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Courbes paramétrées dans le plan

Essaidi Ali

26 février 2018

On considère le planPmuni d"un repère orthonormé directe

O;~i;~j

1 Courbes paramétrées dans le plan :

Définition 1.1On appelle courbe paramétrée dansR2toute application d"un intervalleIdeRversR2.

Remarques :

Une courbe paramétrée dans R2s"appelle aussi arc paramétré dansR2ou chemin dansR2.

Une courbe paramétrée

:t2I7!R2se note aussit2I7!(x(t);y(t)). Une courbe paramétrée dans Rpeut être donnée en coordonnée polaires,2I7!(). Soit M2P.(;)et(0;0)sont deux coordonnées polaires deMsi, et seulement si,9k2Ztel que : =0 =0+ 2kou=0 =0++ 2k

Exemples :

-x(t) =t2+t y(t) =t2t. x(t) = sin(2t) y(t) = sin(3t). -() = cos().

Interprétation cinématique :

Soit :I!R2une courbe paramétrée etMun point mobile du planPtel que8t2I;!OM(t) = (t). -8t2I; (t)représente le vecteur position à l"instanttdu mobileM. (I) =f (t)=t2Igreprésente la trajectoire du mobileM.

Définition 1.2Soit

:I!R2une courbe paramétrée.

On dit que la courbe par amétrée

est simple si est injective.

On dit que la courbe par amétrée

est fini siIest un segment.

Interprétation cinématique :

Soit :I!R2une courbe paramétrée etMun point mobile du planPtel que8t2I;!OM(t) = (t). est simple si, et seulement si,8t02I, le mobileMpasse une seule fois par le pointM0= (t0).

Proposition 1.1équation polaire d"une conique

Une coniqueCadmet une équation polaire de la forme : () =p1 +ecos avecp2Rete >0.

Si e= 1alorsCest une parabole.

Si e >1alorsCest une hyperbole.

Si e <1alorsCest une ellipse.

2 Vecteur tangent à une courbe paramétrée :

Définition 2.1Soit

:t2I7!(x(t);y(t))une courbe paramétrée dansR2etk2N. 1

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On dit que

estk-fois dérivable surIsixetysontk-fois dérivables surI. Dans ce cas, on note (k)= (x(k);y(k))et on l"appelle la dérivéek-ième de surI.

On dit que

est de classeCksurIsixetysont de classeCksurI.

On dit que

est de classeC1surIsixetysont de classeC1surI.

Interprétation cinématique :

Soit :I!R2une courbe paramétrée de classeC2etMun point mobile tel que8t2I;!OM= (t). -8t2I;

0(t)représente le vecteur vitesse à l"instanttdu mobileM.

-8t2I;

00(t)représente le vecteur accélération à l"instanttdu mobileM.

Définition 2.2Soit

:I!(x(t);y(t))une courbe paramétrée dansR2ett02I.

On dit que

admet une tangente au pointM0= (t0)s"il existe un entierp1eta;b2Ravec(a;b)6= (0;0)tels que : x(t) =x(t0) +a(tt0)p+o((tt0)p) y(t) =y(t0) +b(tt0)p+o((tt0)p)

Dans ce cas, la droite(T)qui passe par le pointM0et de vecteur directeur~u(a;b)s"appelle la tangente à

enM0.

Exemples :

T angentede la courbe paramétrée x(t) =et

y(t) = ln(1 +t)ent= 0:

On a :

x(t) = 1 +t+o(t) y(t) =t+o(t) donc la tangente ent= 0passe par(1;0)et de vecteur directeur~u(1;1). T angentede la courbe paramétrée x(t) =tsint y(t) = costent= 0:

On a :

(x(t) =ot2 y(t) = 112 t2+ot2 donc la tangente ent= 0passe par(0;1)et de vecteur directeur~u0;12 T angentede la courbe paramétrée x(t) =p1 +t3 y(t) =p1t3ent= 0:

On a :

(x(t) = 1 +12 t3+ot3 y(t) = 112 t3+ot3 donc la tangente ent= 0passe par(1;1)et de vecteur directeur~u12 ;12

Remarques :

Soit (x0;y0);(a;b)2R2avec(a;b)6= (0;0)et(T)la droite qui passe par le pointA(x0;y0)et de vecteur directeur

~u(a;b): Une équation paramétrique de la droite (T)est donnée par : x=x0+at y=y0+bt Une équation cartésienne de la droite (T)est donnée par : xx0a yy0b = 0 Soit :I!(x(t);y(t))une courbe paramétrée dansR2ett02I.

