulement si --→dM dt(t0)?=-→0(resp.--→dMdt(t0) =-→0).L"arcI→E
t?→M(t)est ditréguliersi et seulement si tous ses points sont réguliers.Dans le cas où le paramètretest le temps (interprétation cinématique), le vecteur dérivé enM(t0)est levecteur vitesse
instantanée: -→V(t0) =--→dM dt(t0).Dans ce cas, si
-→V(t0) =-→0, on dit plutôt que le pointM(t0)est un point stationnaire. c) Tangente en un point régulierOn se place maintenant dans la situation fréquente où l"applicationt?→M(t)est injective sur un voisinage det0. Ceci a
pour conséquence le fait que, pourtau voisinage det0et distinct det0, on aM(t)?=M(t0).On dit que l"arcI→E
t?→M(t)admet une tangente enM(t0)si et seulement si la droite(M(t0)M(t))(qui est définiepourtau voisinage det0et distinct det0) admet une position limite quandttend verst0. Ceci est assuré si la droite
(M(t0)M(t))admet un vecteur directeur--→u(t)qui a une limitenon nullequandttend verst0en restent distinct det0.
Pourtau voisinage det0et distinct det0, le vecteur-→u(t) =1 t-t0--------→M(t0)M(t)est un vecteur directeur de la droite(M(t0)M(t)). Si l"arct?→M(t)est de classeC1au voisinage det0, le vecteur-→u(t)tend vers--→dM
dt(t0). Si ce vecteurn"est pas nul, on en déduit que, la fonctiont?→M(t)est injective sur un voisinage det0, que l"arc admet une tangente
enM(t0)et que cette tangente est dirigée par le vecteur(M(t0)M(t)). Donc,Théorème 2.SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie non nulle.Soitt?→M(t)un arc de classeC1sur un
intervalleIdeRà valeurs dansE.SiM(t0)est un point régulier de l"arct?→M(t), alors cet arc admet une tangente enM(t0)et cette tangente est la
droite passant parM(t0)et dirigée par le vecteur--→dM dt(t0).Dans le cas d"un arc plan, les situations que l"on peut rencontrer dans la pratique concernant la position de la courbe par
rapport à sa tangente, sont plus variées que les situations que l"on rencontre en construisant des graphes de fonction de
RdansR(ce qui est un cas particulier des arcs paramétrés plans : le graphe d"une fonctionfdeIdansRest aussi le
support de l"arc paramétré?x=t y=f(t)). On peut démontrer (ce que l"on ne fera pas) que l"on obtient quatre situations types : c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.3 http ://www.maths-france.fr Point ordinairePoint de rebroussement de 1ère espèce Point d"inflexionPoint de rebroussement de 2ème espèceQuand la tangente n"est pas parallèle à(Oy), on obtient un point ordinaire ou un point d"inflexion quand la fonction
t?→x(t)est monotone sur un voisinage det0. Les points de rebroussement sont obtenus par exemple quandla fonction
t?→x(t)change de sens de variation ent0.On peut démontrer qu"en un point régulier, on ne peut obtenirqu"un point ordinaire ou un point d"inflexion ou encore,
un point de rebroussement est nécessairement un point d"inflexion. d) Normale en un point régulier d"un arc planDéfinition 4.SoitI→R2
t?→M(t)un arc plan admettant une tangente(Tt0)enM(t0),t0?I. Lanormaleà l"arc enM(t0)est la perpendiculaire à la tangente(Tt0)enM(t0).L"expression analytique de la rotation de centreOet d"angleπ2(R2étant muni de sa structure euclidienne et de son
orientation canonique) est?x?= -y y ?=x(obtenue à partir de l"écriture complexez?=eiπ/2zou de l"écriture de la matrice de la rotation vectorielle d"angleθ). D"où la définition Définition 5.Soit-→u= (a,b)un vecteur non nul deR2. Levecteur directement orthogonalà-→uest le vecteur-→n= (-b,a).Appliqué à la normale, cela donne
Théorème 3.Soitt?→M(t)un arc plan de classeC1sur un intervalleIdeR. Soitt0?I. SiM(t0)est un point régulier, la normale enM(t0)est dirigée par le vecteurrπ 2? --→dMdt(t0)? = (-y?(t0),x?(t0)). c?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.4 http ://www.maths-france.frExercice 1.1)Etudier l"arc paramétré?x=3t2
y=2t3et construire son support.2)Trouver les droites à la fois tangentes et normales à cet arc.
Solution 1.
1)Pour tout réelt,M(t)existe. Pour tout réelt,
M(-t) = (x(-t),y(-t)) = (x(t),-y(t)) =s(Ox)(M(t)).On étudie l"arc et on construit son support quandtdécrit[0,+∞[puis on obtient la courbe complète par réflexion d"axe
(Ox).Pour tout réelt,--→dM
dt(t) =6t?1 t? et doncM(t)est régulier pourt?=0. Pourt?=0, la tangente enM(t)est dirigée par le vecteur(1,t). Le support de l"arc est la réunion des graphes des fonctionsf1:x?→2?x 3?3/2etf2:x?→-4?x3?
3/2. D"où le
graphique 1234-1 -2 -3 -41 2 3 4