[PDF] Maths : cours et exercices corrigés de mathématiques



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Maths : cours et exercices corrigés de mathématiques Exo7

Courbes paramétrées

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur???? * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1Quelques grands classiques1.(**) L"astroïde. y=asin3t. (b)

Pour t2]0;p2

[, on noteA(t)etB(t)les points d"intersection de la tangente au point courantM(t) avec respectivement(Ox)et(Oy). Calculer la longueurA(t)B(t). 2. (**) La cycloïde. (a) Un cercle (C), de rayonR>0, roule sans glisser sur l"axe(Ox). On noteIle point de contact entre (C)et(Ox)et on noteWle centre de(C)(WetIsont mobiles).Mest un point donné de(C)(M est mobile, mais solidaire de(C)). On poset= (\(!WM;!WI).xy M t O I

Déterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le pointM(on prendratpour paramètre).

(b) Etudier et construire l"arc paramétré : x=R(tsint) y=R(1cost)oùRest un réel strictement positif donné. 3. (**) Une courbe deLISSAJOUS. Etudier et construire l"arc paramétré :x=sin(2t) y=sin(3t) 4. (**) La lemniscate deBERNOULLI. Etudier et construire l"arc paramétré :(x=t1+t4 y=t31+t4 5. (***) Les tractrices. (a)

T rouverles trajectoires orthogonales à la f amilledes cercles de rayon R(R>0 donné) et centrés

sur(Ox). (b) Etudier et construire l"arc paramétré : x=R(lnjtant2 j+cost) y=RsintoùRest un réel strictement po- sitif donné. H???Exercice 2

Construire les courbes de paramétrisations :

1 1. (x=t3(t+1)2(t1) y=t2t 21

2.x= (t+2)e1=t

y= (t2)e1=t 3. x= (t1)ln(jtj) y= (t+1)ln(jtj)

4.x=2t1+t2

y=t+21t2

5.(x=tt

21y=t+2(t1)2

6.( x=t3t 29
y=t(t2)t3 7.( x=t31+3t y=3t21+3t

8.x=t2+t3

y=t2+t32t42t5 H???Exercice 3

La courbe orthoptique d"une courbe(C)est le lieu des points du plan d"où l"on peut mener (au moins) deux

tangentes à(C), orthogonales. Déterminer l"orthoptique de(C)dans chacun des cas suivants :

1.(C)est un astroïde de paramétrisationx=acos3t

y=asin3t,a>0 donné.

2.(C)est l"arc paramétré :x=t22t

y=2t33t2.

3.(C)est l"ellipse d"équationx2a

2+y2b

2=1,(a;b)2]0;+¥[2.

H???Exercice 4 Trouver les droites à la fois tangentes et normales à l"arc paramétré : x=3t2 y=4t3???Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, trouver une paramétrisation rationnelle de la courbe proposée puis construire

1)x(y2x2) =2y2x22)x3y3+xy2x+2y+3=0

???Exercice 6 Trouver une équation cartésienne des supports des arcs suivants :

1.x=t2

y=t2 2. x=t2 y=t3 2 3. (x=t1+t4 y=t31+t4 ???Exercice 7 SoitTl"intersection de(Ox)et de la tangente enMetHle projeté orthogonal deMsur(Ox). Trouver les courbes telles que

1.MT=a(a>0 donné)

2.HT=a(sans rapport avec 1))

???Retrouver cette fiche et d"autres exercices de maths sur??? 3 Correction del"exer cice1 N(les grands classiques)

1.L"astroïde.

(a)Domaine d"étude.

Pour tout réelt,M(t)existe.

Pour tout réelt,M(t+2p) =M(t). Par suite, la courbe complète est obtenue quandtdécrit un segment de longueur

2pcomme par exemple[p;p].

Pour tout réelt,

M(t) =cos3(t)

sin 3(t)quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2