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Exo7
y=t(t2)t3 7.( x=t31+3t y=3t21+3t
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Courbes paramétrées
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur???? * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1Quelques grands classiques1.(**) L"astroïde. y=asin3t. (b)Pour t2]0;p2
[, on noteA(t)etB(t)les points d"intersection de la tangente au point courantM(t) avec respectivement(Ox)et(Oy). Calculer la longueurA(t)B(t). 2. (**) La cycloïde. (a) Un cercle (C), de rayonR>0, roule sans glisser sur l"axe(Ox). On noteIle point de contact entre (C)et(Ox)et on noteWle centre de(C)(WetIsont mobiles).Mest un point donné de(C)(M est mobile, mais solidaire de(C)). On poset= (\(!WM;!WI).xy M t O IDéterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le pointM(on prendratpour paramètre).
(b) Etudier et construire l"arc paramétré : x=R(tsint) y=R(1cost)oùRest un réel strictement positif donné. 3. (**) Une courbe deLISSAJOUS. Etudier et construire l"arc paramétré :x=sin(2t) y=sin(3t) 4. (**) La lemniscate deBERNOULLI. Etudier et construire l"arc paramétré :(x=t1+t4 y=t31+t4 5. (***) Les tractrices. (a)T rouverles trajectoires orthogonales à la f amilledes cercles de rayon R(R>0 donné) et centrés
sur(Ox). (b) Etudier et construire l"arc paramétré : x=R(lnjtant2 j+cost) y=RsintoùRest un réel strictement po- sitif donné. H???Exercice 2Construire les courbes de paramétrisations :
1 1. (x=t3(t+1)2(t1) y=t2t 212.x= (t+2)e1=t
y= (t2)e1=t 3. x= (t1)ln(jtj) y= (t+1)ln(jtj)4.x=2t1+t2
y=t+21t25.(x=tt
21y=t+2(t1)2
6.( x=t3t 29y=t(t2)t3 7.( x=t31+3t y=3t21+3t
8.x=t2+t3
y=t2+t32t42t5 H???Exercice 3La courbe orthoptique d"une courbe(C)est le lieu des points du plan d"où l"on peut mener (au moins) deux
tangentes à(C), orthogonales. Déterminer l"orthoptique de(C)dans chacun des cas suivants :1.(C)est un astroïde de paramétrisationx=acos3t
y=asin3t,a>0 donné.2.(C)est l"arc paramétré :x=t22t
y=2t33t2.3.(C)est l"ellipse d"équationx2a
2+y2b2=1,(a;b)2]0;+¥[2.
H???Exercice 4 Trouver les droites à la fois tangentes et normales à l"arc paramétré : x=3t2 y=4t3???Exercice 5Dans chacun des cas suivants, trouver une paramétrisation rationnelle de la courbe proposée puis construire