On dit que

admet une demi-tangente à droite au pointM0= (t0)s"il existe un entierp1eta;b2Ravec (a;b)6= (0;0)tels que :8< :x(t) = t

0x(t0) +a(tt0)p+o((tt0)p)

y(t) = t+

0y(t0) +b(tt0)p+o((tt0)p)

Dans ce cas, la demi-droite qui passe par le pointM0et de vecteur directeur~u(a;b)s"appelle la demi-tangente à

en M 0. essaidiali.co.nf 2/8 a.essaidi@lydex.ma

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On dit que

admet une demi-tangente à gauche au pointM0= (t0)s"il existe un entierp1eta;b2Ravec (a;b)6= (0;0)tels que :8< :x(t) = t

0x(t0) +a(tt0)p+o((tt0)p)

y(t) = t

0y(t0) +b(tt0)p+o((tt0)p)

Dans ce cas, la demi-droite qui passe par le pointM0et de vecteur directeur~u(a;b)s"appelle la demi-tangente à

en M 0.

Définition 2.3Soit

:I!R2une courbe paramétrée de classeCkaveck1.

Soit t02I.

On dit que le point M0=

(t0)de est un point régulier si

0(t0)6= (0;0).

On dit que le point M0=

(t0)de est un point stationnaire ou singulier si

0(t0) = (0;0).

On dit que la courbe par amétrée

est régulière si tous ses points sont réguliers (i.e8t2I;

0(t)6= 0).

Exemples :

Soit la courbe paramétrée

:x(t) =t2+t y(t) =t2t;t2R: On considère l"équation :

E:x0(t) = 0

0(t) = 0

donc :

2t+ 1 = 0

2t1 = 0

d"oùt=12 ett=12 . On déduit que l"équationEn"admet pas de solutions donc tous les points de la courbe sont réguliers d"où est régulière.

Soit la courbe paramétrée

:x(t) = cost y(t) =tsint;t2R: On a :

E:x0(0) = 0

0(0) = 0

donc le point(x(0);y(0)) = (1;0)est stationnaire. Remarque :Soit:2I7!()une courbe paramétrée en polaires de classeC1surI. On pose(e;e)la base des coordonnées polaires et!OM() =()!edonc!OM0() =0()!e+()!ed"où :

OM0() = 0()() = 0

On déduit que tout point autre que l"origine d"une courbe paramétrée en polaires de classeC1est régulier.

Proposition 2.1Soit

:I!R2une courbe paramétrée de classeCkaveck1ett02I.

Si M0=

(t0)est un point régulier alors admet une tangente enM0de vecteur directeur

0(t0).

Si 9p2tel que81q < p;

(q)(t0) = (0;0)et (p)(t0)6= 0alors admet une tangente enM0de vecteur directeur (p)(t0).

Exemples :

T angenteà la courbe paramétrée

:x(t) =t2+t y(t) =t2tent= 0: On a

0(0) = (1;1)6= (0;0)donc(x(0);y(0)) = (0;0)est un point régulier d"où la courbe

admet ent= 0une tangente de vecteur directeur~u(1;1).

T angenteà la courbe paramétrée

:x(t) =et y(t) = costent= 0: On a

0(0) = (1;0)6= (0;0)donc(x(0);y(0)) = (1;1)est un point régulier d"où la courbe

admet ent= 0une tangente de vecteur directeur~u(1;0).

Remarques :

Soit :2I7!()une courbe paramétrée en polaires de classeC1surI. La courbeadmet en tout point autre que l"origine une tangente de vecteur directeur~u=0()!e+()!e.

Pour un point stationnaire, i lest pratique d"utiliser le dév eloppementlimité pour déterminer la tangente que de calculer

les dérivées successives.

Soit ~u;~v2P.

