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Coursdemécanique2

M21-théorèmedumomentcinétique

Tabledesmatièr es

1In troduction2

2Mom entcinétique2

2.1Défin itiondumomentcinétiqueparr apportàu npoint..............2

2.2Exem pleencoordonnéespolaires ..........................3

2.3Mome ntcinétiqueenO' di

érentdeO.......................3

2.4Momen tcinétique/àunax e............................3

3Mom entd'uneforce4

3.1Défin itiondumomentd'uneforceparr apportàu npoint............4

3.2Momen tdeforceenO'di

érentdeO.......................4

3.3Momen tdeforce/àunaxe.............................5

4In terprétationphysiquedumomentdeforce5

5Noti ondemécaniqu edusoli de:momentd'inertie5

6Thé orèmedumomentcinétiqu e6

6.1Parrap portàun pointfixe.............................6

6.2Parrap portàun axe.................................6

6.3Int erprétation:lepatineur.............................6

7Exe mpledupendulesimpl e7

8Références8

1

1In troduction

Nousallons doncintroduir elanotiond emomentcinŽtiquequiestlՎquival entpour larotation deceq uÕestl aquantitŽdemouvemen tpourle smouvementsdetranslation .Ainsi, ilnesera plusquestion dÕutiliserlesforcesel le-mmes,maisleurmoment.

MmesionnesÕ intŽre sse raprin cipalementquՈlamŽcaniquedupointdanscechap itre,nous

sasign iÞcation.

2Mo mentcinŽtique

2.1DŽÞnitio ndumomentcinŽtiqueparrappo rtˆ unpoint

Soitunpoint Mdemass em,devitesse

vetdequ antitŽd emouvement p=m v.

Sonmome ntcinŽtiqueenun pointOestdŽÞni

par: L O (M)= OM1 p= OM1m v(1)

Onpeut exprimerlan ormedecemomentcinŽ-

tiqueenfonctionde lÕangleq ueformeladroite (OM)et levecteur v: L O (M)= L O (M) -=OM2mv2sin-(2)

Lemom entcinŽtiquesÕ exprimedoncen

kg.m 2 .s -1 O L O (M) M(m) v

Figure1ÐM omen tcinŽtiquedÕun

pointMenunpoin tO

Sensduvecte urmomen tcinŽtique

Leve cteur

L O (M)semblevenirversnou sdanslaÞgureci-d essus:cesens estobtenup ar lefait quelabase( OM, v, L O (M))estdirecte. 2

Remarque

Ѓtudiantlemouvementdec epoin tparrapportˆunrŽfŽrentielR,on nÕindicera paslesdi-Žrentes

quantitŽsmaiscesindicessont sous-entendus.

ÐDansleca sdelՎt udedumouveme ntdÕ unpoint,onnetravai lle quÕavecunseulvecteur,levecte urmome nt

cinŽtiqueoulevecteurquant itŽdem ouvemen t,carceux-cisontli Žs.

PourlՎtudedu mouvementdÕunsolide ,l esdeuxvecteurssontˆconsidŽrerpui squechaq uepointdusolide

auraunmo men tcinŽtiquedi

Žrentet/ouunve cteurquantitŽdemo uvem entdi

Žrent.

2.2Exemple dumomentcinŽtiqueencoo rdonnŽ espolaires

Soitunpoint MsedŽp laantdansunmou vem entcir culaireparrapportaurŽfŽre ntielR.

Saposit ionencoordonnŽespolair esest:

OM=r e r

Savites seest:

v=r e Ene et,lacompos antesui vant e r r e r )estnullepuisquerestconstan t(mouvementcirculai re).

Sonmomen tcinŽtiquesՎc ritdonc:

L O (M)= OM1m v(3) =mr e r 1( r e r +r e )(4) =mr 2 e z (5)

2.3Moment cinŽtiqueenOÕdi

ŽrentdeO

Lemomen tcinŽtiquedŽpen ddupointoonlecalcule.On peutŽt ablirunerelat ion entrelemomentcin Žtique enunpointOÕetce luienunpointO: L O -(M)= O M1 p(6) O O+ OM)1 p(7) O O1 p+ OM1 p(8) O O1 p+ L O (M)(9) L O -(M)= L O (M)+ O O1 p(10)

2.4Moment cinŽtiqueparrapportˆuna xe

CettegrandeurnÕes tplusunvecteur

maisunegrand euralgŽbriqu e.

Soit-unaxeori entŽpar unvecteuruni-

taire u

SoitOunpoin tde cetaxee tMun

pointdontonconn a"tlemoment cin Žtique L O (M)parrapp ortˆO.

Lemom entcinŽtiquede Mparrapportˆ

lÕaxe-est: L L O (M)- u (11)

Ilestl aprojecti ondumome ntcinŽtique

parrappor tˆunpointdelÕaxe sur celui- ci. O L O (M) u L

Figure2ÐM omen tcinŽtiquedÕun point

Mpar rapport ˆunaxe

3 Cetteprojectione stindŽpendantedupointdelÕaxec hoisi.

3Mo mentdÕuneforce

Commelaquantit Ždemouv ementŽtaitreliŽeauxforc esdansl eprincipefondamentaldela cinŽtique.

3.1DŽÞnitio ndumomentdÕuneforceparrappo rtˆ unpoint

Soituneforc e

FappliquŽenunpointM.

Alorssonmome nt

M O

F)parrapp ortau

pointOestdŽÞn ipar : M O F)= OM1 F(12)

Sensduvecteu rmoment

Commepourlevec teurmoment cinŽt ique,

lesens duvecteurmome ntest donnŽpar tire-bouchon. O M O F) M F d H

Figure3ÐM omen tdÕuneforcepar

rapportˆunpoint Onpeut Žgalementexpri merlemoduledecemoment deforceenfonctiondelÕangleÿ: M O F)= M O F) OM -2 F -2sinÿ(13)

Lem omentdÕuneforcesÕ exprimedoncenN.m.

Notiondebrasd elevier

Lebr asdelevie restla distanced=OH,o Hes tle projetŽort hogonaldeO surladroite dÕactiondelaforce F. SurlaÞgur e3,onv oitq uelesinÿpeuttrereli Žaubrasdelevie r. Enequotesdbs_dbs19.pdfusesText_25