On dit que ~uet~vsont liés si92Rtel que~u=~vou~u=~v. Sinon, on dit qu"ils sont libres. essaidiali.co.nf 3/8 a.essaidi@lydex.ma

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Si ~u(a;b)et~v(c;d)alors~uet~vsont liés si, et seulement si,a c b d = 0.

Étude locale d"une courbe paramétrée :

Soit une courbe paramétrée

:I!R2de classeCkaveck2ett02I.

On suppose que les dérivées successives de

ent0ne sont pas toutes nulles.

Soitple plus petit entier non nul tel que

(p)(t0)6= (0;0)etqle plus petit entierp, s"il existe, tel que (p)(t0)et (q)(t0) soient libres.

On a :

8>>< >:x(t) =x(t0) +(tt0)pp!(1 +o(tt0))x(p)(t0) +(tt0)qq!x(q)(t0) +o((tt0)q) y(t) =y(t0) +(tt0)pp!(1 +o(tt0))y(p)(t0) +(tt0)qq!y(q)(t0) +o((tt0)q) donc : (t) = (t0) +(tt0)pp!(1 +o(tt0)) (p)(t0) +(tt0)qq! (q)(t0) +o((tt0)q)

La position relative de la courbe par rapport à sa tangente ent0dépend alors de la parité depetq. On a les quatre cas possibles :

-Sipest impair etqpair : (p)(t0) (q)(t0)Point ordinaire -Sipetqsont impairs : (p)(t0) (q)(t0)Point d"inflexion -Sipest pair etqimpair : (p)(t0) (q)(t0)Point de rebroussement de première espèce -Sipetqsont pairs : essaidiali.co.nf 4/8 a.essaidi@lydex.ma

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(p)(t0) (q)(t0)Point de rebroussement de seconde espèce

Exemples :

Étude en t= 0de la courbe paramétrée

:8 :x(t) =11 +t y(t) =11t:

On a :

(x(t) = 1t+t2+ot2 y(t) = 1 +t+t2+ot2 donc : (t) =x(t) y(t) =1 1 +1 1 t+1 1 t 2+ot2

donc(p;q) = (1;2)car les vecteurs(1;1)et(1;1)sont libres doncpest impair etqpair d"où(x(0);y(0)) = (1;1)est

un point ordinaire.

Étude en t= 0de la courbe paramétrée

:x(t) = sint y(t) = sin2t:

On a :

(x(t) = 2t43 t3+ot3 y(t) =t16 t3+ot3 donc : (t) =x(t) y(t) =2 1 t16 8 1 t 3+ot3

donc(p;q) = (1;3)car les vecteurs(2;1)et(8;1)sont libres doncpetqsont impairs d"où(x(0);y(0)) = (0;0)est un

point d"inflexion.

Étude en t= 0de la courbe paramétrée

:x(t) =ett y(t) = cos(t):

On a :

(x(t) = 1 +12 t2+16 t3+ot3 y(t) = 112 t2+ot3 donc : (t) =x(t) y(t) =1 1 +12 1 1 t 2+16 1 0 t 3+ot3

donc(p;q) = (2;3)car les vecteurs(1;1)et(1;0)sont libres doncpest pair etqimpair d"où(x(0);y(0)) = (1;1)est

un point de rebroussement de première espèce.

Étude en t= 0de la courbe paramétrée

:x(t) = cost y(t) = cosht:

On a :

(x(t) = 112 t2+124 t4+ot4 y(t) = 1 +12 t2+124 t4+ot4 donc : (t) =x(t) y(t) =1 1 +12 1 1 t 2+124 1 1 t 4+ot4

donc(p;q) = (2;4)car les vecteurs(1;1)et(1;1)sont libres doncpetqsont pairs d"où(x(0);y(0)) = (1;1)est un

point de rebroussement de seconde espèce. essaidiali.co.nf 5/8 a.essaidi@lydex.ma

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Étude en t= 0de la courbe paramétrée

:x(t) =t2+ 3t3+t4 y(t) = 2t2+ 6t3+t4:

On a :

M(t) =x(t)

y(t) =1 2 t 2+3 6 t 3+1 1 t 4

donc(p;q) = (2;4)car les vecteurs(1;2)et(3;6)sont colinéaires et(1;2)et(1;1)libres doncpetqsont pairs d"où

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